6.1 第2课时 函数的表示方法课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第6章 一次函数 6.1 第2课时 函数的表示方法 1.什么叫常量？什么叫变量？ 2.什么叫函数？自变量？ 在一个变化的过程中有两个变量x和y.如果对于变量x的每一个值, 变量y都有唯一的值与它对应,我们称y是x的函数.其中, x是自变量. 在某一变化过程中,数值保持不变的量叫常量， 可以取不同数值的量叫做变量. 知识回顾 3. 下列关于变量x、y的关系: (1) y=3x; (2)5x-y2=1; (3)y=|3x|;(4)|y|=x,其中y是x的函数的是_________. 讨论与交流 汽车在高速公路上匀速行驶. 怎样表示y与t的关系？ 100km 200km 如果行驶的时间为t(h)，行驶的路程为y(km). (1)有哪些变量？哪些常量？ (2)变量之间是函数关系吗？为什么？ 变量：时间和路程；常量：速度100km/h 是函数关系，路程随着时间的变化而变化，当时间确定时，路程也唯一确定。 讨论与交流 可以列表表示 100km 200km t/h 1 2 3 4 … t y/km 400 300 100 200 100t … 把自变量的值和对应的函数值列成表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 4 讨论与交流 y是t的函数吗？ t/h 1 2 3 4 … t y/km 400 300 100 200 100t … 从该表中知道汽车的速度是______km/h，可以用t表示y吗？y=______. 100 100t 像y=100t这样，表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式. 02 知识精讲 函数表达式 像y=100t、S=8+6(n-1)等表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式。 注意1： ①函数表达式是等式； ②函数表达式在书写时有顺序性，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数， eg：y=2x+1表示y是x的函数。 02 知识精讲 注意2： ①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值， eg：y=2x+1，当x=5时，y=2×5+3=13； ②当已知函数表达式时，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程， eg：y=2x+1，当y=-99时，-99=2x+1，解得：x=-50。 讨论与交流 100km 200km 根据表格中的数值，你可以在平面直角坐标系中画图表示吗？ 6 7 5 4 O t(h) 3 2 1 100 200 y/km 300 400 500 600 如果把自变量值当作点的横坐标,对应 的函数值当作点的纵坐标,可记为(1,100),________, _________, _________, _________, __________. (2,200) (3,300) (4,400) (5,500) (6,600) 讨论与交流 6 7 5 4 O t(h) 3 2 1 100 200 y/km 300 400 500 600 像这样，在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像(graph). 函数的三种表示方法： 1.列表法 2.函数表达式法 3.图像法 三种方法可以相互转化，在应用中要根据具体情况选择适当的方法. 表示函数关系有三种表达方法: t/h 1 2 3 4 … y/km 100 200 300 400 … (1)列表: (2)表达式: y＝100t (3)图像: 从表格中可以直接读取数据； 表达式用简洁的数学符号表现了两变量间的数量关系； 从图像可以直观地看出函数的变化情况. 归纳总结 初步了解不同表示方法上的特点，重点掌握解析式法和图像法，因为两者将是解决函数问题的主要形式. 10 Administrator (A) - 要让学生掌握函数的三种表示方法，是最基本的内容，对后续内容有着深远的影响，打好基础至关重要。 新知巩固 1. 在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．如图，是我国某海港某天的实时潮位图． (1)这个图揭示了这一天中，哪两个量之间的函数关系？ (2) 哪个量是哪个量的函数？ 这个图揭示了时间和潮位之间的函数关系. 潮位是时间的函数. 50 y/km 100 200 3 2 O t/h 1 4 新知巩固 2.一辆汽车从甲地开往相距200千米的乙地，已知汽车的速度为50千米/时，请分别用表达式法、列表法、图像法表示出汽车与乙地的距离y(单位:千米)和出发时间t(单位:时)之间的函数关系. 解：(1)表达式法：y=200-50t，其中0≤t≤4. t (时) 0 1 2 3 4 y (千米) 200 150 100 50 0 (3)图像法：根据上面表格中的数据，描点、连线，画出图像如图所示: (2)列表法: 150 解：汽车行驶100km耗油10L，行驶skm耗油10·L，所以 Q(L)与s(km)之间的函数表达式为： Q=40-10·， 即Q=40- 例题讲解 例1 汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油量10L，求行驶过程中油箱内剩余油量Q（L）与行驶路程S（km）的函数表达式. 