湖北省十一校2025届高三上学期第一次联考(一模)数学试题

2025 届高三湖北十一校第一次联考 数学试题参考答案 1.【答案】C 【解答】集合 故 . 2.【答案】A 【解答】由 ,则 ,即 3.【答案】A 【解答】由题意 ,解得 . 4.【答案】C 【解答】由图可得 所以 ,且 ,得 ,故选 C 5.【答案】D 【解答】 中, . 6.【答案】C 【解答】由 点到直线 的距离为 ,故 的外接圆直径 设三棱柱 的外接球半径 , 则 ,外接球表面积 . 7.【答案】B 【解答】由题 ,又直线 都与椭圆 相切,因此直线 所围成矩形的外接圆 即为椭圆 的蒙日圆,由 A、B 为椭圆 上任意两个动点,动点 满足 为锐角,得点 在圆 外,又动点 在直线 上,因此直线 与圆 相离,则 得 ,则 ,解得 , 所以椭圆 的离心率的取值范围为 8.【答案】B 【解答】因为 为偶函数,所以 ,所以 是奇函数,所以 因为 ,所以 ,所以 所以 ,所以 又 ,所以 是周期为 4 的函数 9.【答案】 【解答】A 中, 的周期 ,所以 A 正确; 中,令 ,得对称中心为 ,故 正确 中,将 的图象向左平移 个单位长度,得到 的,故 错误; 中,由 的对称轴为 在 上不单调 故 错误. 10.【答案】 【解答】由函数 的定义域为 , 且 ,所以 的单调递增区间为 , 中,令 ,得 ,所以 错误; 中,由已知得 ,充分性得证,所以 正确; 中, 有两个零点 ,方程 与 分别有两个实数解, 正确; 中,由 ,即 , 令 ,可得 , 所以 在(0,1)为单调递减函数,所以 ,即 , 因为 ,可得 ,所以 , 得 ,所以 正确. 11.【答案】 【解答】设 点坐标为(x, y),则曲线 , 正确; 中,若 ,则 ,这样的 点只有 1 个,即为原点, 错误; 中,由 得, 整理得, ,所以 正确; 中,从双纽线的图形上,可以观察有四个点处切线的斜率为 0, 另外,由 得 ,则 , 令 或 0,经计算曲线 在原点处的切线方程为 正确. 12.【答案】 1 【解答】由 得: ,则 ,所以 . 13.【答案】 【解答】设 ,则 ,设切点为 ,则 , 可得切线方程为 ,整理可得 , 所以 ,解得 ,所以 ,所以 , 设 ,则 ,当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减,所以当 时, 取得最大值 , 所以 的最大值为 . 14.【答案】(1) 2 ; (2) . 【解答】(1)由托勒密定理,得 . 因为 ,所以 . 设圆 的半径为 ,由正弦定理,得 . 又 , 所以 . 因为 ,所以 , 因为 ,所以 ,所以 , 所以 ,则 ,故 . (2)如图,假设 边固定,结合 得,圆心 到直线 的距离 ,即 是以 为圆心半径为 1 的圆的切线. 过 (或 ) 分别做小圆的切线时,可得直线 当 点在劣弧 时,顶点 可以在劣弧 上运动, 由对称性可知,不妨考虑点 在劣弧 上时,通过计算可知: ,所以 与 的夹角 , 得 . 15.(13 分) 【解答】(1)证明: 为正三角形, 为 中点, . 在直三棱柱 中,平面 平面 ,又平面 平面 , 故 平面 ,则 . (3 分) 当 时, ,则 , ,即 ,而 平面 . (6 分) (说明: 也可以用坐标法证明) (2)当 时, ,易证 ,由(1)可得: 平面 . 以 为坐标原点,以 向量方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则有 , (8 分) 由 平面 可得: 平面 的一个法向量是 , (10 分) 且 . 记直线 与平面 所成角为 ,则 所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . (13 分) (说明: 也可以用几何法求解) 16.(15 分) 【解答】(1)当 且 时, ,化简得 ,即 ； (6 分) (2)由 得: ,所以双曲线方程为 ,渐近线方程分别为 , 不妨设 ,则由 得: , (9 分) 由 在双曲线 上得: , (12 分) 而 . (15 分 17.(15 分) 【解答】(1)若小明取到红色外观的模型,棕色内饰的有 12 个,米色内饰的有 2 个,则对应的概率 , 若小明取到米色内饰的模型, 红色外观的有 2 个, 蓝色外观的有 3 个, 则对应的概率 (2 分) 同时取到红色外观、米色内饰的模型有 2 个,即 ,则 . (4 分) ,即事件 和事件 不独立.