一元二次方程及不等式学案-2025届高三数学一轮复习

第1部分第5节《一元二次方程及不等式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1.已知2x2+kx-m<0的解集为(t,-1)(t<-1),则k+m的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 2.不等式<0的解集为( ) A.∅ B.(2,3) C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,+∞) 3.已知对任意x∈R,x2+(a-2)x+≥0恒成立,则实数a的取值范围是_. 【知识归纳】 1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系 判别式 =b2-4ac >0 =0 <0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 不等式的解集 {x|x≠-} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0) ; (2)≥0(≤0) . 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 ,|x|<a(a>0)的解集为 . 【题型展示】 题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参数的不等式 例1 (1)(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项中正确的是( ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ (2)不等式|x|(1-2x)>0的解集是( ) A. B. C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ 命题点2 含参数的一元二次不等式 例2 已知函数f(x)=ax2+(2-4a)x-8. (1)若不等式f(x)<0的解集为,求a的值; (2)当a<0时,求关于x的不等式f(x)>0的解集. 跟踪训练1 解关于x的不等式. (1)>1; (2)m>0时,mx2-mx-1<2x-3. 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点2 在R上恒成立问题 命题点1 在给定区间上恒成立问题 例3 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围为_. 例4 (多选)对任意实数x,不等式2kx2+kx-3<0恒成立,则实数k可以是( ) A.0 B.-24 C.-20 D.-2 命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题 例5 (2023 宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是( ) A.[-1,3] B.(-∞,-1] C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 跟踪训练2 (1)设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则( ) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≥ (2)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为∅,则实数a的取值范围是( ) A.{a|a<-2或a≥2} B.{a|-2<a<2} C.{a|-2<a≤2} D.{a|a<2} 基础夯实 1.不等式-x2+3x+10>0的解集为( ) A.(-2,5) B.(-∞,-2)∪(5,+∞) C.(-5,2) D.(-∞,-5)∪(2,+∞) 2.已知命题p:“∀x∈R,(a+1)x2-2(a+1)x+3>0”为真命题,则实数a的取值范围是( ) A.-1<a<2 B.a≥1 C.a<-1 D.-1≤a<2 3.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为( ) A. B. C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1} 4.已知y=(x-m)(x-n)+2 023(n>m),且 , ( < )是方程y=0的两个实数根,则 , ,m,n的大小关系是( ) A. <m<n< B.m< <n< C.m< < <n D. <m< <n 5.函数y=的定义域为( ) A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1] 6.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( ) A.[0,1] B.(0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 8.若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.∪{2} 9.(多选)与不等式x2-x+2>0的解集相同的不等式有( ) A.x2+x-2>0 B.-x2+x-2>0 C.-x2+x-2<0 D.2x2-3x+2>0 10.(多选)已知a∈R,关于x的不等式>0的解集可能是( ) A.(1,a) B.(-∞,1)∪(a,+∞) C.(-∞,a)∪(1,+∞) D.∅ 11.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数,则满足关于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为( ) A. B.3 C.-4.5 D.-5 13.(多选)已知函数f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( ) A.a2-b2≤4 B.a2+≥4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4 14.不等式>2的解集为_. 15.已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m),则实数c的值为_. 16.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1,3]恒成立,则a的最小值为_. 17.不等式>x的解集是_. 18.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于a的不等式f(1)>0; (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值. 19.函数f(x)=x2+ax+3. (1)若当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (2)若当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (3)若当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围. 20.已知集合:①A=;②A={x|x2-2x-3<0};③A={x||x-1|<2},集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}(m为常数),从①②③这三个条件中任选一个作为集合A,求解下列问题: (1)定义A-B={x|x∈A且x∉B},当m=0时,求A-B; (2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 21.已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式f(x)≥-2对于一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)若a<0,解关于x的不等式f(x)<a-1. 优化提升 22.若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为( ) A. B. C. D.R 23.下面给出了问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},解关于x的不等式ax2-bx+c>0.”的一种解法: 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},又不等式ax2-bx+c>0可化为a(-x)2+b(-x)+c>0,所以-2<-x<1,即-1<x<2.所以不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-1<x<2}. 参考上述解法,解答问题: 若关于x的不等式+<0的解集为{x|-2<x<-1或1<x<3}.则关于x的不等式+<0的解集为( ) A.∪ B.(-1,1)∪(1,3) C.(-3,-1)∪(1,2) D.∪ 24.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m,n)(m<n),有下列四个结论: 甲:m=-3;乙:n=-1;丙:m+n=-2;丁:ac<0. 如果只有一个假命题,则假命题是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 25.(多选)已知函数f(x)=x2-ax-1,当x∈[0,3]时,|f(x)|≤5恒成立,则实数a的值可以是( ) A.-1 B.0 C.1 D.3 26.已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是_. 27.已知0< <,若cos2 +2msin -2m-2<0恒成立,则实数m应满足的条件是_. 28.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 参考答案: 基础摸查 【习题导入】 1.B 2.B 3.[1,3] 【知识归纳】 1.{x|x<x1,或x>x2} 2.(1)f(x)g(x)>0(<0) (2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 3.(-∞,-a)∪(a,+∞) (-a,a) 【题型展示】 例1 (1)ABD (2)D 例2 解 (1)不等式f(x)<0, 即ax2+(2-4a)x-8<0, 可化为(ax+2)(x-4)<0. 因为f(x)<0的解集是, 所以a>0且-=-, 解得a=3. (2)不等式f(x)>0, 即ax2+(2-4a)x-8>0, 因为a<0,所以不等式可化为(x-4)<0, 当4<-,即-<a<0时,原不等式的解集为; 当4=-,即a=-时,原不等式的解集为∅; 当4>-,即a<-时,原不等式的解集为. 综上所述, 当-<a<0时, 原不等式的解集为; 当a=-时,原不等式的解集为∅; 当a<-时, 原不等式的解集为. 跟踪训练1 解 (1)移项得-1>0,合并得>0, 等价于(3x+1)(-x-2)>0, 即(3x+1)(x+2)<0, 解得-2<x<- . 所以不等式的解集为. (2)移项得mx2-(m+2)x+2<0, 对应的方程(mx-2)(x-1)=0的两根为和1, 当0<m<2时,>1, 解得1<x<; 当m=2时,=1,原不等式无解; 当m>2时,<1,解得<x<1. 综上所述,当0<m<2时,原不等式的解集为; 当m=2时,原不等式的解集为空集; 当m>2时,原不等式的解集为. 例3 例4 ACD 例5 D 跟踪训练2 (1)C (2)C 基础夯实 1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.CD 10.BCD 11.AB 12.BC 13.ABD 14.{x|1<x<4} 15.-3 16.-4 17.(-∞,-1)∪(1,5) 18.(1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2<a<3+2. 所以不等式的解集为 {a|3-2<a<3+2}. (2)∵f(x)>b的解集为(-1,3), ∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3, ∴解得 故a的值为3 ,b的值为-3. 19.解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立, 需 =a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, 解得-6≤a≤2, ∴实数a的取值范围是[-6,2]. (2)由题意可转化为x2+ax+3-a≥0 在x∈[-2,2]上恒成立, 令g(x)=x2+ax+3-a, 则有① ≤0或②或 ③ 解①得-6≤a≤2,解②得a∈∅, 解③得-7≤a<-6. 综上可得,满足条件的实数a的取值范围是[-7,2]. (3)令h(a)=xa+x2+3, 当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立, 只需即 解得x≤-3-或x≥-3+. ∴实数x的取值范围是(-∞,-3-]∪[-3+,+∞). 20.解 (1)选①: >1,若x+1>0,即x>-1时,>1,即4>x+1, 解得-1<x<3, 若x+1<0,则<0, 则>1无解, 所以>1的解集为(-1,3), 故A=(-1,3),由m=0,可得x2-x<0,即x(x-1)<0,解得0<x<1, 故B=(0,1), 则A-B=(-1,0]∪[1,3). 选②: x2-2x-3<0,解得-1<x<3, 故A=(-1,3), m=0,x2-x<0,即x(x-1)<0, 解得0<x<1,故B=(0,1), 则A-B=(-1,0]∪[1,3). 选③: |x-1|<2,-2<x-1<2, 解得-1<x<3, 故A=(-1,3), m=0,x2-x<0,即x(x-1)<0, 解得0<x<1, 故B=(0,1), 则A-B=(-1,0]∪[1,3). (2)由(1)可知,条件①②③求出的集合A相同,即A=(-1,3). 由x2-(2m+1)x+m2+m<0, 即(x-m)[x-(m+1)]<0, 解得B=(m,m+1), 因为p是q成立的必要不充分条件,所以B A,所以 或 解得-1≤m≤2, 故m的取值范围为[-1,2]. 21.解 (1)∀x∈R,f(x)≥-2恒成立等价于∀x∈R,ax2+(1-a)x+a≥0, 当a=0时,x≥0,对一切实数x不恒成立,则a≠0, 此时必有 即解得a≥, 所以实数a的取值范围是. (2)依题意,因为a<0,则f(x)<a-1 ax2+(1-a)x-1<0 (x-1)>0, 当a=-1时,-=1, 解得x≠1; 当-1<a<0时,->1, 解得x<1或x>-; 当a<-1时,0<-<1, 解得x<-或x>1, 所以,当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,原不等式的解集为; 当a<-1时,原不等式的解集为. 优化提升 22.B 23.A 24.B 25.CD 26. 27.m≥- 28.解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1. ②当a>0时, 原不等式可化为(x+1)≥0, 解得x≥或x≤-1. ③当a<0时, 原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1; 当<-1,即-2<a<0时, 解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为 ; 当-2<a<0时,不等式的解集为 ; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为. 学科网(北京)股份有限公司 $$