专题强化07：分式的运算和化简求值【12大题型 培优】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化07：分式的运算和化简求值 【题型归纳】 · 题型一：分式的概念 · 题型二：分式有无意义的条件 · 题型三：分式等式求值 · 题型四：分式为正负数的范围问题 · 题型五：分式为整数的范围问题 · 题型六：分式的变形判断 · 题型七：分式基本性质判断变形求值问题 · 题型八：约分和通分 · 题型九：分式的运算 · 题型十：整数指数幂运算 · 题型十一：分式的化简求值 · 题型十二：分式创新定义 【题型归纳】 题型一：分式的概念 1．（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）在,，，，，，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列代数式，，，，中是分式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：分式有无意义的条件 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 5．（2024八年级上·上海·专题练习）函数中自变量的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 题型三：分式等式求值 7．（23-24八年级下·重庆·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 9．（22-23八年级上·云南保山·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：分式为正负数的范围问题 10．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期中）若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 12．（21-22八年级下·辽宁丹东·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 题型五：分式为整数的范围问题 13．（2024·河北邯郸·二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 14．（22-23八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 15．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 题型六：分式的变形判断 16．（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左向右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：分式基本性质判断变形求值问题 19．（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若将（、均为正数）中的字母、的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 21．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（   ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍 题型八：约分和通分 22．（23-24八年级上·山东聊城·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 23．（2022八年级上·全国·专题练习）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分： (1)，，； (2)，，． 题型九：分式的运算 25．（24-25八年级上·山东威海·期中）计算 (1)； (2)． 26．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 27．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 题型十：整数指数幂运算 28．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一：分式的化简求值 29．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 30．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十二：分式创新定义 31．（24-25八年级上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 32．（2024八年级上·全国·专题练习）如果等式恒成立， (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 33．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 题型十二：分式创新定义 34．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 35．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 36．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【专题训练】 一、单选题 37．（24-25八年级下·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 40．（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子的值为负整数，则的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 41．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·全国·单元测试）已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 43．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 45．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是 ． 46．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）计算： ． 47．（24-25八年级上·上海·期中）已知：，，， ． 48．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 49．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则的值为 ． 50．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 三、解答题 51．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 52．（24-25八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 53．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 54．（24-25八年级上·上海·期中）已知，试求下列代数式的值： (1)； (2)． 55．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 56．（22-23八年级上·湖南怀化·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想=___________ (2) (3)若，求的值 57．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求的整数部分．她百思而不得其解，于是向老师求助．数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增； 先看一般情形：； 再看特殊情形：当时，； 当时，； 老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了．” (1)请你通过化简，说明一般情形的正确性； (2)请你完成该同学的解答． 58．（21-22八年级上·福建福州·期末）阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化07：分式的运算和化简求值 【题型归纳】 · 题型一：分式的概念 · 题型二：分式有无意义的条件 · 题型三：分式等式求值 · 题型四：分式为正负数的范围问题 · 题型五：分式为整数的范围问题 · 题型六：分式的变形判断 · 题型七：分式基本性质判断变形求值问题 · 题型八：约分和通分 · 题型九：分式的运算 · 题型十：整数指数幂运算 · 题型十一：分式的化简求值 · 题型十二：分式创新定义 【题型归纳】 题型一：分式的概念 1．（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）在,，，，，，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】考查了分式的定义，根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 分母中含有字母，因此是分式． 故选C． 3．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列代数式，，，，中是分式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．分母中含有字母的代数式叫做分式，根据分式的定义，依次判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 题型二：分式有无意义的条件 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义求出条件，再解式子即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024八年级上·上海·专题练习）函数中自变量的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，分式有意义，二次根式有意义．