(6 分) (2)由题意知 , 则外观和内饰均为同色的概率 ,(8 分) 外观和内饰都异色的概率 , (10 分) 仅外观或仅内饰同色的概率 , , 则 的分布列为: (13 分) 150 300 600 则 (元). (15 分) 18.(17 分) 【解答】(1)当 时, , 1 分 令 ,则 当 时, ,即 在 为减函数, 当 时, ,即 在 为增函数, -3 分 所以 ,即 所以 在 上为增函数; -4 分 (2)因为 ,所以 设 则 -5 分 令 则 , 在 为增函数,即 在 为增函数, 故 . 6 分 当 时, ,此时 在 为增函数, 故 ,符合题意; 7 分 当 时, ,且 在 为增函数 (趋于正无穷大), 故存在 满足 ,则 在 递减, 所以当 时, ,不符合题意. 综上所述, 的取值范围为 . (3) 证明: . 由 ,得 , 所以 , -11 分 两边同除以 ,得 , 所以 , 13 分 令 ,得 ,得 . 因为 , 所以 , 15 分 因为 ,又 ,易知 ,所以 , 又 ,所以 ,故 ,得 . -17 分 (说明: 第(3)问用极值点偏移的方法对应给分, 易知部分不证明也给分) 19.(17 分) 【解答】(1) 不为 “ 数列”. 理由如下: 由题意得: , -3 分 因为 ,所以满足 的 至少有 2 个,不合题意, 所以 不为 “ 数列”; -5 分 (2)证明: 因为 ,所以当 时, ,所以 , 解得 ,所以 , -7 分 当 时, ,所以 ,解得 , 因此 ,此时 , 9 分 所以,对每一个 ,有且仅有一个 ,使得 , 故 为 “ 数列”,且其 “余项数列” 的通项为 ; 11 分 (3) 证明: 因为 为正项数列,所以 单调递增. ,所以 , -12 分 因为 ,且 为 “ 数列”,所以必有 ,因此 , 因为 “余项数列” 为等差数列,所以其公差 . 由 知: , 13 分 若 ,则当 时, ,与 矛盾,不合题意; 若 ,则 . 所以 ,即 . -14 分 对于 ,若 ,则 ,与正项数列 矛盾,所以 . 由正项数列 可知 递增,所以 , 所以 ,所以 , 所以 ,且 . -16 分 又因为 , 所以 . 17 分 学科网（北京）股份有限公司 $$回■细细期明细数时■细。■■■ 2025届高三湖北十一校第一次联考 用看用开面结内正特道看缓 有面海过小市中滋6面行国 高三数学答题卡 解回 16.本小温满分15#) 5本小型清分引分 贴条码 回填通样的 国仙考面 正结国 主中情话专：方年3：年专行学绿与请作A我时B的时汽量时，出中时的出 提月中出4相年中卡中时中车特线：过证年正 盘样■ 0 样4C1 增9期 12 13 14 请勿在此区域作答 首青门的程健科有有：用由时包出道面花可国场新速大 液数法难护台生组以址★子海，利速满色题销低国现以证销青康生游 进为，青鞋目们时应过内作重，目本型的显请第群汽过销行多年球 数学答趋寺（兴2期》第1元 有月电用利海两用有和无在酒用行车液 青作精鞋行面底储有有海活玉 有有特裙可川以和有期思其的事可 17.《本小题请分15分》 1长（本小抛离分17分） I(本小题端1T分 请准进川销型试维电作游目出后理银透生纸绿首里面 民在边道法形鞋证州出月银一越数数是数标出鞋图定提线出想儿数 餐学琴夏卡《其2真】第2夏鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学 &已刻直三被性8C-48G中，仙=4C=2,∠4c5C点 武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学 到直搜4及的离为V7,测三校柱ABC-4C,的外接豫表面积 2025届高三湖北省十一校第一次联考 为〔) A,12灯 日.16对 C.20r D,24x 数学试题 日是然著名的数学家，怕首先发现师图的两条相互避的切线的交点的轨迹是， (考试时闻：120分钟试准浅分：150分) 这个圆被称为学日圆，已知鞘园G是+二-1的保点在x轴上，不、B为模胸上任叠 免息零丝：骨河中乎命通救师：李解体感4陈浇请审通争校：制州中宇 m 3 注意串项： 两点，动点P在立线x-√2y-6-0上.