等式性质与不等式性质（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第1部分第3节《等式性质与不等式性质》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　) A．ac2>bc2 B．a>b C．a＋c>b＋c D.> 2．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________． 3．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________． 【知识归纳】 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论： 1．若ab>0，且a>b⇔<. 2．若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>. 【题型展示】 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．不能确定 (2)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　) A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 跟踪训练1　(1)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． (2)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 题型二　不等式的性质 例2　(1)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A．ad>bc B.＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) (2)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　) A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c) C.> D．(a－c)3>(b－c)3 跟踪训练2　(1)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 (2)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若>，则a<b C．若a<b<c<0，则< D．若a>b，则a2>b2 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________． (2)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________． 跟踪训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　) A．[－7,4] B．[－6,9] C．[6,9] D．[－2,8] (2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 基础夯实 1.若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　) A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞ 2.已知a＋b＜0，且a＞0，则(　　) A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2 3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.b＞c＞a 4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　) A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π C．－2π<α－β<0 D．{0} 5．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　) A．cos x－cos y>0 B．cos x＋cos y>0 C．ln x－ln y>0 D．ln x＋ln y>0 6.把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是(　　) A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝ D.如果a＝b，那么a3＝b3 7．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 8．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 9．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是(　　) A．b2<ab B.< C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b) 10．(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是(　　) A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ab>ac 11．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D.－>0 12．(多选)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1 C．a2>4b D.>b＋1 13.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A.若a＞b，则ac＜bc B.若ac2＞bc2，则a＞b C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D.若a＞0＞b，则|a|＜|b| 14.(多选)下面四个选项能推出＜的有(　　) A.b＞0＞a B.0＞a＞b C.a＞0＞b D.a＞b＞0 15.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 16.实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是________. 17.已知非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是________(填序号). ①＜；②a3＞b3；③2a＞2b；④ln a4＞ln b4. 18．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 19．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”) 20．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________． 21．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________． 22.已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小. 23.(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤； (2)已知c＞a＞b＞0，求证：＞. 优化提升 24.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b≤c B.b≤c＜a C.b＜c＜a D.b＜a＜c 25．已知0<a<b<1，设m＝bln a，n＝aln b，p＝ln，则m，n，p的大小关系为(　　) A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m 26．已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a 27．(多选)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　) A．c<b B．b≥1 C．b≤a D．a<c 28.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________. 29．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是________． 30.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|. (1)求证：b＋c＞0. (2)求证：＜. (3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．D　 2. 3.M>N 【知识归纳】 1．>　＝　< 2．b＝a　a＝c　＝ 3．b<a　a>c　ac>bc　ac<bc a＋c>b＋d　ac>bd 【题型展示】 例1 (1)C (2)B 跟踪训练1 (1)M>N (2)A 例2 (1)BCD (2)D 跟踪训练2 (1)AC　(2)C 例3 (1) (2)(－4,2)　(1,18) 跟踪训练3 (1)A (2)－2<<－ 基础夯实 1.B 2.A 3.B 4.C　 5.C　 6.D 7．B　 8.A　 9.AD　 10.BCD 11．AD 12．ABC 13.BC 14.ABD 15.[5，10] 16.b＞d＞c＞a 17.②③ 18．eπ·πe<ee·ππ 19．>　 20.－3，－1,0(答案不唯一) 21．(2,10) 22.＋－＝＋ ＝(a－b)·＝. ∵a＋b＞0，(a－b)2≥0， ∴≥0. ∴＋≥＋. 23.证明　(1)∵bc≥ad，＞0，∴≥， ∴＋1≥＋1，∴≤. (2)∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0. ∵a＞b＞0，∴＜， 又∵c＞0，∴＜，∴＜， 又c－a＞0，c－b＞0，∴＞. 优化提升 24.A 25．A 26．A 27．BD 28. 29．b>d>c>a 30.(1)证明　因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. (2)证明　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0， 所以0＜＜①. 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0②. ①②相乘得＜. (3)解　因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式.(只要写出一个即可) 学科网（北京）股份有限公司 $$