专题01 反比例函数综合应用（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题01 反比例函数综合应用 题型一 反比例函数与概率 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字． (1)请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果； (2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率． 【答案】（1）所有结果：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；（2）. 【分析】（1）画出树状图即可得解； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=上的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）根据题意画出树状图如下： 结果为：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）； （2）当x=-1时，y==-2， 当x=1时，y==2， 当x=2时，y==1， 一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y=上的有2种情况， 所以，P=． 考点：1.列表法与树状图法；2.反比例函数图象上点的坐标特征． 题型二 反比例函数的实际应用一 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 题型三 根据图像求自变量取值范围 3．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）经过点，过点作轴于点，且的面积为5． (1)求和的値； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． （1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，过点作轴于点， ∴，， ∴， 解得， ∴点A的坐标为． 把代入， 得； （2）由（1），得， ∴当时，． ∵当时，反比例函数的的图象在第一象限，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴当时，函数值y的取值范围为． 4．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于A，B与反比例函数相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当为何值时，； (3)当为何值时，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想． （1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式； （2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案； （3）根据图象即可求出该不等式的解集． 【详解】（1）将点，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为：； 将点代入中得 反比例函数的表达式为：． （2）在中，当时， ， 解得：， 当时，． （3）根据图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 当时，或． 5．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为顶点作等腰直角三角形，双曲线，在第一象限内的图象经过点．设直线的解析式为． (1)求出的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题及全等三角形得判定与性质，函数与不等式的关系． （1）由是等腰三角形，先求的点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得双曲线和直线的解析式； （2）将与联立，求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出x的取值范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 为等腰直角三角形， ． 又， ． ∴， ∴， ∵点的坐标为， 点的坐标． 将代入反比例函数的解析式得：， ． 将代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：联立方程组得：， 解得：，， 的取值范围是：或． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点A和点B，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为． (1)求m、k的值及点B的横坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；，点B的横坐标为4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）先将点代入一次函数的解析式可得m的值，根据点B的纵坐标为代入一次函数解析式求出横坐标，得出点B的坐标，把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点的坐标，结合函数图象即可求出结果． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵点B的纵坐标为，且点B在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数图象上， ∴． （2）解：点A的横坐标为，点B的横坐标为4，根据函数图象可知，当或时，一次函数在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或． 题型四 反比例函数与旋转 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，一次函数经过的中点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转，点D的对应点为E，判断E点是否落在双曲线上． 【答案】(1)； (2)E点在双曲线上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式质以及旋转的性质等知识，确定点坐标是解题的关键． （1）设点,点，再根据正方形的性质易求得的值，然后根据待定系数法即可求得； （2）根据正方形的边长和旋转可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可判断． 【详解】（1）解: 四边形是正方形, ∴， 设点, ∵点是的中点， ∴点， ∴，即， ，即， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式， （2）解：如图：是绕点A顺时针旋转所得， ∴，， ∴点的坐标是， 当时，， ∴点在双曲线上． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．    (1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案； （2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，点C为中点， ∴，， 由旋转可得：，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，过作于， 则，而，，    ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键． 题型五 反比例函数与一次函数 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，，边在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与相交于点． (1)设点的坐标为，求反比例函数的解析式； (2)若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键． （1）根据题意表示出点A，B的坐标，根据的面积得到，代入反比例函数表达式，即可求得k值； （2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出的解析式． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点是的中点， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得：， 又∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴点N的坐标为， 又∵反比例函数的图象过点， ∴， 又∵， 解得：，， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为． 10．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点，过A作轴，垂足为C，连接OB． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把代入求出k，再把代入求出n，然后把，代入求解即可； （2）过P作轴交于N，过B作轴交于M，先求出，再利用求出的长，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）反比例函数的图象上 ， ∴ ∵在反比例函数图象上 ∴ ∴ ∴和两点在一次函数的图象上 ∴ ∴ ∴ （2）过P作轴交于N，过B作轴交于M 当时， 当时， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴P的纵坐标为2或 ∴当时， 当时， ∴， 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 11．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出关于的不等式的解集； (3)点在轴上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为，或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标． （1）利用待定系数法求出A的坐标即可解决问题； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立，， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， 观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：令，， ∴点的坐标为， ∴， 由题意得， ∴， ∴点的坐标为或． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别连接． (1)求k、m与n的值； (2)直接写出的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）分别把点A和点B坐标代入一次函数解析式中即可求出m、n的值，进而求出A、B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可； （2）设一次函数与y轴交于C，则，再根据进行列式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，则； 把代入中得； ∴， 把代入中得：，解得 （2）解：设一次函数与y轴交于C，则， ∴， ∴ ． 13．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将一次函数向下平移8个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积； (3)请结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)16 (3)或 【分析】（1）把点代入，求得，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 把A，B的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把，代入得，，解得， ， 将一次函数向下平移8个单位长度后，得到， 令，则，解得， ，， ； （3）解：由图象可知不等式的解集是或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)9； (3)或． 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得： ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得 ∴点C的坐标为 ∴， ∴ ． （3）由图象可得，不等式的解集是或．    【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键． 15．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)的面积为3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象，数形结合求解即可． 【详解】（1）反比例函敕的图象经过点， ，则反比例函数解析式为：， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，即． 点到的距离为． ． （3），， ∴根据图象得：不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式、利用数形结合的思想求不等式的解集等知识，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点带入即可求解． （2）将点代入可求得点B的坐标，令，得可求得点C的坐标，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将A 坐标代入反比例函数解析式 中，得， ∴反比例函数解析式为． （2）将代入，得， ∴， 设直线与y轴交于点C，如图： ∵， ∴令，得， ∴点C 坐标， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及求函数值，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)不等式的解集是 ______________________． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为： (2) (3)或 【分析】（1）由点在反比例函数上，可求出，再由点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式； （2）由上问求出的函数解析式联立方程求出三点的坐标，从而求出的面积； （3）由图象观察函数的图象在一次函数图象的上方，对应的的范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即点坐标为， 又∵两点在一次函数的图象上， ∴代入一次函数的表达式可得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：在中，令可得， ∴点坐标为， ∴， 又∵为， ∴到的距离为2， ∴． （3）解：由图象知：当和时， 函数的图象在一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，不等式的解集；综合运用相关性质是解决本题的关键． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．    (1)求反比例函数的表达式和m的值； (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点E的坐标为或 【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得； （2）设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积;    （3）设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或．    【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 19．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，轴对称的点的坐标变化． （1）先将点坐标代入反比例函数中求出m，再将A点坐标代入反比例函数的解析式中求出n，从而确定A点的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先利用一次函数确定点的坐标，根据对称求出点的坐标，再利用割补法，将分为与两个部分，分别求得其面积后相加即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得 ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵一次函数交轴于点， ∴点坐标为， ∵点与点关于x轴对称， ∴点坐标为，， 将分为与两个部分， ∴， ， ， ∴． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点C，与反比例函数的图像交于A，B两点，过点B作轴于点E，已知A点坐标是，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图像直接写出的x的取值范围． (3)连接、，求的面积． 【答案】(1)；； (2)或； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法：将点A坐标代入反比例函数表达式即可得m；然后求点B坐标，将点A、B的坐标代入一次函数表达式即可求出的值，从而得解； （2）利用数形结合的方法直接写出变量的取值范围即可； （3）将的分解成与，然后根据三角形面积公式求解得出答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象交于A，B两点，A点坐标是， ， 反比例函数的表达式为：； ， 设点 ， 即， A，B两点均在一次函数的图像上， ， ， 一次函数的表达式为：； （2）解：根据的x的取值范围表示：一次函数的图像不在反比例函数图像的下方的部分图像所对应的变量的取值范围； 故的x的取值范围是：或； （3）解：对于一次函数， 令，则， ， ； 的面积为． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积求法等知识，熟练掌握待定系数法与数形结合的思想方法是解答此题的关键． 21．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)连接OC，求△OBC的面积； (3)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (4)直接写出反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围 ． 【答案】(1)， (2)8 (3) (4)或 【分析】(1)把代入，得到，解得；得到，根据中心对称原理，得到． (2)过点C作轴于点E，过点B作轴于点G，过点C作于点F， 则，四边形是矩形，根据计算即可． (3)作出点B关于y轴的对称点M，连接，交点就是所求的点G，根据直线的解析式确定坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； ∴， ∴， 解得； 根据中心对称原理， ∴． （2）解：过点C作轴于点E，过点B作轴于点G，过点C作于点F， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：作点B关于y轴的对称点M，连接，交点就是所求的点G， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， 故点． （4）根据图像，当或时，反比例函数值大于正比例函数值， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，与正比例函数的相交，矩形的判定和性质，面积转化，线段和最小，不等式解集，数形结合思想，熟练掌握交点的意义，线段和最小是解题关键． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．    【答案】（1）反比例函数的解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣；（2）S△BCD=1． 【分析】（1）根据点A坐标，点C坐标，结合△ABC的面积是3，求出m的值，从而确定点A的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，一次函数解析式； （2）求出点D坐标，利用三角形面积公式进行求解即可得. 【详解】（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），∴点B（m，0），AB=2， ∵点C（﹣1，0），∴BC=﹣1﹣m， ∴S△ABC=AB•BC=﹣1﹣m=3，∴m=﹣4，∴点A（﹣4，2）， ∵点A在反比例函数y=（a≠0）的图象上，∴a=﹣4×2=﹣8， ∴反比例函数的解析式为y=﹣， 将A（﹣4，2）、C（﹣1，0）代入y=kx+b，得： ，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣； （2）当x=0时，y=﹣x﹣=﹣， ∴点D（0，﹣）， ∴OD=， ∴S△BCD=BC•OD=×3×=1．    【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 23．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集； (3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)的解集为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键． （1）先由正方形的性质结合点的坐标为，点的坐标为，得出点的坐标，再由待定系数法计算即可得出答案； （2）联立，求出，再结合图象即可得出答案； （3）设点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积，得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为：； 一次函数的图象经过点和点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：联立， 解得：或， ， 由图象可得：的解集为或； （3）解：设点的坐标为， 的面积恰好等于正方形的面积， ， 解得：， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 24．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ． (3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值． 【答案】(1) (2)；或 (3)； 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形，的几何意义； （1）根据的几何意义，即可求解； （2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围； （3）设，则，过点作交于点，设交轴于点，，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，平行于轴， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：． （2）∵ ∴ 解得：或 ∴，； 根据函数图象，可得当 时，的取值范围为或 故答案为：；或． （3）解：设，则， 如图所示，过点作交于点，设交轴于点， 又， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴， ∴， ∴． 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数 的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF＝12，CF＝13． （1）求反比例函数和直线OE的函数解析式； （2）求四边形OAFC的面积？ 【答案】（1）；.（2）四边形OAFC的面积是36． 【分析】（1）根据反比例图像上点D的坐标易求反比例函数的关系式；由于直线OE是一条过原点的直线，只要知道点E的坐标，而易得到点E的纵坐标且点E又在反比例函数上，易求点E的横坐标． （2）利用转化思想，将不规则四边形转化成两个直角三角形，其中是直角三角形需要利用勾股定理逆定理判断． 【详解】解：（1）依题意，得点B的坐标为（3,4），点D的坐标为（3,2） 将（3,2）代入，得k=6. 所以反比例函数的解析式为. 设点E的坐标为（m，4），将其代入，m=, 故点E的坐标为（，4）. 设直线OE的解析式为，将（，4）代入得 所以直线OE的解析式为. （2）连结AC，由勾股定理得. 又∵， ∴ 由勾股定理的逆定理得∠CAF=90°.      ∴． 题型六 反比例函数与全等三角形 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．    【基础应用】 （1）求k的值； （2）求直线的函数表达式； 【拓展应用】 （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作轴，易得，设，代入一次函数解析式，求出点坐标，待定系数法求值即可； （2）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，证明，得到，进一步求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：过点作轴，    ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得：， ∴直线的解析式为：； （3）存在，过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∵， ∴点的横坐标为， ∵点在双曲线上，， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 题型七 反比例函数实际应用二 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第分钟与第分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中； (2)一道数学题，需要讲分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)教师从第分钟开始讲课，在第分结束讲课，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）先求出一次函数及反比例函数，根据函数解析分别求得时，时的函数值，即可得到结论； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，即可得解． 