若∠APB血为说角，烈希棠日园的根关知识得 【,答遁病，光将命已的斑名、准考证号填写在沈基和帮登卡上，并背准常证号条形吗粉 椭测C的离心率的取植范霸为（〉 补在器题卡上的指定社置。 2,选拜通的外等：套中通进出器秉后。用B标笔记答透卡上时应题自的答景标号涂累。 人a马 盘05 c停) 写衣认素，草猫纸和篆周卡上的非客观区城均无效。 8已知的数fx),x)的定义拔为R,gx)论g)的导数，且fx)+g)=5 3本这祥随的答：用黑色签半笔直接答在幕超卡上时应的多超区城内。耳在汉卷、莱 --g5-小=5，若5闭为偶函爱.划之/=() 杨然和答题卡上的非善耗屋域均无效。 一，选择题！本题共8小题，每小愿5分，共0分，在每小题始出的四个选项中，只有一项是 A,80 B.75 C.70 D.65 物合脱目要求的. 二，选择程：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小驱恰出的选项中，有多项符合题目 1,若集合A--1,-2,-为，8=红+后Ay6利，则A门B-() 要求全部选对的得6分，部分迹对的得部分分，有赏错的得0分。 A.1-2 B.-3 ℃.{-2-3到 D.-1,-2-3 9.已知函数f)=2血3r-马，下列说法正确的是《) 2若复数：满足+一1+2，则2-《） B.2 C.-I+i D.-I-i B.函数)的图象关于点（三，）中心对粉 18 3.已非零向量a=(心)6=们-40，若列量b在a方向.上角投影向量为2a,题1=() A.2 B.4 C.2 C.将f)的图象向左平移年个单位长度，可得到g)=2通3x的图象 D.4 4某工」”生产了500件产品，质快人员测量其长发（单 D.辆数(x)在区间伯，上单远增 位：米)，将测餐数据分减6组。整现得到图所 示的顺率分布直方图.如果要让s%的产品长度不 超过a厘米，根据直方图片计，下列最接近的数是 0已知西致/网--l弓定义级为则下列结轮正精的是() () 01 A.若a,beD且a<B,则f(a心f5 A.93.5 B.941 B.已知a,beD且0≠b,则"ab=1"是“f()+fb)=0的充分条件 闲列行第到5%长理/是米 C.9%.7 D.95.5 C.方程f气(x功-0有4个不同的实数解 5.下列选项中，与u心55"不相等的是（) A.1+m200 D.若ael,2,则fa-10>f) B.-1o125 C. D.-m0 60620 035 1+mnlo 2025岳高三淋北者十一批第一次延考数学试题蒂1可（头4刀）·印( 025属高三扇北省十一酸第一次风考戴学试题第2复（类4氢）·印航 山，双组线是中西尼阳形线的类分文，任数学由线领域占有至关原要的站位，时时也员有 17.(15分) 新殊的有价值的艺术美。双知线的图形轮素像"出”，是许多艺术家设计作品的主要儿何 2024年7月13口，国际汽车博苑会在长春蒂行，已知某汽车模型会可共有25个汽车模 元素.已知在平面直角绝标系中。F(-2,0以F(2),满足PP明-4的动点P的就迹为 盈，其外现和内作的顺色分布如下表所示： 曲线C,则下列结论正确的是() 红色外藏 萱色外就 A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形 棕色内加 12 米色内饰 3 B.m战C上菏足IPFHP5的点P有2个 (1)若小明从这些预型中效机东一个棱型，记事件A为小明取到虹色外观的模，事件：为 C.10P522 小归取到米色内作的被型，求P(B)和P风B),并判断事件A和事件B是治鞋立： D,由线C上存在闪个不阿韵点，使曲线在该点处切战的斜率为0 (2)该公司举行了一个抽奖话勒，规定在一次勃奖中，每人可以次性从这运模型中章两个 三。填边塑：本题共3小题，每小题5分，共15分 汽车模星，拾山以下酸设 12.已知数圳{}是等差数列。且其前对项和为8，若分=9,8-36，则%- 假汉1：拿到的两个楼型会出现三种结果，甲外规和内箭均为问色。外观和内饰都分色、 13.若宜线y=2x为由线y工e的一条切线。则ab的最大值为， 以及仅外南或仅内饰同色： 14.克罗载斯托表瓷是希量数学家，他博学多才，既是天文学很城。也是站现学大师.托粉 徵设2：按结果的同能牡大小，概率兹小奖项这高： 素定是平而几何中非常著名的定理，它铜示了医内接四边形的对角线专边长韵内在联 假设3：该抽奖话动的奖金额为一等奖60元，二婷奖300元，三等奖10元. 系。