上海市黄浦区2024-2025学年高三上学期期终调研测试数学试卷

黄浦区2024学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 2024年12月 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．若集合，，则________． 2．不等式的解集为________． 3．椭圆的焦距为________． 4．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 5．在的二项展开式中，常数项为________． 6．若正数x、y满足，则xy的最大值为________． 7．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 8．在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若，则________． 9．若，则不等式的解集为________． 10．i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为________． 11．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为________cm．（结果精确到0.1cm） 12．设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为-7，则b＝________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）． A．E与F B．F与G C．E与H D．G与H 14．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ）． A．30° B．45° C．60° D．90° 15．设，满足的x的个数为（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 16．设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（ ）． A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数，的单调减区间． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分 A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． （1）该校高一学生中男、女生各有多少名？ （2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率； （3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01） 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线l与右支在x轴上方交于点A． （1）若，点A的坐标为（3，4），求c的值； （2）若，且a，b，c是等比数列，求证：直线l的斜率为定值； （3）设直线l与左支的交点为B，，当且仅当a满足什么条件时，存在直线l，使得成立． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 函数的定义域为D，在D上仅有一个极值点，方程在D上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在D上的极值点左偏移；若，则称函数在D上的极值点右偏移． （1）设，，判断函数在D上的极值点是否左偏移或右偏移？ （2）设且，，，求证：函数在D上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在D上的极值点左偏移． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届黄浦区高三数学一模解析 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 【1】若集合A={1,2},B={1,3},则AUB= 【解】{1,2,3} 【2】不等式x2-3x+2<0的解集为 【解】x2-3x+2=(x-1)(x-2)<0→解集为(1,2) 【3】椭圆女+上=1的焦距为 43 【解】c2=4-3=1→焦距为2c=2 【4】若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 【解】2π11=2π 【5】在x+ 的二项展开式中，常数项为 【解】C=20 【6】若正数x,y满足x+4y=1,则x的最大值为 【解】1=x+4y22Vx4y=xy≤ 1 6 【7】从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm,最小值为152cm,绘制身高频 率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为 184-152 【解】 =11 3 【8】在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若DN=DA+HDB+vBC(入，4，V∈R),则 入+4+v= 【解】DN=DA+HDB+v(DC-DB=ADA+(H-v)DB+vDC 及=-=写曰及+a+号 f(x),x≥20 【91若()=8()仁动.x<0测不等式8()-的解集为 【解】若x≥0，则g(x)=x32-x,无解 若x<0,则g(x)=-x3<-x,.-1<x<0 ∴.解集为(-1,0) 1/7 【10】i为虚数单位，若复数满足与-1+≤√2，复数52满足=2+1-，则-的最小值为 【解】的轨迹为圆盘，圆心为(1，-)，半径为√瓦 2的轨迹为直线x-y+1=0 与一的最小值为 -9H-5=2 【11】一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状. 己知这个圆的半径是13cm,AB=8cm,BC=6cm,且AB⊥BC,则圆心到点B的距离约为 _cm.(结 果精确到6.1cm) 【解】建系，设圆方程为x2+y2=169,设B(a,b) 则a2+(b+8)2=169,(a+6)2+b=169 65 .a= 0B=Va+b=345 5 ≈73 【12】设常数b为整数，数列a}的通项公式为a,=a+b+号若a,+a+an,(m≥lmeZ的最小值为 -7,则b= 【解】设m=k-1,则k∈N a.+a+aa=k-1+++k+j++k+1++93+6+边+2 若b21,则当k=0时取最小值36+3 +2=-7,无解 2 若b≤0，则当k=-b时取最小值 边+2=-7→b=-6 综上，b=6 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 【13】掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数.