15.1 分式【11大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

15.1分式 【考点归纳】 · 考点一：分式的判断 · 考点二：分式有意义的条件 · 考点三：分式的求值 · 考点四：求分数为正（负）数时x的取值范围 · 考点五：求分数为整数时x的取值范围 · 考点六：判断分式的变形是否正确 · 考点七：利用分式基本性质判断分式值的变化 · 考点八：最简分式 · 考点九：最简公分母 · 考点十：通分和约分 · 考点十一：分式的综合问题 【知识梳理】 知识点一：分式的定义和意义 形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母. 知识点二：分式有关的条件和性质 1、分式有意义的条件：分母不等于0. 2、分式基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点三：分式的约分、通分 1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 2、通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 3、.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 技巧归纳：. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 【题型探究】 题型一：分式的判断 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，分式有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）下列各式，，，，，其中分式共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：分式有意义的条件 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期中）要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C．且 D．或 题型三：分式的求值 7．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）已知非零有理数，满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，求分式的值． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·） （1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 题型四：求分数为正（负）数时x的取值范围 10．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 12．（2024八年级·全国·竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 题型五：求分数为整数时x的取值范围 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 14．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 15．（22-23八年级下·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 题型六：判断分式的变形是否正确 16．（24-25八年级上·北京通州·期中）下列式子从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·湖南永州·期中）若，则下列分式化简中，正确的是（） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期中）若，则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 题型七：利用分式基本性质判断分式值的变化 19．（24-25八年级上·山东东营·期中）把分式中的x、y的值同时缩小为原来的，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 20．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）把分式的分子分母中的a，b都缩小到原来的，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 21．（24-25八年级上·广西来宾·期中）若将分式中、都扩大为原来的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的100倍 题型八：最简分式 22．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·山东烟台·期中）在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·山东淄博·期中）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型九：最简公分母 25．（24-25八年级上·河北沧州·期中）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 26．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是(　　) A． B． C． D． 27．（2024八年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 题型十：通分和约分 28．（23-24八年级下·江苏泰州）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 29．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 30．（22-23八年级上·全国·单元测试）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型十一：分式的综合问题 31．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 32．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 33．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【高分达标】 一、单选题 34．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的6倍 36．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列选项正确的是（   ） A．分式的最简公分母是 B． C． D．分式 中的a，b同时扩大2倍值不变 37．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则等于（   ） A．4 B．5 C．7 D． 38．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．当分式时， B．当时，分式的值为正数 C．分式与的最简公分母是 D．分式约分的结果是 39．（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 41．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 42．（24-25九年级上·全国·课后作业）按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知：（、、均不为零），则 ． 44．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数． 45．（2024八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：（1），括号内应填入( )；（2），括号内应填入 ( )． 46．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值为 ． 三、解答题 47．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 48．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）化简： (1)；(2)；(3)；(4)． 49．（23-24八年级下·全国·假期作业）（1）当时，求分式的值； （2）已知与互为相反数，求的值． 50．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 51．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 52．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1分式 【考点归纳】 · 考点一：分式的判断 · 考点二：分式有意义的条件 · 考点三：分式的求值 · 考点四：求分数为正（负）数时x的取值范围 · 考点五：求分数为整数时x的取值范围 · 考点六：判断分式的变形是否正确 · 考点七：利用分式基本性质判断分式值的变化 · 考点八：最简分式 · 考点九：最简公分母 · 考点十：通分和约分 · 考点十一：分式的综合问题 【知识梳理】 知识点一：分式的定义和意义 形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母. 知识点二：分式有关的条件和性质 1、分式有意义的条件：分母不等于0. 2、分式基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点三：分式的约分、通分 1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 2、通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 3、.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 技巧归纳：. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 【题型探究】 题型一：分式的判断 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，分式有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的概念：分母中含有字母的式子是分式，根据概念即可求解． 