【详解】（1）解：设线段的解析式为：， 把和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：； 设双曲线的函数关系式为：， 把代入得，， ∴， ∴双曲线的函数关系式为：； 当时，， 时， 故答案为：； （2）解：当时，则，解得； 当时，则，解得． ∴． ∴教师从第分钟开始讲课，在第分结束讲课，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升白酒后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）变化的图如图（图由线段与部分双曲线组成）所示，国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式： (2)假设某驾驶员晚上22时在家喝完50毫升白酒，第二天早上6点半能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不能，理由见详解 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：依题意， 直线过，则设直线的解析式 把代入 解得 ∴， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）解：由得当时，， 从22时到第二天早上6点时间间距为8.5小时， ， 第二天早上不能驾车去上班． 题型八 反比例函数与四边形 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A坐标，进而利用待定系数法求得k值，再根据两个函数的对称性质求得点B坐标； （2）根据图象，求得正比例函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标取值范围即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得，再根据坐标与图形性质，结合菱形性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称， ∴点A、B关于原点对称，则， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，， ∴, ∵轴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质，运用数形结合思想求解是解答的关键． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求反比例函数的关系式； (2)点P在y轴上，Q在双曲线上，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先把点代入中求出a值得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式； （2）分两种情况：当为平行四边形的边时，，，过点A作轴，过点B作轴，过Q作轴于点D，证明，求出Q的横坐标，即得；当为平行四边形的对角线时， 与互相平分，连接交于点E，点E是、的中点，根据中点坐标公式求出Q的横坐标，即得． 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象和性质，一次函数图象和性质，平行四边形性质，分类讨论，是解决问题的关键． 【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴ ∴， 把代入得， ，， ∴； （2）∵一次函数的图象过与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， 设， 当为平行四边形的边时，如图1，，， 过点A作轴，过点B作轴，过Q作轴于点D， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴时，， ∴； 当为平行四边形的对角线时，连接交于点E，如图2，与互相平分， 点E是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故或． 31．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)从下面A，B两题中任选一题作答． A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标； B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)A．，， B．,,, 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可； （2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，先求出点C的坐标，再利用即可求出的面积； （3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为，当是边时，利用平移可得，或，，求出s、t，当是对角线时，由中点公式得：，求即可； B：由直线求点，由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，求出s、m，当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， 将点和的坐标分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：在中，当时， 点C的坐标为， 过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示： 的面积为8． （3）解：能，理由： A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为, 当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P）， 则，或，， 解得或； 当是对角线时， 由中点公式得：，, 解得； 故点D的坐标为或或． B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知， 设点Q的坐标为，点M的坐标为， 当为边时， 则或， 即或， 解得或8（舍去）或4， 即或4； 当是对角线时， 则且的中点即为的中点， 则， 解得， 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　 　； （3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　 　． 【答案】（1），；（2）或；（3），或， 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数关系式求出，把代入一次函数关系式求得点横坐标，进而求得结果； （2）先求出直线和反比例函数另一个交点坐标，然后由图象得出结果； （3）因为，所以只需，设点的纵坐标是，表示出、两点横坐标，列出方程求得结果． 【详解】解：（1）过， ， ， 由得，， ， ； （2）由得， ，， 当一次函数值小于反比例函数值时， 或， 故答案是：或； （3）设，，， ， 当时， ， ， 在第二象限， 或， ，或，， 故答案是：，或，． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数及其图象性质，平行四边形判定等知识，解题的关键是设点的坐标，正确表示线段长度． 33．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，，为轴正半轴上一点，连接，，的面积为6． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)若为反比例函数图像上的一点，为轴上一点，是否存在点，，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，一次函数的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）设，先求出一次函数与x轴的交点坐标，再根据的面积为6建立方程求解即可； （3）设，，当点F在x轴负半轴上时，，为对角线，可得，的中点相互重合，据此建立方程组求解即可；当点F在x轴正半轴上时，推导出点E不在反比例函数图象上． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将和分别代入，得 ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）令，则， 一次函数与x轴的交点坐标为， 设， ，， ， ， ； （3）设，，又，， ①如图，当点E在第四象限，点F在x轴负半轴上时，存在，此时，为对角线，且，的中点相互重合， ，即， 解得， ； ②当点F在x轴正半轴上时，点E必须在直线上（不与点B重合）， 则点E不在反比例函数图象上，与题设矛盾， 故此时不存在； 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 题型九 反比例函数与相似三角形 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题引入】 （1）如图1，若，点E为平分线上一点，，的两边分别与射线交于C，D两点，若，求的度数．    