例题讲解 (1)汽车行驶250km时，油箱里还有多少油？ 当S=250时，Q=40-10×=15L (2)行驶路程S最大为多少？最小为多少？S的范围是多少？ S最大为400，最小为0，0≤S≤400. 在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围. 例如，上题中自变量的取值范围是0≤S≤400. 02 知识精讲 自变量的取值范围 自变量的取值范围包括两层含义： 一、使实际问题有意义。 二、使含有自变量的表达式有意义： ①当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为0，eg：y=，x≠0； ②当表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于0，eg：y=，x≥0。 课堂练习 1.下列函数中自变量x的取值范围是什么？ -2 x取全体实数 x取全体实数 使函数有意义的自变量的全体. 练1．商店有100支铅笔． （1）如果卖出x支，还剩y 支，那么y ＝　　　　； （2）当x越来越大时，y会发生什么变化？ （3）请写出自变量x的取值范围． ________________________　　　　　 y随x增大而减小． 0≤x≤100，且x为整数． 100－x 随堂演练 练2．函数y＝中，自变量x的取值范围是(　 ) A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1 D 练3.汽车行驶前油箱中有汽油52升,已知汽车每百千米耗油8升,油箱中的余油量Q(升)(油箱中剩余的油量不能少于4升)与汽车行驶的路程s(百千米)之间的函数表达式为　 　　(注明s的取值范围).  变：(2022·大连)汽车油箱中有汽油30L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶路程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.当0≤x≤300时, y关于x的函数表达式为　　　　　　. Q=52-8s(0≤s≤6) y=30-0.1x 新知巩固 练4.已知等腰三角形的顶角为y°，底角为x°，则y与x之间的函数表达式是______________，其中自变量x的取值范围是__________. y＝－2x＋180 0＜x＜90 y＝－2x＋12 3＜x＜6 练5.等腰三角形周长为12，则底边y与腰长x之间的函数表达式是_____________，其中自变量x的取值范围是_____________. 新知归纳 确定函数自变量的取值范围需要注意的问题： (1)使函数表达式本身有意义； (2)在实际问题中还需要使实际问题有意义. 例2 小明骑自行车从甲地到乙地，图中的折线表示小明的行程 s (km)与途中所花时间 t (h)之间的函数关系． 新课讲授 （1）小明从甲地到乙地用了多少时间？ 解：(1)小明从甲地到乙地用了7h. 例2 小明骑自行车从甲地到乙地，图中的折线表示小明的行程 s (km)与途中所花时间 t (h)之间的函数关系． 新课讲授 （2）小明出发5h时，距离甲地有多远？ (2)当t=5时，s=30.小明出发5 h时，距离甲地 30 km. 例2 小明骑自行车从甲地到乙地，图中的折线表示小明的行程 s (km)与途中所花时间 t (h)之间的函数关系． 新课讲授 （3）折线中有一条平行于t轴的线段，它的意义是什么？ 解：(3)当t从2变化到4时，s的值不变，说明小明在途中滞留了2h. 例2 小明骑自行车从甲地到乙地，图中的折线表示小明的行程 s (km)与途中所花时间 t (h)之间的函数关系． 新课讲授 （4）自变量t的取值有范围吗？ 例2 小明骑自行车从甲地到乙地，图中的折线表示小明的行程 s (km)与途中所花时间 t (h)之间的函数关系． 新课讲授 （5）你还能从图中获得哪些信息？请与同伴交流． 解析 目标突破 例2 [教材例2针对训练]小明骑自行车从甲地到乙地,图6-1-1中的折线表示小明途中所花时间t(h)与行程s(km)之间的函数关系. (1)图像上的点A表示什么含义? (2)出发3 h后,他离甲地多远? (3)他离甲地30 km时,出发了多长时间? (4)分别说明线段CD,DE的意义. 图6-1-1 全品初中 新知巩固 1.甲、乙两人出门散步，用20 min走了900 m后，甲随即按原速返回；乙遇到一位朋友，并与朋友交谈了 10 min后，用 15 min 回到家里.在下列4个图像中，哪一个表示甲离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系？哪一个表示乙离家的路程与时间之间的函数关系？ 解：②表示甲离家的路程与时间之间的函数关系， ④表示乙离家的路程与时间之间的函数关系. 新知巩固 2. 龟兔赛跑的故事大家听说过，下图正是表明龟兔赛跑的距离s(m)与t（分钟）之间的函数图像，你能回答下列问题吗？ C B A 乙 甲 1 60 90 4 5 150 120 3 2 30 - 1 - 2 - 3 - 2 - 1 o 6 7 180 s t ①哪个图像代表兔子？你是怎么判断的？ ②点C表示的实际意义是什么？点A呢？点B呢？ ③兔子休息了多长时间？ 乙图像代表兔子，因为乙图像表示的路程中途有休息时间． 点C的意义：比赛开始1min后，兔子停下来休息； 点A的意义：比赛开始2min时，乌龟追上了兔子； 点B的意义：比赛开始后6min，兔子又开始赛跑． 