分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0，由此可解． 【详解】解：由题意知，，， 即且， 因此自变量的取值范围是且， 故选A． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0． 由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴， ∴且． 故选：B． 题型三：分式等式求值 7．（23-24八年级下·重庆·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将变为，然后分两种情况讨论：当时，，当时，，分别代入求值即可． 【详解】解：， 当时，不成立， 当时，，则 ；综上分析可知：的值为， 故选：B． 9．（22-23八年级上·云南保山·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查条件分式的求值，解题的关键是根据，得，再整体代入变形后的分式进行计算即可； 【详解】解∶ 由 ，得 ，    ∴ ， ∴； 故选：A． 题型四：分式为正负数的范围问题 10．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期中）若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查偶次幂的非负性，根据分数的值的正负判断未知数的取值范围，先根据偶次幂的非负性，可得分子为正数，结合分式的值为负数，可得分子分母异号，即可得到答案． 【详解】解：，的值为负数， ， 解得：， 只有A选项符合题意， 故选：A． 11．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】C 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵，且，分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 12．（21-22八年级下·辽宁丹东·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案． 【详解】解：原式=， 当x≠1时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞-2且x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 题型五：分式为整数的范围问题 13．（2024·河北邯郸·二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简分式，然后利用整数的整除性求到的值即可求解． 【详解】解： ， 要使分式值为整数，且x为整数， ， 又， ，， 整数的的个数有1，，，共3个， 故选：B． 14．（22-23八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【详解】解：， ∵x为非正整数，分式的结果正整数， ∴x取值为，0， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 15．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据分式混合运算法则先对题中分式化简，再按照要求得到所有符合条件的的值，求和即可得到答案． 【详解】解： ， 为整数，且为正整数， 当时，为正整数，解得； 当时，为正整数，解得； 所有符合条件的的值的和， 故选：D． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 题型六：分式的变形判断 16．（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，变形计算解答即可． 本题考查了分式的性质，分式的化简，熟练掌握性质和化简是解题的关键． 【详解】解：A. 是错误的，不符合题意； B. 是错误的，不符合题意； C. 是错误的，不符合题意；     D. ，正确，符合题意， 故选：D． 17．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左向右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 18．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式中的符号法则进行有关的化简． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：B． 题型七：分式基本性质判断变形求值问题 19．（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 【答案】B 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值的变化是解题的关键． 根据判断作答即可． 【详解】解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，， ∴分式的值不变， 故选：B． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若将（、均为正数）中的字母、的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．根据分式的性质求解即可． 【详解】解：将（、均为正数）中的字母、的值分别扩大为原来的2倍， 则， ∴分式的值扩大了2倍， 故选：A． 21．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（   ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】由题意得：， ∴若将分式中的，都扩大倍，则分式的值不变， 故选：A． 题型八：约分和通分 22．（23-24八年级上·山东聊城·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查通分，找到各分母的最简公倍数是解题的关键． （1）根据，，的最简公倍数为进行通分即可； （2）根据，，的最简公倍数为进行通分即可． 【详解】（1）解：，，的最简公倍数为， ； ； ； （2）解：，，的最简公倍数为， ；；． 23．（2022八年级上·全国·专题练习）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）分子分母约去即可； （2）分子分母约去即可； （3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 24．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可； （2）先找出最简公分母，然后通分即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，的最简公分母为：， ∴三个分式通分为：，，． （2）解：∵，，， ∴分式，，的最简公分母为：， 三个分式通分为：，，． 题型九：分式的运算 25．（24-25八年级上·山东威海·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． （1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【分析】本题主要考查了分式的运算， 对于（1），根据分式的乘法，直接约分即可； 对于（2），将除法变为乘法，再计算即可； 对于（3），先算乘方，再按照顺序计算即可； 对于（4），先计算括号内的，再将除法变成乘法计算； 对于（5），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； 对于（6），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； 对于（7）（8），仿照（6）解答． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式； （7）原式； （8）原式． 27．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】本题考查了分式的四则混合运算，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将除法化为乘法计算即可； （2）将除法化为乘法，再结合平方差约分化简即可； （3）根据同分母减法法则计算即可； （4）先通分，再根据同分母减法法则计算即可； （5）将除法化为乘法约分化简，再根据同分母减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 题型十：整数指数幂运算 28．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果; （2）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果. （3）根据异分母的分式加减计算即可． （4）首先计算乘方，然后计算乘法，然后进行除法运算即可． 本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和简便方法的应用以及结果的符号是本题的关键． 【详解】（1）解：,,； （2）解：,,； （3）解：； （4）解：． 题型十一：分式的化简求值 29．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-5 (2)2 022 (3) 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 【详解】（1） ； （2） =2022； （3） ． 30．