或定星的内岩为：圆伯内按四边形中，两条对角线长的采积等于两组对边长的菜积 请你分所奖项对应的幼果，设X为奖金闲，写出X的分泰列并求山X的量学期但· 之和。已知四边形ABCD是国O的内按州边形，且AC=58D,'乙DC=2∠BAD,若 18.(17分》 ABCD+BC,AD-45,期 己知函数Mx)=2x+e0sx,)=e-m2+1. (1)园O的半径是 (1)当#-1时，判函数g)的单调性： (2)四边彩ACD面积的取值葱围是 (2)对任童的x≥0时g气)之M)哑成立，求实数：的取值范图： 四、解客置，本题典5小题。共？7分，解客应写出文学说明、正聊过程或演草步 3)记国-M-上2，若f:)-%》,且0<<5，求证r+50 15.(13分) 2 如阁，在直三棱柱AC-ABC中，△BC是边长为2的正三角形，4M=3,D为4C 《参考公式：cs8-6p-2编01Pm0二马 2 2 中点，点E在棱CC上，且CE=CC，0<A<1 C)当2=2时，求送：E1平西DR: 19.(17分) 已知数列，}的前明和为品，若对每一个nEN”,有且仅有个烟N,使得 (2)当2=时，求直线《8，与平面即E所藏物的正猿值。 Snsa.cSu·则称a}为X数列.记点，-S-a,nEN,称数列6}为和，}的余项t 列”， 16.(15分) (1)若}的前西项依次为0,1，-1.2.试判断a,1是否为X数圳，并说明现由 已知双曲提C三卡=阳>6>)的左膜点为，右能点为F,动点B在双曲我C (2)若S,一2，证明a}为”X数，并求它的余项量列"的亚项公式： 上，当F1AF时，MF-B, (3)已知所=1的正美数列a,}为X数列，且纯，}的余暖数列“为等差数州，证明3s1+2” (1)求C的离心率： (2)己如a=1,M,两点在双由线的瓶近线上，且分别位干第一、四象限.若硒-2丽。 求△OW釣商积. 2025尾高三偏七省十一校第一次积式数学议意第3互《兴4[)·身版 025尾高三期来省十一酸第一次取考数平试题第4页（头4直》·印版 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学 2025 届高三湖北省十一校第一次联考 数学试题 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 命题学校:黄冈中学 命题教师:李钢锋 蔡盛 陈晓洁 审题学校:荆州中学 注意事项: 1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的. 1. 若集合 ,则 ( ) A. B. "C. D. 2. 若复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知非零向量 ,若向量 在 方向上的投影向量为 ,则 ( ) A. -2 B. -4 C. 2 D. 4 4. 某工厂生产了 500 件产品, 质检人员测量其长度 (单位: 厘米), 将测量数据分成 6 组, 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过 厘米,根据直方图估计,下列最接近 的数是 ( ) A. 93.5 B. 94.1 C. 94.7 D. 95.5 5. 下列选项中,与 不相等的是( ) A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱 中, 点到直线 的距离为 ,则三棱柱 的外接球表面积为( ) A. B. C. D. 7. 蒙日是法国著名的数学家, 他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆, 这个圆被称为“蒙日圆”. 已知椭圆 的焦点在 轴上, 为椭圆上任意两点,动点 在直线 上. 若 恒为锐角,根据蒙日圆的相关知识得椭圆 的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 的定义域为 是 的导数,且 , ,若 为偶函数,则 ( ) A. 80 B. 75 C. 70 D. 65 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 ,下列说法正确的是( ) A. B. 函数 的图象关于点 中心对称 C. 将 的图象向左平移 个单位长度,可得到 的图象 D. 