6.2 第2课时 求一次函数关系式 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第6章 一次函数 6.2 第2课时 求一次函数关系式 2024/12/03 1、什么叫一次函数? 3、说说一次函数和正比例函数之间的关系. 形如 y = kx + b (k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，其中x 是自变量， y 是 x 的函数． 当b = 0时， y=kx (k为常数，k≠0)，y叫做 x 的正比例函数. 2、什么叫正比例函数? 一次函数中包括正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 知识回顾 知识回顾 写出下列各题中y与x之间的函数表达式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）摩托车以50千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系； （3）一棵树现在高40厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）. 　（2）正方体的表面积y（cm2）与它的棱长x（cm）之间的关系； y＝6 ,不是一次函数，也不是正比例函数 y＝50x,是一次函数，也是正比例函数 y＝3x+40 ,是一次函数，不是正比例函数 (1)已知函数 y = 4x + 5，当 x = -3 时，y =____; 当 y = 5 时，x = ____. (2)已知函数 y = -3x＋1，当 x = 2时，y = ____； 当 y = 0时，x = ____. 若在某个一次函数中,当 x=-3时, y=-7;当 x=0时, y=5; 你能写出这个一次函数的表达式吗? 获取新知 -7 0 -5 探究 分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求出k，b. 若在某个一次函数中,当 x=-3时, y=-7;当 x=0时, y=5; 你能写出这个一次函数的表达式吗? 探究1 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). ∵当 x=-3时, y=-7;当 x=0时, y=5; ∴ 解得 ∴ y＝4x+5. 一次函数的解析式为y＝4x+5. 确定一次函数表达式的一般步骤 (1)设函数表达式为: y=kx+b（k≠0）; (2)根据已知条件列出关于k、b的方程(组); (3)解方程(组); (4)把求出的k, b值代回到表达式中即可. 归纳: 一设、二列、三解、四还原. 像这样先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，最后确定函数表达式的方法叫做待定系数法. 归纳总结 由于正比例函数的解析式y＝kx(k≠0)中，只有一个待定系数k，因此只需要一个条件就可以求得k的值，从而确定正比例函数的解析式． Administrator (A) - 问一问学生这个方法像我们以前学过的哪个知识点；引导学生想到解方程。 解析 变1.1 已知y是x的一次函数,当x=3时,y=0;当x=1时,y=2.求这个一次函数的表达式. 全品初中 变1.2 在一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）中， 当x=1时,y=2，当x=3时,y=5，求出k、b的值。 解：由x = 1时,y = 2，得 2 = k + b 由x = 3时,y = 5，得 5 = 3k + b 联立方程组 ，解得 变1.3 已知 y 是关于x 的一次函数，下表列出了部分对应值： x … －2 －1 0 1 b … y … －8 a －2 1 4 … (1) 求此一次函数的表达式； (2) 求a，b 的值． 解：(1)设此一次函数的表达式为 y＝kx＋b． 由表格可知，当x＝1 时，y＝1； 当x＝0 时，y＝－2． 将这两组对应值代入表达式， 得 k＋b＝1，解得 k＝3， b＝－2， b＝－2. ∴ 一次函数的表达式为 y＝3x－2； (2) 把 x＝－1 代入y＝3x－2，得 y＝－5， ∴ a＝－5． 把 y＝4 代入 y＝3x － 2，得 x＝2， ∴ b＝2． 变1.4 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值: x … －2 1 3 … y … 7 －2 －8 … 则y与x的函数表达式为(　D　) A.y＝－2x＋1 B.y＝2x－3 C.y＝3x－1 D.y＝－3x＋1 D 【分析】 设y与x的函数表达式为y=kx+b， ∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=9， ∴，解得：， ∴一次函数表达式为：y=-2x+7。 变1.5 一次函数中，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=9，则一次函数表达式为________。 y=-2x+7 变1.6 已知y是x的一次函数,且当x=1时,y=-1;当x=2时,y=1,求这个一次函数的表达式. 变1.7 已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y=1;当x=-1时,y=-3;当x=m时,y=3.求这个一次函数的表达式,并求出m的值. 