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先按照积的乘方运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （2）先按照积的乘方，同底数幂的运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （3）先按照积的乘方，再计算同底数幂的除法，再化为张整数指数幂的形式即可； （4）先按照积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，再化为科学记数法的形式即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； 题型十二：分式创新定义 31．（24-25八年级上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】（1）；（2），2 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则是解题关键． （1）直接通分运算再化简得出答案； （2）直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则化简，再将代入计算． 【详解】解：（1）， （2） ∵且， ∴不能取和和， ∴当时， 原式. 32．（2024八年级上·全国·专题练习）如果等式恒成立， (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)(2)； 【分析】本题考查了分式的化简求值，积的乘方以及负整数指数幂的计算； （1）根据异分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，根据已知等式得出，据此求出x的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴解得： （2）解：∵∴ ∴ ∵， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 原式 33．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二：分式创新定义 34．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 35．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 36．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【专题训练】 一、单选题 37．（24-25八年级下·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 38．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程，最简分式等知识．熟练掌握分式的化简，解分式方程，最简分式是解题的关键． 根据分式的化简，解分式方程，最简分式对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中分式中x，y都扩大3倍，为，故不符合要求； C中分式的值为0， ∴， 解得，（舍去），故不符合要求； D中分式是最简分式，故符合要求； 故选：D． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 且且， 又为正整数， ， 即且， 选项A、C、D均不符合题意， 当时， 原式，故选项B符合题意， 故选：B． 40．（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子的值为负整数，则的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解： ； ∵分式的值为负整数， 或， 则或3． 故选：B 41．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，再代入分式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故选：． 42．（23-24八年级下·全国·单元测试）已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：， ， ， ， 该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 43．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 【详解】解：，，， ∵ ∴， 故选：D 44．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先计算出，，然后根据选项的已知条件，逐一计算判断即可． 【详解】解： ，， ， ， A、若，则，但不能判断的符号，故不能得出，即不能得到，故该选项错误，不符合题意； B、若，同理无法判断的符号，不能得到，故该选项错误，不符合题意； C、若，则，故该选项正确，符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 45．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 46．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据负整数指数幂和分式除法运算法则计算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 47．（24-25八年级上·上海·期中）已知：，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，化简二次根式，分式的求值，先根据题意得到，进而得到，则可求出或（舍去），据此把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，分式的化简求值，化简得到是解题的关键． 对已知进行化简得到，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 49．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解二元一次方程组，先通分得到，进而得到，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或，故结论③正确． 故答案为：①③． 三、解答题 51．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 52．（24-25八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将除法转化为乘法，再约分，然后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，再根据二次根式有意义的条件求出，；最后把x与y的值代入化简后的式子，计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 53．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)，，， (2)第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的 【分析】本题考查了列代数式，利用平方差进行因式分解，分式的除法运算等知识．熟练掌握列代数式，利用平方差进行因式分解，分式的除法运算是解题的关键． （1）由题意知，“丰收1号”试验田是边长为的正方形，然后求面积即可，“丰收2号”试验田的面积是边长为的大正方形与边长为2的小正方形面积的差，然后根据单位面积产量为，计算求解即可； （2）由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，“丰收1号”试验田的面积为，单位面积产量为； “丰收2号”试验田的面积为，单位面积产量； 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 54．（24-25八年级上·上海·期中）已知，试求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式，求得的值，再平方即可求解； （2）根据题意可得，然后进行方式化简，再将代入即可求解； 【详解】（1）解：， ，即， ， ，即， ； （2）解：由于， ， ， ， ． 55．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或或或 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． （2）解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 56．（22-23八年级上·湖南怀化·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想=___________ (2) (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式得到拆项规律，写出即可 （2）根据已知等式得到拆项规律，写出即可 （3）根据绝对值的性质，分别计算即可 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查了数字类题目，分式的运算，解决问题的关键是掌握数字的变化规律 57．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求的整数部分．她百思而不得其解，于是向老师求助．数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增； 先看一般情形：； 再看特殊情形：当时，； 当时，； 老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了．” (1)请你通过化简，说明一般情形的正确性； (2)请你完成该同学的解答． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据分式的加减法则把分式进行化简即可； （2）根据题中所给出的式子把原式进行化简，求出最接近的整数即可． 【详解】（1）左边 右边 ∴ （2） ∵ ∴的整数部分为15． 【点睛】本题考查了分式的加减，根据题意找出规律是解题的关键． 58．（21-22八年级上·福建福州·期末）阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$