精品解析：安徽省安庆市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中综合素质调研 九年级数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 2. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据右减上加的规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位得，再向上平移1个单位得到的解析式得． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键． 4. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 5. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 6. 已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出函数和y=2的图象草图，根据函数图象可直接求解． 【详解】解：∵a=1>0 ∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、 又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且 ∴抛物线的图象如图， 由图象可知： 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图象． 7. 如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系． 【详解】解：， ， 又时，， ， ， 选项C不正确； 抛物线开口向上， ； 又， ， 选项A不正确； ， ， 又， ， 选项D正确； ， 时，， ， 又， ， 选项B不正确． 故选：D． 8. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案. 【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得. 由头顶至脖子下端的长度为26cm， 可得， 解得. 由已知可得， 解得. 综上，此人身高m满足. 所以其身高可能为175cm. 故选：B 【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键. 9. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∴与的面积相等， ∵矩形的面积是k、而、的面积为定值1，则四边形的面积只与k有关， ∴四边形的面积不会发生变化， 故选：C． 10. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断． 【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上， ∴x=ax2+bx+c， ∴ax2+（b-1）x+c=0； 由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根． ∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点， 又∵-＞0，a＞0 ∴-=-+＞0 ∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0， ∴A符合条件， 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限是解题关键．根据题意可得出，求解即可． 【详解】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 已知，那么等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质和代数式求值，灵活运用比例的设参数方法和准确地进行代数式的化简求值是解题的关键． 利用比例性质设参数，，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：4． 14. 已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）该二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若该函数图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识点， （1）化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线顶点坐标，通过数形结合求解． 熟练掌握二次函数性质是解决此题的关键． 【详解】（1）∵二次函数， ∴ ∴对称轴为直线：，顶点为 故答案为：． （2）①当顶点在线段上时，， 解得：； ②∵对称轴为直线，，抛物线开口向下， ∵时，当时，， ∵当函数图象与线段只有一个交点， ∴， 解得：， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数．用配方法将解析式化为的形式； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查将二次函数的解析式化为顶点式，运用配方法运算即可． 【详解】， 即化为的形式得：． 16. 如图，，，若，求的长． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，代入求解即可． 【详解】解∵，， ∴. ∵， ∴， 解得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设未知数是解题关键．设，得出，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 18. 在和中，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由，可得，由，可得，进而结论得证． 【详解】略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图1中，________； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在线段上找一点P，使； ②如图3，在线段上找一点P，使． 【答案】（1） （2） ①如图，点为所求； ②如图，点为所求． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键． （1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为，即可求解；②作点关于的对称点M，连接交于，即可求解； 【小问1详解】 解：由图得，，， ， ， 故答案：； 【小问2详解】 ①略 ②略 20. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】（1）①1； ②图象如下图所示，即为所求． （2）增大 （3） 不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【小问1详解】 解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②略 【小问2详解】 解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． 【小问3详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯． 素材1 如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分是一个等腰三角形底座，于点D，图中所有的点都在同一平面内． 素材2 以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：（b、c为常数） 素材3 在距离杯底的竖直高度为的M、N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）． 【任务解决】 （1）求该奖杯抛物线部分的函数表达式； （2）求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度； （3）求M、N两点之间的水平距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）由题意得出点A坐标，据此求得c值，利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，由对称轴求得b值，即可求解； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）令，得，求解即可得出M、N的坐标，进而可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， ∵A、B两点之间的距离为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， 抛物线部分的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 抛物线最低点C到杯底的竖直高度为． 【小问3详解】 解：在中，令，得 ，解得，， ，， ， 即M、N两点之间的水平距离为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． （1）求证：； （2）如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，即． （2）①；②5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明得到，再等量代换即可得证； （2）①求出，，证明得到，再证明得到，从而得到，从而求出，从而得到； ②利用平行线截线段成比例得到，从而得到，利用得到，代入已知求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴ ∴ 解得：(舍去负值) ∴ ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中综合素质调研 九年级数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 10. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是________． 12. 已知，那么等于_______． 13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 14. 已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）该二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若该函数图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数．用配方法将解析式化为的形式； 16. 如图，，，若，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 18. 在和中，，，求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图1中，________； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在线段上找一点P，使； ②如图3，在线段上找一点P，使． 20. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯． 素材1 如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分是一个等腰三角形底座，于点D，图中所有的点都在同一平面内． 素材2 以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：（b、c为常数） 素材3 在距离杯底的竖直高度为的M、N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）． 【任务解决】 （1）求该奖杯抛物线部分的函数表达式； （2）求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度； （3）求M、N两点之间的水平距离． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． （1）求证：； （2）如果． ①求的长； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $