第5章 导数及其应用 章末整合提升〔含真题体验〕(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦导数及其应用，涵盖导数的概念及运算、几何意义、函数单调性、极值最值、实际应用五大培优专题，配套体系构建图、例题解析图等可视化资源，通过“概念—运算—应用”递进脉络搭建学习支架，帮助学生系统梳理知识逻辑。 资料以“反思感悟”提炼方法规律，“跟踪训练”分层巩固，真题体验对接高考，注重引导学生用数学眼光理解“以直代曲”“无穷逼近”思想，用数学思维掌握分类讨论、极限算法等逻辑推理方法，用数学语言解决实际问题，有效提升数学抽象、逻辑推理与数学建模核心素养。

培优一　导数的概念及运算 1.导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概念是中学数学学科素养的一大提升． 2.在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，会求简单的复合函数的导数． （1）当函数y=（a＞0）在x=x0处的导数为0时，x0=（　　） A．a　　　 　 B．±a C．－a　 　D．a2 （2）函数y=x2cos 2x的导数为（　　） A．y′=2xcos 2x－x2sin 2x B．y′=2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′=x2cos 2x－2xsin 2x D．y′=2xcos 2x＋2x2sin 2x 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　 反思感悟 求函数导数的一般方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和或差的形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 1.已知函数f（x）可导，则=（　　） A．f′（x）　 　B．f′（2） C．f（x）　 　D．f（2） 2.（2026•徐州月考）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=－x3＋2f′（1）x＋ex，则f′（1）的值等于　　　　． 培优二　导数的几何意义 　　导数的几何意义是曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数y=f（x）在x=x0处的导数就是该函数图象在点（x0，f（x0））处的切线斜率． （1）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P处的切线垂直，则点P的坐标为　　　　； （2）（2022•新高考Ⅱ卷14题）曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　 反思感悟 　　利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程y－y0=f′（x0）（x－x0），要明确“过点P（x0，y0）的曲线y=f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y=f（x）的切线方程”的区别． 1.（2026•连云港月考）已知曲线f（x）=aln x＋x2在点（1，1）处的切线与直线x＋y=0平行，则实数a的值为（　　） A．－3　　　 　B.1　 　C.2　　　 　D.3 2.（2023•全国甲卷8题）曲线y=在点（1，）处的切线方程为（　　） A．y=x　 　 B．y=x C．y=x＋　 　 D．y=x＋ 培优三　函数的单调性与导数 　　利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的． 已知函数f（x）=x3＋（a－1）x2－ax＋1. （1）若a=1，求f（x）的单调递增区间； （2）已知f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　 反思感悟 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0求出单调区间； （2）当方程f′（x）=0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′（x）的结构特征，利用图象与性质确定f′（x）的符号，从而确定单调区间． 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“⋃”“或”连接，只能用“，”“和”隔开． 1.已知函数f（x）=＋ln x，则（　　） A．f（e）＜f（π）＜f（2.7） 　B．f（π）＜f（e）＜f（2.7） C．f（e）＜f（2.7）＜f（π） 　D．f（2.7）＜f（e）＜f（π） 2.（2026•淮安月考）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）=ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　） A．（－∞，1）　 　B．（－∞，） C．（，＋∞）　 　D．（1，＋∞） 培优四　利用导数研究函数的极值、最值 　　导数是求极值和最值的有力工具．函数的极值是一个局部性概念，一般通过确定函数的定义域，用方程f′（x）=0的根和不可导点的x值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格结合在每个区间上的单调性求极值；对于函数的最值问题，求在［a，b］上连续且在（a，b）内可导的函数f（x）的最值，可将过程简化，即不用判断极值是极大值还是极小值，而直接与区间端点函数值作比较即可． （1）（2026•盐城月考）若x=－2是函数f（x）=（x2＋ax－1）•ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（　　） A．－1　 　B．－2e－3 C．5e－3　 　D．1 （2）若函数f（x）=x3－3x在区间（2a，a＋3）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．　 　B．（－2，1） C．　 　D．（－2，－1］ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　 反思感悟 1.可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点． 2.求函数f（x）在闭区间［a，b］上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值． 3.函数在区间（a，b）上有唯一极值点，则这个极值点也是最值点． 已知函数f（x）=ax3＋bx＋c在x=2处取得极值c－16. （1）求a，b的值； （2）若f（x）有极大值28，求f（x）在区间［－3，3］上的最小值． 培优五　导数的实际应用 　利用导数解决实际问题的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f（x）； （2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）=0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值； （4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论． （2026•无锡月考）某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A、B两种小商品．当投资额为x（x≥0）千元时，在销售A、B商品中所获得的收益分别为f（x）与g（x）（单位：千元），其中f（x）=2x，g（x）=5ln（2x＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售A、B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入（　　） A．4千元 　B．3千元 　C．2千元 　 D．1千元 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　 反思感悟 1.在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑使实际问题有意义，不符合题意的值应舍去． 2.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′（x）=0的情况．如果函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可知这就是最大（小）值． 3.注意实际问题中自变量的取值范围． 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，容积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的容积最大． 1.〔一题多解〕（2023•新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）=aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A．e2　 　B．e　　 C．e－1　 　D．e－2 2.〔多选〕（2025•全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（x2－3）ex＋2，则（　　） A．f（0）=0 B．当x＜0时，f（x）=－（x2－3）e－x－2 C．f（x）≥2当且仅当x≥ D．x=－1是f（x）的极大值点 3.〔多选〕（2023•新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）= aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0　 　B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0　 　D．ac＜0 4.〔多选〕（2024•新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）=（x－1）2（x－4），则（　　） A．x=3是f（x）的极小值点 B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C．当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D．当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 5.〔多选〕（2022•新高考Ⅰ卷10题）已知函数f（x）=x3－x＋1，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f（x）的切线 6.（2025•全国Ⅰ卷12题）若直线y=2x＋5是曲线y=ex＋x＋a的一条切线，则a=　　　　． 7.（2024•新高考Ⅰ卷13题）若曲线y=ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x＋1）＋a的切线，则a=　　　　． 8.〔一题多解〕（2024•新高考Ⅰ卷18题）已知函数f（x）=ln＋ax＋b（x－1）3. （1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值； （2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形； （3）若f（x）＞－2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 9.〔一题多解〕（2023•新高考Ⅰ卷19题）已知函数f（x）=a（ex＋a）－x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋． 10.（2025•全国Ⅱ卷18题）已知函数f（x）=ln（1＋x）－x＋x2－kx3，其中0＜k＜． （1）证明：f（x）在区间（0，＋∞）存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设x1，x2分别为f（x）在区间（0，＋∞）的极值点和零点． ①设函数g（t）=f（x1＋t）－f（x1－t），证明：g（t）在区间（0，x1）单调递减； ②比较2x1与x2的大小，并证明你的结论． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $