常用逻辑用语（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第1部分第2节《常用逻辑用语》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x<0 D．∃x∈R，tan x＝2 2．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　) A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x C．∃x∈R，ex－1<x D．∀x∈R，ex－1<x 3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________． 【知识归纳】 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 否定 ∃x∈M，綈p(x) 常用结论： 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 【题型展示】 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (2)“a>b>0”是“>1”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练1　(1)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0<< B．a2>b2 C．ln a>ln b D．2a>2b (2) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二　充分、必要条件的应用 例2　已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}． (1)若m＝2，求集合A∩B； (2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 跟踪训练2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词命题真假的判断 例3　(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．∃x∈R，≤1 B．对于∀x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x C．∀x∈R，ln(x－1)2≥0 D．∃x∈R，ln x≥x－1 命题点2　含量词命题的否定 例4　命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　) A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解 B．∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解 C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解 D．∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解 命题点3　含量词命题的应用 例5　若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B．－ C. D．－ 跟踪训练3　(1)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得＝ (2)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　) A．∀n∈N，n2≥2n＋5 B．∃n∈N，n2≤2n＋5 C．∀n∈N，n2<2n＋5 D．∃n∈N，n2＝2n＋5 (3)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________． 基础夯实 1．“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为(　　) A．∀x∉Q，都有x∉N B．∃x∉Q，使得x∈N C．∀x∈Q，都有x∈N D．∃x∈Q，使得x∈N 3.已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知命题p：∃x∈(0，1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a＞1 B.a≥e C.a≥1 D.a＞e 5.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若关于x的不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞) 7.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2 020＞0，S2 021＜0”是“a1 010a1 011＜0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3] 9.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.命题p：∀x∈R，x2＋＞4，则綈p为(　　) A.∃x∈R，x2＋≤4 B.∃x∉R，x2＋≤4 C.∀x∈R，x2＋≤4 D.∀x∉R，x2＋＞4 11．已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 13．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4 14．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件 D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0” 15．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．3 16.(多选)下列命题中是真命题的有(　　) A.∃x∈R，log2x＝0 B.∃x∈R，cos x＝1 C.∀x∈R，x2＞0 D.∀x∈R，2x＞0 17．已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________． 18．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________． 19.命题“∃x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2”的否定为__________________________. 20.设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”). 21.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________. 22.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________. 23．命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是________． 24．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________． 优化提升 25．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27.(多选)下列说法正确的是(　　) A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件 B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件 C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 28.(多选)下列四个命题中，为假命题的是(　　) A.∃x∈(0，1)，2x＝ B.“∀x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋x－1＜0” C.“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件 D.已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”的必要不充分条件 29．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A．(－∞，－5) B．(－3，－1] C．(3，＋∞) D．[0,3] 30.已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 31.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1). (1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________； (2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________. 32．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________． 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．BD　2.C　3.(3，＋∞) 【知识归纳】 1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要 2．(1)∀　(2)∃ 3．∀x∈M，p(x)　∃x∈M，p(x)　∀x∈M，綈p(x) 【题型展示】 例1 (1)B (2)B 跟踪训练1 (1)AC　(2)A 例2 解　(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0， 得x2－4x＋3<0，解得1<x<3， 所以B＝{x|1<x<3}， 又A＝{x|－2<x≤3}， 所以A∩B＝{x|1<x<3}． (2)由x2－2mx＋m2－1<0， 得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0， 所以m－1<x<m＋1， 所以B＝{x|m－1<x<m＋1}． 由p是q的必要不充分条件， 得集合B是集合A的真子集， 所以⇒－1≤m≤2(两端等号不会同时取得)， 所以m的取值范围为[－1,2]． 跟踪训练2 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0} ＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)若选①A∪B＝B，则A⊆B， 所以解得－1<a<1， 即a∈(－1,1)； 若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以 解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以 解得－1<a<1，即a∈(－1,1)． 例3 AD 例4 B 例5 D 跟踪训练3 (1)ABC (2)C (3)(－∞，－1)∪(3，＋∞) 基础夯实 1．B　 2.C　 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.A 9．B 10.A 11.C　 12.B　 13.B　 14.CD 15．AB 16.ABD 17．(－∞，－4]∪[6，＋∞) 18. 19.∀x∈(1，＋∞)，x2＋x＞2 20.充分不必要 21.－1＜k＜3 22.(－∞，－2] 23．∃x∈，sin x≥cos x 24．x<－1(答案不唯一) 优化提升 25．B 26．C 27.BC 28.BC 29．AB 30.(0，2] 31.(1)[3，＋∞)　(2)(1，] 32．乙 学科网（北京）股份有限公司 $$