5 min (2022·玉林)龟兔赛跑之后,输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.如图所示的函数图像表示了龟兔再次赛跑的过程,其中x(分钟)表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间,y1(米)、y2(米)分别表示兔子与乌龟所走的路程.下列说法错误的是 (　　) A. 兔子和乌龟比赛路程是500米 B. 中途,兔子比乌龟多休息了35分钟 C. 兔子比乌龟多走了50米 D. 兔子比乌龟早5分钟到达终点 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 新知归纳 解答图像信息题主要运用数形结合思想,化图像信息为数字信息. 主要步骤如下: (1)了解横、纵轴的意义； (2)从图像形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图像中端点、拐点等特殊点的实际意义. 课堂小结 函数表示方法 列表法 列表法比较直观，可以从表格中可以直接读取数据； 表达式法 表达式法比较准确，用简洁的数学符号表现了两变量间的数量关系； 图像法 图象法比较形象，可以直观地看出函数的变化情况. 函数 (1)把自变量的取值代入函数关系式; (2)计算求值. ①使含自变量的函数关系式有意义; ②涉及实际问题时, 保证实际问题有意义。 函数值 自变量的取值范围 函数关系式 ①审清题意; ②找准相等关系; ③选用适当的字母表示自变量和因变量列出相等关系的式子. 32 当堂检测 1.某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为(　 ) A. y＝x＋50 B. y＝50x C. y＝ D. y＝ C 2.两个变量x、y之间的函数关系如图所示, 则函数值y的取值范围是( 　) A.－3≤y≤3 B.0≤y≤2 C.1≤y≤3 D.0≤y≤3 D 当堂检测 3.某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么下列四个图中反映全程h与t的关系图是(　　) D 当堂检测 4. 如图是甲、乙两人在100米赛跑中，路程s(米)与时间t(秒)的关系，根据图像，下列结论错误的是(　　) A．甲比乙先到达终点 B．甲、乙速度相差2米/秒 C．甲的速度为10米/秒 D．乙跑完全程需12秒 B 当堂检测 6. 已知变量x与y之间的关系式为y＝3x2－1，则当x＝－2时，y的值为_____． 11 5. 一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h＝________，其中自变量t的取值范围是_______． 20－4t　 0≤t≤5 当堂检测 7.已知火车站托运行李的费用C(元)和托运行李的重量P(千克)(P为整数)的对应关系如表： P 1 2 3 4 5 … C 2 2.5 3 3.5 4 … (1)已知小周的所要托运的行李重12千克，请问小周托运行李的费用为多少元？ 7.5元 C=0.5P+1.5 27千克 (2)写出C与P之间的函数表达式. (3)小李托运行李花了15元钱，请问小李的行李重多少千克？ 当堂检测 8.星期天小红从家里出发骑车去舅舅家做客，她骑了一段路后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家.如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系的示意图.根据图中提供的信息回答下列问题： 当堂检测 (1)小红家到舅舅家的路程是_____米，小红在商店停留了___分钟； 1500 4 (2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快速度是多少米/分？ 解：根据图像，知12≤x≤14时，直线最陡， 故在12～14分钟小红骑车速度最快， 最快速度为＝450(米/分)． 当堂检测 (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？ 解：本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了： 1200＋(1200－600)＋(1500－600)＝2700(米)． 9.下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上。 (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明在食堂吃早餐用多少时间？ (3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4)小明读报用了多长时间？ (5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 8 25 28 58 68 x/min 0.8 0.6 y/km O 0.6km，8min 0.2km，3min 30min 0.8km，0.08 km/min 17min 10. (2022·重庆)如图,曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况,则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 (　　) A. 5m B. 7m C. 10m D. 13m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1题 11. 