【尝试探究】 （2）如图2，点F是函数图象上的一个动点，过点F的直线分别交x轴和y轴于点M，N两点，且满足，点G为平分线上一点，若，当点G在第一象限时，求出点G的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，反比例函数： （1）根据推出，结合，可证，推出，通过等量代换即可求解； （2）连接，，作轴于点P，先证，推出，设，则，，再用含a的式子表示出，，代入求出，结合点G为平分线上一点，即可求出点G的坐标． 【详解】解：（1），平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，连接，，作轴于点P，    ， ， ，， ， ， 设，则，， 此时点F的横坐标为， 点F是函数图象上的一个动点， ， ， 点G为平分线上一点， 的解析式为， ， ， ， ，（舍）， 点G在直线上， ， 点G的坐标为． 35．（23-24九年级上·辽宁本溪·期末）【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点． 【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式； 【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解决问题】 (1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接，过点作于点，求的值： (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求直线与双曲线的解析式； （2）根据，求出，再利用勾股定理求出，即可求解； （3）过点A作轴，先证是等腰直角三角形，推出，分或两种情况，则或，代入数值求出即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 直线解析式为， 点在直线上， ， ， 将代入，得：， 解得， 双曲线的解析式为； （2）解：，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点A作轴，垂足为点N， 对于直线，令，得， ， ，， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 若以点、、为顶点构成的三角形与相似， 则或， 或， 或， 解得或， ，点D在点C右侧， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用等面积法求三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的存在性问题，第三问有一定难度，证明，注意分情况讨论是解题的关键． 题型十 反比例函数新定义题型 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义： 若则称N为M的亲密点，例如：点的亲密点为点 (1)点的亲密点坐标是______；若点M的亲密点为则点M的坐标是______ (2)若点的亲密点N在的图像上，则k的值为______ (3)如图，直线与x轴交于点P，点的亲密点N在直线上，求a的值及的面积． (4)在矩形中，、、、，连结，点在直线上． ①当点M的亲密点N在线段上，直接写出k的取值范围． ②当时，若点M的亲密点N落在内部，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)，面积为18 (4)①且；② 【分析】（1）直接根据“亲密点”的定义计算可得结果； （2）先求出点N坐标，代入解析式中即可求出k； （3）先求出点P坐标，点N坐标，代入中可得a值，继而得出点M和点N坐标，再计算面积； （4）①先表示出点N，再根据点N在线段上，求出n值，得出，表示出m和k的关系，解不等式组即可；②先表示出点M的坐标，得到，再求出的表达式，根据点N落在内部列出不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：点的亲密点坐标是，即； 设，若点M的亲密点为， 则，解得， ∴； （2）点的亲密点N为，即， 代入中，得； （3）在中，令，则， 即， 点的亲密点N为，即， 代入中，得：， 则，， ∴； （4）①点的亲密点， ∵点N在线段上， ∴，即且， ∴，且， ∵在直线上， 可得，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴k的取值范围为:且． ②当时，， ∵在直线上， ∴，即， 则点的亲密点， 设的表达式为，将，代入， 得：，解得：， ∴的表达式为， ∵点N落在内部， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数图象上的点，坐标与图形，解不等式组，解题的关键是弄清亲密点的从属关系，正确表示出相应坐标． 37．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 【答案】（1） 2）， （3）①或；②见解析；③不是“核心矩形”；理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，新定义，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“核心矩形”的定义，是解题的关键． （1）根据“核心矩形”得，把代入即可求解； （2）根据“核心矩形”得，根据矩形有面积公式得，代入整理方程，得．求解得出a，即可求解； （3）①根据“核心矩形”得，则．即可求解； ②根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象抽象出函数性质即可； ③根据“核心矩形”的定义判定即可． 【详解】解：（1）依题意，知，， ． 解得，（不合题意，舍去）． ． （2）依题意，知，， ． 整理方程，得． ，． ，． （3）①依题知， ． 或． ②如图1，画出草图 答案不唯一，只要正确即可． 当时，的值随值的增大而减小；图象关于直线成轴对称； ③不是“核心矩形”． 方法1： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则，即． 则． ． 则“核心矩形”同时满足函数和． 画出函数的图象如图2所示， 根据图象可知， 函数与函数图象没有交点， 满足条件的，的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 方法2： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则． ，即． ，即． ， 原方程无实数根． 的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与x的关系式为 ． 【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整： （1）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 … y … … （2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象： （3）观察图象，彤彤发现以下性质： ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ； ②该函数值y不可能等于 ； ③当x＞﹣2时，y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此． 【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越 （填“高”或者“低”），但不会突破 元． 【答案】；（1），3，4，0，1，；（2）见解析；（3）①（﹣2，2），②2，③增大；高，2 【分析】[建模]依据平均数的算法，可得y与x的关系式； （1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到y的值； （2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图象； （3）①由函数图象可得对称中心的坐标； ②依据函数图象与直线y＝2无限接近，即可得出该函数值y不可能等于2； ③依据函数图象的增减性，即可得出y随x的增大而增大． [应用]依据函数图象的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近． 【详解】解：[建模]由题意得：y与x的关系式为， 故答案为：； （1）当x＝﹣4时，y＝； 当x＝﹣3时，y＝3； 当x＝﹣时，y＝4； 当x＝﹣时，y＝0； 当x＝﹣1时，y＝1； 当x＝0时，y＝； 故答案为：；3；4；0；1；； （2）如图所示： （3）①由函数图象可得，对称中心是（﹣2，2）； ②函数图象与直线y＝2无限接近，故该函数值y不可能等于2； ③由函数图象可得，当x＞﹣2时，函数图象从左往右上升，即y随x的增大而增大． 故答案为：①（﹣2，2）；②2；③增大； [应用]由函数图象可得，当x≥0时，函数图象从左往右上升，与直线y＝2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近， 故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元． 故答案为：高，2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用图象解决问题，从图上获取有用的信息是解题的关键所在．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起是分析解决函数问题的一种常用方法． 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它． (1)构建模型： 当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的； (2)问题探究： 根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______； (3)拓展应用： 写出周长m的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1)由图即可得到两交点的坐标，即可求解； (2) 由得，直接画出的图象，根据两图象只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数解，据此即可求解； (3) 当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，一元二次方程有实数解，据此即可求解． 【详解】（1）解：从图①中观察到，交点坐标为，； 故答案为：，； （2）解：由得， 故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标， 画出直线如下： ，得， 直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得或(舍去)； 故答案为：，； （3）解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点， ， 解得或(舍去)， 故周长m的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与交点问题，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，此类探究题，通常按照题设条件依次求解． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】 平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”． 例如，在下图中，的边轴，轴，且点A，B在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”． 【理解】 (1)在中，，点A，B，C的坐标分别为 ①，，； ②，，； ③，，． 其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是________．（填序号） 【应用】 (2)已知点是反比例函数的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线的函数表达式． 【提升】 (3)是反比例函数的“伴随直角三角形”，且点的坐标为，点的坐标为．若平移后得到的，且是反比例函数的“伴随直角三角形”，分别求点，的坐标． 【答案】(1)①③ (2) (3)， 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案； （2）求得，．利用待定系数法即可求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：①，，，则轴，轴， 点，，在反比例函数的图象上， 则是反比例函数的“伴随直角三角形”； ②，，，则轴，轴， ，则点，不在同一反比例函数的图象上， 则不是某反比例函数的“伴随直角三角形”； ③，，，则轴，轴， 点，，在反比例函数的图象上， 则是反比例函数的“伴随直角三角形”； 故答案为：①③； （2）解：如图， 把代入，得， 把代入，得， ∴，． 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：设点的坐标为， 则点的坐标为． ∵是反比例函数的“伴随直角三角形”， ∴点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴（舍去）或， ∴点，． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随直角三角形”满足的两个条件是解题的关键． 41．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②函数值逐渐减小 (3)或 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 42．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______； ②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值； (3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)①18；②画图见解析， (3)①；②对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积； （2）①根点E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；②根据“在双曲线上”求出n，再用待定系数法求出直线的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用求即可； （3）①根据点是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；②将①中的关系式代入得出定值，从而得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是； （2）解：①∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线中，得， 故答案为：18； ②∵， ∴双曲线的解析式是：． ∵在双曲线上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， 画出图如图所示：    ∴； （3）解：①∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； ②∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 43．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是年月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册页“活动2”的探究活动． 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位：），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化．   第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据．    第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来： (2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：    (3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式； (4)点在这条曲线上吗？说明理由． 【答案】(1)见详解； (2)将详解； (3)这条曲线是反比例函数的一支，理由间详解，； (4)点在这条曲线上，理由见详解； 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据杠杆原理逐个判断即可得到答案； （2）描点划线即可得到答案； （3）根据得到解析式即可得到答案； （4）令代入解析式求解比较即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，，，，，，， ∴第六组数据错误， 当时，， 故修正后的数据为： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 … 5 … … 7 … （2）解：由（1）描点，划线如下， ； （3）解：这条曲线是反比例函数的一支，理由如下， 由题意可得， ∵（）， ∴这条曲线是反比例函数的一支， ∴； （4）解：点在这条曲线上，理由如下， 当时， ， ∴点在这条曲线上． 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）智小慧在学习完反比例函数之后又遇到一个新函数：，她按照研究反比例函数的过程对其进行探究： 绘制图象：列表 x … 0 1 2 3 … y … 0 4 … 描点并连线． （1）已经画出了该函数的一部分图象，请你补充该函数的另一部分图象； 探究性质：（2）智小慧通过图象得到了以下性质，其中不正确的是（    ） A．函数图象经过原点且位于一、三象限； B．当时，y随x的增大而增大； C．此函数有最大值，是当时，最大值为4； D．