解:把x=2,y=1和x=-1,y=-3代入一次函数y=kx+b,得 解得 所以这个一次函数的表达式为y=x-. 当x=m时,y=3=m-.所以m=. 变1.8 已知一次函数的图象过点(3, 5)与(－4,－9)，求这个一次函数的解析式. 求一次函数y＝kx＋b的解析式，关 键是求出k，b的值. 从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求 出k，b. 分析： 设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 因为y＝kx＋b的图象过点(3, 5)与(－4,－9)， 所以 解方程组得 这个一次函数的解析式为y＝2x－1. 解： 变1.9 17 （2024·沛县段考）已知 y 是 x 的一次函数，且当 x ＝1时， y ＝－1；当 x ＝2时， y ＝1，则该函数的表达式为 ⁠. y ＝2 x －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 变1.10 已知函数y＝－3x＋b，当x＝－时，y＝－1，则b＝________. 已知y=kx+b(k≠0)，当x=0时，y=1；当x=1时，y=2，分别将这两对x、y的值代入函数表达式，得方程组　　　　　　，解得_________. 已知一个正比例函数，当x=2时，y=4，则这个正比例函数的表达式为__________. 说出你确定这个函数表达式的依据. y＝2x 探究2 (1)已知 y 与 x 成正比例，且当 x＝－2时， y ＝6.求y与x之间的函数表达式; (2) y与x＋2成正比例，并且当x＝4时，y＝10，求y与x的函数关系式； (3) 已知y-3与x成正比例,且当x=-2时,y=7,求y与x之间的函数表达式；  (4)已知y－3与2－x成正比例，且x＝1时 y＝6．试求y与x之间的函数表达式； 四大题型 （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式； 解：（1） ∵ y 与 x 成正比例，∴ 设 y ＝ kx (k为常数，k ≠ 0). ∵ 当 x ＝－2时， y ＝6， ∴ 6＝－2 k ， ∴ k ＝－3. ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝－3 x （2） 当 y 的值为－3时，求 x 的值. 解：（2） 由题意，得－3＝－3 x ，解得 x ＝1 已知 y 与 x 成正比例，且当 x ＝－2时， y ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题型1 y 与 x＋2成正比例，并且当x＝4时，y＝10，求y与x的函数关系式. 根据正比例函数的定义，可以设y＝k(x＋2)，然后 把 x ＝ 4，y ＝ 10代入求出k的值即可. 设 y ＝ k(x＋2) (k为常数，k ≠ 0) ， ∵ x ＝ 4时，y ＝ 10， ∴ 10 ＝ k(4＋2)， 解得 分析： 解： 对于一次函数，其表达式中的k、b皆为未知数时，该怎么处理呢？ 题型2 已知y-3与x成正比例,且当x=-2时,y=7,则y与x之间的函数表达式为　　　　　　　　.  y=-2x+3 题型3 已知y－3与2－x成正比例，且x＝1时 y＝6． (1)试求y与x之间的函数表达式； 题型4 解：∵ y－3与2－x成正比例， ∴可设y－3＝k(2－x)(k为常数，k ≠ 0)． 把x＝1，y＝6代入，可得6－3＝k(2－1)，解得k＝3， ∴ y－3＝3(2－x)，整理得y＝－3x＋9． ∴ y与x之间的函数表达式为y＝－3x＋9. (2)当y＝15时，求x的值． 解题秘方：把y＝15 代入(1)中的函数表达式，求出相应的x值即可． 解：把y＝15代入函数表达式可得15＝－3x＋9， 解得x＝－2． 若 y －2与2 x ＋3成正比例，且当 x ＝1时， y ＝12. （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式. 解：（1） 设 y －2＝ k （2 x ＋3） (k为常数，k ≠ 0)． 把 x ＝1， y ＝12代入，得12－2＝5k ， ∴ k ＝2. ∴ y －2＝2（2 x ＋3），即 y ＝4 x ＋8. ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝4 x ＋8. （2） 当 y ＝4时，求 x 的值. 解：（2） 当 y ＝4时，4 x ＋8＝4，解得 x ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 变2.1 已知 y－3 与 2－x 成正比例，且 x＝1 时y＝6． (1) 试求 y 与 x 之间的函数表达式； (2) 当y＝15 时，求 x 的值． 变2.2 解：(1)∵ y－3 与2－x 成正比例， ∴可设y－3＝k(2－x)(k 为常数，k≠0)． 把x＝1，y＝6 代入，可得 6－3＝k(2－1)， 解得k＝3， ∴ y－3＝3(2－x)，整理得y＝－3x＋9． ∴ y 与 x 的函数表达式为y＝－3x＋9； (2) 把y＝15 代入函数表达式 y＝－3x＋9， 可得15＝－3x＋9， 解得 x＝－2． 已知2y－3与3x＋1成正比例，则y与x的函数表达式可能是(　C　) A.y＝3x＋1 B.y＝＋1 C.y＝＋2 D.y＝3x＋2 C 变式2.3 y1与x＋1成正比例，y2与x－1成正比例，y＝y1＋y2，当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝14.