函数 在区间 上单调递增 10. 已知函数 ,定义域为 ,则下列结论正确的是( ) A. 若 且 ,则 B. 已知 且 ,则 “ ” 是 “ ” 的充分条件 C. 方程 有 4 个不同的实数解 D. 若 ,则 11. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支, 在数学曲线领域占有至关重要的地位, 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”,是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中, ,满足 的动点 的轨迹为 曲线 . 则下列结论正确的是 ( ) A. 曲线 既是中心对称又是轴对称图形 B. 曲线 上满足 的点 有 2 个 C. D. 曲线 上存在四个不同的点,使曲线在该点处切线的斜率为 0 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知数列 是等差数列,且其前 项和为 . 若 ,则 _____. 13. 若直线 为曲线 的一条切线,则 的最大值为_____. 14. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家, 他博学多才, 既是天文学权威, 也是地理学大师. 托勒密定理是平面几何中非常著名的定理, 它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系, 该定理的内容为: 圆的内接四边形中, 两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和. 已知四边形 是圆 的内接四边形,且 . 若 ,则 (1)圆 的半径是_____； (2)四边形 面积的取值范围是_____. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 如图,在直三棱柱 中, 是边长为 2 的正三角形, 为 中点,点 在棱 上,且 . (1)当 时,求证: 平面 ； (2)当 时,求直线 与平面 所成角的正弦值. 16. (15 分) 已知双曲线 的左顶点为 ,右焦点为 ,动点 在双曲线 上. 当 时, . (1)求 的离心率； (2)已知 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限. 若 , 求 的面积. 17. (15 分) 2024 年 7 月 13 日,国际汽车博览会在长春举行,已知某汽车模型公司共有 25 个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示: 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件 为小明取到红色外观的模型,事件 为小明取到米色内饰的模型,求 和 ,并判断事件 和事件 是否独立; (2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型, 给出以下假设: 假设 1: 拿到的两个模型会出现三种结果, 即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、 以及仅外观或仅内饰同色; 假设 2: 按结果的可能性大小, 概率越小奖项越高; 假设 3: 该抽奖活动的奖金额为: 一等奖 600 元, 二等奖 300 元, 三等奖 150 元. 请你分析奖项对应的结果,设 为奖金额,写出 的分布列并求出 的数学期望. 18. (17 分) 已知函数 . (1)当 时,判断函数 的单调性; (2)对任意的 时 恒成立,求实数 的取值范围; (3)记 ,若 ,且 ,求证 . (参考公式: ) 19. (17 分) 已知数列 的前 项和为 . 若对每一个 ,有且仅有一个 ,使得 . 则称 为 “ 数列”. 记 ,称数列 为 的“余项数列”. (1)若 的前四项依次为 ,试判断 是否为“ 数列”,并说明理由; (2)若 ,证明 为 “ 数列”,并求它的 “余项数列” 的通项公式; (3)已知 的正项数列 为“ 数列”,且 的“余项数列”为等差数列,证明 . 学科网（北京）股份有限公司 $$