此函数的图象关于原点中心对称； 性质应用：（3）若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】（1）见解答；（2）；（3）4 【分析】本题考查函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的交点，数形结合是解题的关键，属于中考常考题型． （1）描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据函数的图象即可求得； （3）正比例函数与函数的两交点坐标关于原点对称，依此可得，，依此关系即可求解． 【详解】解：（1）描点、连线画出函数的图象如图： ； （2）观察图象： A．函数图象经过原点且位于一、三象限，故正确； B．当时，随的增大先增大后减小，故错误； C．此函数有最大值，是当时，最大值为4，故正确； D．此函数的图象关于原点中心对称，故正确； 故选：B； （3）正比例函数与函数的两交点，，，关于原点对称，依此可得，， ． 故答案为：4． 45．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； (4)知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 【答案】(1)1，图见解析 (2)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3)2 (4) 【分析】本题考查反比例的图象和性质． （1）把代入得，，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可； （2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质； （3）当时，即，解得，得到点A、B的坐标分别为、，则，即可得到答案； （4）联立求得点C、D的坐标，求得直线与交于点E的坐标，根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 补全图象如图所示：     故答案为：1； （2）解：由图象可知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 故答案为：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：当时，即，解得， 故点A、B的坐标分别为、，则， 则； 故答案为：1； （4）解：当时，联立得， 整理得， 解得或， 当时，；当时，； 如图，设直线与交于点E， 则、，， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数综合应用 题型一 反比例函数与概率 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字． (1)请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果； (2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率． 题型二 反比例函数的实际应用一 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 题型三 根据图像求自变量取值范围 3．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）经过点，过点作轴于点，且的面积为5． (1)求和的値； (2)当时，求函数值的取值范围． 4．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于A，B与反比例函数相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当为何值时，； (3)当为何值时，，请直接写出的取值范围． 5．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为顶点作等腰直角三角形，双曲线，在第一象限内的图象经过点．设直线的解析式为． (1)求出的表达式． (2)当时，求的取值范围． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点A和点B，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为． (1)求m、k的值及点B的横坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 题型四 反比例函数与旋转 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，一次函数经过的中点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转，点D的对应点为E，判断E点是否落在双曲线上． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．    (1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式． 题型五 反比例函数与一次函数 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，，边在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与相交于点． (1)设点的坐标为，求反比例函数的解析式； (2)若，求直线的解析式． 10．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点，过A作轴，垂足为C，连接OB． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标． 11．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出关于的不等式的解集； (3)点在轴上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别连接． (1)求k、m与n的值； (2)直接写出的面积． 13．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将一次函数向下平移8个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积； (3)请结合图象，直接写出不等式的解集． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 15．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)观察图象直接写出不等式的解集． 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)不等式的解集是 ______________________． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．    (1)求反比例函数的表达式和m的值； (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 19．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点C，与反比例函数的图像交于A，B两点，过点B作轴于点E，已知A点坐标是，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图像直接写出的x的取值范围． (3)连接、，求的面积． 21．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)连接OC，求△OBC的面积； (3)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (4)直接写出反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围 ． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．    23．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集； (3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 24．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ． (3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值． 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数 的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF＝12，CF＝13． （1）求反比例函数和直线OE的函数解析式； （2）求四边形OAFC的面积？ 题型六 反比例函数与全等三角形 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．    