求y与x的函数表达式. 解：∵y1与x＋1成正比例， ∴设y1＝k1(x＋1)(k1≠0)． ∵y2与x－1成正比例， ∴设y2＝k2(x－1)(k2≠0)． ∵y＝y1＋y2， ∴y＝k1(x＋1)＋k2(x－1)． ∵当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝14， ∴解得 ∴y与x的函数表达式为y＝2(x＋1)＋3(x－1)， 即y＝5x－1. 变式2.4 已知 y = y2 + y1，其中y1与x成正比例， y2与x-2成正比例，且当 x = -1时，y = 2；当 x = 2时，y = 5， 求y与x之间的函数表达式； 变式2.5 已知 y = y2 – y1，其中y1与x成正比例， y2与x+2成正比例，且当 x = -1时，y = 2；当 x = 2时，y = 10， (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x取何值时，y的值为30？ 变式2.6 解析 变式2.7 全品初中 若5 y ＋2与 x －3成正比例，则（　B　） A. y 是 x 的正比例函数 B. y 是 x 的一次函数 C. y 与 x 没有函数关系 D. 以上都不正确 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 变式2.8 在弹性限度内，弹簧长度y (cm)是所挂物体的质量x (g)的一次函数. 已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时的长度为15cm，试求y与x的函数表达式. 思考：(1)一次函数的表达式里有几个待定的常量？ (2)要确定一个待定的常量，需要几个已知条件？两个呢？ 一次函数的表达式中有两个待定系数，因而需要两个条件. 探究3 在弹性限度内，弹簧长度y (cm)是所挂物体的质量x (g)的一次函数. 已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时的长度为15cm，试求y与x的函数表达式. 解：根据题意，设y与x的函数表达式为y= kx +b(k≠0). 由x=10时，y=11，得11=10k+b. 由x=30时，y=15，得15=30k+b. 解方程组得 所求函数表达式为y= 0.2x+9. 在一定范围内，弹簧的长度 y （cm）与它所挂物体的质量 x （g）之间满足表达式 y ＝ kx ＋ b .已知所挂物体的质量为50g时，弹簧长12.5cm，所挂物体的质量为200g时，弹簧长20cm，则当弹簧长15cm时，所挂物体的质量为（　B　） A. 80g B. 100g C. 120g D. 150g B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 变式3.1 （新情境）小青乘飞机去旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到 如下表格： 飞机距离地面的高度 h /km 0 1 2 3 … 飞机机舱外面的温度 t /℃ 8 2 －4 －10 … 若某时刻飞机机舱外面的温度显示为－22℃，地面的温度为8℃，则小 青所乘坐的飞机此时距离地面（　D　） A. 8km B. 7km C. 6km D. 5km D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 变式3.2 某产品每件的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表，若日销售量y(件)是每件的销售价x(元)的一次函数. x(元) 15 20 25 … y(件) 25 20 15 … (1)求日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式 (不要求写自变量的取值范围)； (2)若该产品每件的成本是10元，当每件的销售价定为30元时，求每日的销售利润. 变式3.3 解：(1)设日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).根据题意，得 解得 (2)因为该产品每件的成本是10元，每件的销售价为30元，所以每件的利润为30-10=20(元)，日销售量为-x+40=-30+40=10件. 所以每日的销售利润为10×20=200(元). 答：每日的销售利润为200元. 故日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为y=-x+40. 某客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付行李费y(元) 是行李质量x(kg)的一次函数. 已知行李质量为20 kg时需付行李费2元，行李质量为50 kg时需付行李费8元. (1)当行李质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)； 解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 由题意,得解得 所以当行李质量x超过规定时，y与x之间的函数表达式为y=x-2. 变式3.4 (2)求旅客最多可免费携带行李的质量. 解：(2)当y=0时，x-2=0，解得x=10. 