设事件E:点数是奇数，事件F:点数是偶数，事件G:点数是 3的倍数，事件H:点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件的为() A.E与F B.F与G C.E与H D.G与H 【解】B 【14】若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A,B,C,D,则直线AB与CD所成角的大小不可能为() A.30° B.45° C.60° D.90° 【解】A 2/7 【15】设0≤x<2x,满足sinx+2=snx+sin2的x的个数为() 6 6 A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【解】simx+-sinx=2cox+ π sin- =SIn- 6 12 12 6 6+迈 x=0,,选c 6 【16】设函数y=f(x)在区间1上有导函数y='(x),且∫'(x)<0在区间1上恒成立，对任意的x∈1，有 f(x)eI,对于各项均不相同的数列{a},a,∈I,a1=f(a),下列结论正确的是() A.数列{am-}与{am}均是严格增数列 B.数列{am-}与{am}均是严格减数列 C.数列{am-}与{an}中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D.数列{am-}与{a,n}均既不是严格增数列也不是严格减数列 【解】若a>a,那么当a->a时 f(a-）<f(ai),即as<ak42 .f(a)<f(ak+2),即ak1>ak3,即n=k+l时成立 ∴.归纳可证a2m->21 ∴.f(a2m-i)>f(a2mi),即am<a2m+2 若4<a,同理可证，a2n-<a2,马m>a+2 选C 3/7 【17】(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在正方体ABCD-ABCD中，E是BC的中点 (1)求证：BC⊥平面CDE (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小 D 【解】(1) DC⊥面BCCB→DC⊥BC →BC,⊥面CDE A EB=EC,CB⊥CC→CE⊥BC (2)作EF⊥BC于F,连DF E 结合CC⊥BC,可得CC∥EF ,CC⊥面ABCD iD.- C ∴.EF⊥面ABCD ∴·∠EDF是DE与平面ABCD所成的角 B 设CD=2,则CF=1 ∴.FE=1,DF=N5 tan∠EDF= EF DF 5 ,.∴DE与平面ABCD所成的角的大小为arctan 5 5 【18】(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知f(x)=sinx (a)求函数y=儿)/行的最小正周期 (2)求函数y=f 2 的单调减区间 1 【解】(1)y=sinx~sin x=sinxcosx=sin 2x ∴最小正周期为T= 2π =π a)=2+}m2x+到 当时2+号形 3 3 解得5x号 .单调减区间为 引 4/7 【19】(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学生采用分层随机抽样的方法抽取66名学 生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高. (1)该校高一学生中男、女生各有多少名？ (2)若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率 (3)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm,由错误数据求得这32个数 据的平均数为161cm,方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差，（平均数结果保留精确值，方差结果精确到 0.81) 【解】(4)男生有30×34=170，女生有30×32-160 32 66 66 .男生有170名，女生有160名 (2)从这66名学生中抽两名，有C种情况 两名都是男生，有C种情况 ∴概率为 u= 4.3317 666565 17 ∴.两名都是男生的概率为 65 (3)设32个数据分别为x,x,…,x2,x=156，乃=165 由已知，x+x+…+x2=161×32=5152 .x2+x3+…+x2=4996 原始数据的平均数为少++++X型=161.28125 32 x+x++x量-1612=23.6875 32 x号+写+…+x2=805894 :原始数据的方差为广+5+X++金-161.2812523.33 32 ∴.原始数据的平均数为161.28125cm,方差为23.33 5/7 【28】(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 双线r号-卡a>0b>0)的左，右焦点分别为F(-c0,E(c0c>0),过点F的直线I与T右支在 x轴上方交于点A· (1)若a=√5，点A的坐标为(3,4)，求c的值 (2)若AF⊥FF,且a,b,c是等比数列，求证：直线1的斜率为定值 (3)设直线I与「左支的交点为B,c=3,当且仅当a满足什么条件时，存在直线I,使得4B=AF成立 【解1四号2=1 916 ∴.b2=20 .c=Va2+b2=5 (2)AE⊥FF 取x=c,代入T得=al ∴.I的斜率为an∠AFF= AF b2 1 FF 2ac 2 (3)BF=4F-AB=AF-4F=20 b2 设BF的倾斜角为0，『的离心率为e=C,焦准距p= a BF= p b2 =2a 1+ecose a+ccos0 b2-2a2c2-3a2 ∴.cos0= 2ac 2ac A在右支上 .tano< a cos0>8,即C2-3x、a .> c 2ac c c35 a<55 又A在x轴上方，故0>0 cos0<1,得a>3=1 c ∴.所求的a满足的条件为a 35 6/7 【21】(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 函数y=(x)的定义域为D,在D上仅有一个极值点x,方程∫(x)=0在D上仅有两解，分别为x,,,且 x<0<:·若十五>x,则称函数y=∫)在D上的极值点左偏移：若十3<，则称函数y=了)在 2 2 D上的极值点右偏移. (1)设f(x)=x2-1,D=R,判断函数y=f(x)在D上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设m>0且m≠1，f(x)=x-mr2-x+m,D=(0,+∞)，求证：函数y=f(x)在D上的极值点右偏移 (3)设a∈R,f(x)=lnx-ax,D=(0,+o),求证：当0<a<e时，函数y=f(x)在D上的极值点左偏移 【解】(1)极值点x=0,x=-1,x2=1 :+5=6 2 ∴.不是左偏移也不是右偏移 (2)若f(x)=0,则x3-m2-x+m=(x-m)(x+1)(x-1)=0 则，=1为3=m或x=mx=1 :f"(x)=3x2-2mx-1,x>0 r/0 :+名<x .右偏移 ar-会立高品0 2x+x1 ∴g(x)严格递增 gk)h5,n五-支->gk)=0 2 x2+x1 二x<出+ Inx-Inx 2 令f()=0,得a=h=nx 严不点品函品梦学 ∴左偏移 717