已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如下表: 则这个函数的表达式可以为 (　　) A. y=2x B. y=x-1 C. y= D. y=x2 x … -1 0 1 2 … y … -2 0 2 4 … A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12. 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶.过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.如图,可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是　　　　(填序号).  　　　 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13. 小明从家出发到商场购物后返回,如图所示为小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系,已知小明购物用时30min,返回速度是去商场的速度的1.2倍,则a的值为　　　　. 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14. 分别写出下列函数的表达式,并求出式中自变量的取值范围: (1) 长方形的周长为12,求它的面积S与一边的长x之间的函数表达式; (2) 行走的路程为100km,求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式; (1) S=x(6-x)　0<x<6　 (2) v=　t>0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 某种储蓄的年利率为1.5%,存入10000元本金,求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数表达式; (4) 设等腰三角形顶角的度数为α,底角的度数为β,求α与β之间的函数表达式. (3) y=10000(1+1.5%x)　x为正整数　 (4) α=180°-2β　0°<β<90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15. (2023·深圳)如图①,在Rt△ABC中,动点P从点A运动到点B再到点C后停止,速度为2单位长度/秒,其中BP的长与运动时间t(秒)之间的关系如图②所示,则AC的长为　　　　. 17 解析:由图像可知,当t=0时,点P与点A重合,∴ AB=15,∴ 点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5(秒),∴ 点P从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4(秒),∴ BC=2×4=8.在Rt△ABC中,由勾股定理,可得AC=17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16. (2023·株洲)某花店每天购进16支某种花,然后出售,如果当天售不完,那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数,单位:支),统计如下表: (1) 该花店在这10天中出现该种花作废处理情形有　　　　天.  日需求量n 13 14 15 16 17 18 天　数 1 1 2 4 1 1 4 解析:1+1+2=4(天). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当n<16时,日利润y(元)关于n的函数表达式为y=10n-80;当n≥16时,日利润为80元. ① 当n=14时,求该花店这天的利润为多少元; ② 求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的天数. ① 当n=14时,y=10n-80=10×14-80=60.∴ 当n=14时,该花店这天的利润为60元　 ② 当n<16时,令70=10n-80,解得n=15.当n=15时,对照表格,发现满足题意的天数是2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17. 下列实际情境中的变量关系可以用如图所示的图像近似地刻画的是 （　C　） A. 匀速骑行的自行车的速度 y 与时间 x 的关系 B. 篮球运动员投出去的篮球的高度 y 与时间 x 的关系 C. 燃烧的蜡烛的长度 y 与时间 x 的关系 D. 早晨升起的国旗高度 y 与时间 x 的关系 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18. 小明一家开车到离家500km远的某景点旅游，出发前将油箱加满 油.下表记录了行驶路程 x （km）与油箱内剩余的油量 y （L）之间 的部分数据： 行驶路程 x /km 0 50 100 150 200 … 油箱内剩余的油量 y /L 45 41 37 33 29 … 下列说法中，不正确的是（　C　） C A. 该车的油箱容量为45L B. 该车每行驶100km耗油8L C. 油箱内剩余的油量 y （L）与行驶路程 x （km）之间的关系为 y ＝45－8 x D. 