答：旅客最多可免费携带行李的质量为10 kg. 某地举办乒乓球比赛的费用 y （元）包括两部分：一部分是租用比赛 场地等固定不变的费用 b （元），另一部分与参加比赛的人数 x 成正比 例.当 x ＝20时， y ＝1 600；当 x ＝30时， y ＝2 000. （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式； 解：（1） 设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .由题意，得 解得 ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝40 x ＋800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 变式3.5 （2） 如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员均摊，那么每 名运动员需要支付多少元？ 解：（2） 当 x ＝50时， y ＝40×50＋800＝2 800.∵ 全部费用由运动员 均摊，∴ ＝56（元），即每名运动员需要支付56元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式. 解：（1） 设 y ＝ kx ＋ b .由题意，得解得 ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝7.5 x ＋0.5. 生物学研究表明，某种蛇的长度 y （cm）是其尾长 x （cm）的一次 函数.已知当蛇的尾长为6cm时，蛇的长度为45.5cm；当蛇的尾长为14cm 时，蛇的长度为105.5cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 变式3.6 （2） 当一条蛇的尾长为10cm时，这条蛇的长度是多少厘米？ 解：（2） ∵ y ＝7.5 x ＋0.5，∴ 当 x ＝10时， y ＝10×7.5＋0.5＝75.5. ∴ 这条蛇的长度是75.5cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，假 设课桌的高度 y （cm）是椅子的高度 x （cm）的一次函数，下表列出两 套符合条件的课桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子的高度x/cm 40 37 课桌的高度y/cm 75 70.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 变式3.7 （1） 请确定 y 与 x 之间的函数表达式. 解：（1） 设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .根据题意，得 解得∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝1.6 x ＋11. （2） 现有一把高39cm的椅子，与它相配套的课桌的高度应为多少？ 解：（2） 当 x ＝39时， y ＝1.6×39＋11＝73.4，∴ 课桌的高度应为 73.4cm. (3)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 m的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由. 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度. 水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？ 变式3.8 用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设 C = kF + b， 解： 由已知条件，得 212k + b =100， 32k + b = 0 . ｛ 解这个方程组，得 因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为 若正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0），当 x 的值减小1， y 的值就减小2，则 当 x 的值增加2时， y 的值（　A　） 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b ，当 x 减少4时， y 增加2，则 k 的值是 ⁠ ⁠. A. 增加4 B. 减小4 C. 增加2 D. 减小2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 拓展1 解:设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.（k≠0） ∵当x=3时,y=0；当x=1时,y=2； ∴解得∴y=-x+3 ∴这个一次函数的表达式为y=-x+3. 解:设y=kx+b.由当x=1时,y=-1, 得k+b=-1; 由当x=2时,y=1,得2k+b=1, 即解得 所以y=2x-3. [答案] 小丽的说法不对.理由:因为y-2与x成正比,所以y-2=kx.所以y=kx+2.所以y是x的一次函数,而不是正比例函数. 小丽说:“因为y-2与x成正比,所以y是x的正比例函数.”小丽的说法对吗?为什么? $$