【基础应用】 （1）求k的值； （2）求直线的函数表达式； 【拓展应用】 （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第分钟与第分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中； (2)一道数学题，需要讲分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 题型七 反比例函数实际应用二 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升白酒后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）变化的图如图（图由线段与部分双曲线组成）所示，国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式： (2)假设某驾驶员晚上22时在家喝完50毫升白酒，第二天早上6点半能否驾车去上班？请说明理由． 题型八 反比例函数与四边形 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求反比例函数的关系式； (2)点P在y轴上，Q在双曲线上，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 31．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)从下面A，B两题中任选一题作答． A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标； B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　 　； （3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　 　． 33．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，，为轴正半轴上一点，连接，，的面积为6． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)若为反比例函数图像上的一点，为轴上一点，是否存在点，，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 反比例函数与相似三角形 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题引入】 （1）如图1，若，点E为平分线上一点，，的两边分别与射线交于C，D两点，若，求的度数．    【尝试探究】 （2）如图2，点F是函数图象上的一个动点，过点F的直线分别交x轴和y轴于点M，N两点，且满足，点G为平分线上一点，若，当点G在第一象限时，求出点G的坐标． 35．（23-24九年级上·辽宁本溪·期末）【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点． 【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式； 【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解决问题】 (1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接，过点作于点，求的值： (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十 反比例函数新定义题型 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义： 若则称N为M的亲密点，例如：点的亲密点为点 (1)点的亲密点坐标是______；若点M的亲密点为则点M的坐标是______ (2)若点的亲密点N在的图像上，则k的值为______ (3)如图，直线与x轴交于点P，点的亲密点N在直线上，求a的值及的面积． (4)在矩形中，、、、，连结，点在直线上． ①当点M的亲密点N在线段上，直接写出k的取值范围． ②当时，若点M的亲密点N落在内部，直接写出m的取值范围． 37．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与x的关系式为 ． 【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整： （1）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 … y … … （2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象： （3）观察图象，彤彤发现以下性质： ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ； ②该函数值y不可能等于 ； ③当x＞﹣2时，y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此． 【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越 （填“高”或者“低”），但不会突破 元． 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它． (1)构建模型： 当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的； (2)问题探究： 根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______； (3)拓展应用： 写出周长m的取值范围． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】 平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”． 例如，在下图中，的边轴，轴，且点A，B在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”． 【理解】 (1)在中，，点A，B，C的坐标分别为 ①，，； ②，，； ③，，． 其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是________．（填序号） 【应用】 (2)已知点是反比例函数的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线的函数表达式． 【提升】 (3)是反比例函数的“伴随直角三角形”，且点的坐标为，点的坐标为．若平移后得到的，且是反比例函数的“伴随直角三角形”，分别求点，的坐标． 41．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 42．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______； ②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值； (3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 43．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是年月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册页“活动2”的探究活动． 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位：），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化．   第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据．    第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来： (2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：    (3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式； (4)点在这条曲线上吗？说明理由． 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）智小慧在学习完反比例函数之后又遇到一个新函数：，她按照研究反比例函数的过程对其进行探究： 绘制图象：列表 x … 0 1 2 3 … y … 0 4 … 描点并连线． （1）已经画出了该函数的一部分图象，请你补充该函数的另一部分图象； 探究性质：（2）智小慧通过图象得到了以下性质，其中不正确的是（    ） A．函数图象经过原点且位于一、三象限； B．当时，y随x的增大而增大； C．此函数有最大值，是当时，最大值为4； D．此函数的图象关于原点中心对称； 性质应用：（3）若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为______． 45．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； (4)知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$