当小明一家到达景点时，油箱内剩余5L油 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19. 已知等腰三角形的周长为20，则底边长 y 与腰长 x 之间的函数表达式 为 ，自变量 x 的取值范围是 ⁠. y ＝20－2 x 　 5＜ x ＜10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20. （2024·亳州一模）某航空公司规定：旅客可免费携带一定质量的行 李，超出部分需另外收费.下表列出了旅客携带的行李质量 x （千克）与 其运费 y （元）之间的关系： x /千克 20 23 26 29 32 y /元 0 90 180 270 360 若某旅客携带了40千克的行李，则他应该支付的运费为（　D　） A. 450元 B. 500元 C. 560元 D. 600元 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21. 声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系如下表： 温度/℃ －20 －10 0 10 20 30 声速/（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法中，错误的是（　D　） A. 在这个关系中，自变量是温度，声速是温度的函数 B. 温度越低，声速越慢 C. 温度每升高10℃，声速增加6m/s D. 当空气温度为40℃时，声音可以传播354m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22. 同一温度的华氏度数 y （℉）与摄氏度数 x （℃）之间的函数表达式 为 y ＝ x ＋32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温 度的摄氏度数为 ℃. －40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第8题） （1） 机动车行驶 h后加油，加油 L. 5　 24　 23. ★某机动车出发前油箱内有油42L，以40km/h的速度匀速行驶一段时 间后，到加油站加油，油箱内剩余油量 Q （L）与行驶时间 t （h）之间 的关系如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 根据图像，计算该机动车在行驶过程中每小时的耗油量. 解：（2） （42－12）÷5＝6（L），∴ 该机动车在行驶过程中每小时 的耗油量为6L. （3） 够用.理由：∵ 200÷40＝5（h），∴ 到达目的地还要耗油 5×6＝30（L）.∵ 机动车途中加油后油箱内剩余油量为36L，36＞ 30，∴ 够用. （3） 如果加油站距目的地还有200km，车速仍为40km/h，要到达目的地，油箱内的油是否够用？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24. （2024·武汉模拟）一个有进水管与出水管的容器，已知进水速度为 每分钟5L，出水速度为每分钟4L，某个时间段内容器内的水量 y （L） 与时间 x （min）之间的关系如图所示，则图中 t 的值为 ⁠. （第9题） 4.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25. （2023·邯郸馆陶期中）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往 常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的文 具店，买到文具后加速骑车去学校.如图所示为他本次上学所用的时间 与离家的距离之间的关系图. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1） 小明家到学校的距离是 m，文具店到学校的距离 是 ⁠m. 1500　 900　 （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 小明在文具店停留了 min，本次上学途中，小明一共骑行 了 m.（3） 若小明不买文具，以往常的速度去学校，需要用多 长时间？ 解：∵ 小明往常的速度为1200÷6＝200（m/min），∴ 去学校需要用 的时间为1500÷200＝7.5（min）.∴ 小明不买文具，以往常的速度去学 校，需要用7.5min. 4　 2700　 （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26、小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是小明测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值。 写出y与x的关系式：________。 【分析】由表格可知：弹簧的起始长度为15cm，所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加3cm，∴y与x的关系式为y=3x+15。 y=3x+15 【分析】(1)当x=-2时，y===1； 27、(1)当x=-2时，函数y=的函数值为________； (2)变量x与y之间的关系是y=x2+24，当y=49时，自变量x的值是________。 1 (2)当y=49时，x2+24=49，x2=25，解得：x=±5。 ±5 $$