【详解】解：是整式， 的分母中含有字母，所以是分式 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）下列各式，，，，，其中分式共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记定义是解题的关键．形如（A、B均为整式且B中有字母）的式子是分式，根据定义解答． 【详解】解：下列各式，，，，，其中分式，，共2个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 题型二：分式有意义的条件 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分母不为零，计算即可， 本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义， 故， 解得x取全体实数，符合题意； 分式有意义， 故， 解得， 不满足x取全体实数，不符合题意； 分式有意义， 故， 解得， 不满足x取全体实数，不符合题意； 分式有意义， 故， 解得， 不满足x取全体实数，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0． 由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴， ∴且． 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期中）要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 题型三：分式的求值 7．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）已知非零有理数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式求值．根据题意得到，代入分式化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，求分式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了求分式的值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可知，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型四：求分数为正（负）数时x的取值范围 10．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 12．（2024八年级·全国·竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得：或. 故选：C． 题型五：求分数为整数时x的取值范围 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 14．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 15．（22-23八年级下·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【解析】略 题型六：判断分式的变形是否正确 16．（24-25八年级上·北京通州·期中）下列式子从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 17．（24-25八年级上·湖南永州·期中）若，则下列分式化简中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C符合题意． D、，故D不符合题意． 故选：C． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期中）若，则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，根据分式基本性质化简即可判断，掌握分式的基本性质是关键． 【详解】解：三个选项的分子分母不能约分， 而选项， ∴选项正确， 故选：． 题型七：利用分式基本性质判断分式值的变化 19．（24-25八年级上·山东东营·期中）把分式中的x、y的值同时缩小为原来的，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据题意，将分式中的x、y分别变成、，再利用分式的基本性质即可解答． 【详解】解：分式中的x、y的值同时缩小为原来的， 则分式的值为， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 20．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）把分式的分子分母中的a，b都缩小到原来的，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，a，b都缩小到原来的代入计算即可． 【详解】解：把分式的分子分母中的a，b都缩小到原来的得， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 21．（24-25八年级上·广西来宾·期中）若将分式中、都扩大为原来的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的100倍 【答案】B 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据分式的基本性质判断作答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式， 则分式的值扩大为原来的10倍， 故选：B． 题型八：最简分式 22．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念逐项判断即可． 【详解】．解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 23．（24-25八年级上·山东烟台·期中）在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 24．（24-25八年级上·山东淄博·期中）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 题型九：最简公分母 25．（24-25八年级上·河北沧州·期中）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是 故选：A． 26．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母的确定方法：数字取各分母系数的最小公倍数，同底数幂取次数最高的，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，得到的因式的积就是最简公分母．根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：两个分式可化为： ，     最简公分母：， 故选：D． 27．（2024八年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】C 【分析】本题考查了分式的最简公分母，属于简单题，熟悉概念是解题关键． 根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数，相同字母取最高次幂，并且包含所有字母都要出现，熟悉概念即可解题． 【详解】A．与的最简公分母是，选项错误； B．与的最简公分母是，选项错误； C．与的最简公分母是，选项正确； D．与的最简公分母是，选项错误． 故选：C． 题型十：通分和约分 28．（23-24八年级下·江苏泰州）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 29．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 30．（22-23八年级上·全国·单元测试）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． （1）根据分式的基本性质求解即可； （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （5）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 题型十一：分式的综合问题 31．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 【答案】(1)(2)，或(3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小； (2)当时，随着的增大，的值无限接近． 【分析】（）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 33．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【高分达标】 一、单选题 34．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 故选：． 35．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的6倍 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：由题意，得， 故选：B． 36．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列选项正确的是（   ） A．分式的最简公分母是 B． C． D．分式 中的a，b同时扩大2倍值不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母和分式的性质，A中两个分式的最简公分母为；根据分式的基本性质可判断B、C、D；分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变． 【详解】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意； B．，原说法错误，不符合题意； C．，原说法正确，符合题意； D．分式 中的a，b同时扩大2倍变为，即分式 中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 37．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则等于（   ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，分式有意义的条件，完全平方公式等知识点，利用等式的性质求出是解题的关键． 由得到，根据题意可知，因此可得，然后等式两边同时平方，稍加整理即可得解． 【详解】解：， ， 由题意可知：， ， ， ， ， 故选：． 38．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．当分式时， B．当时，分式的值为正数 C．分式与的最简公分母是 D．分式约分的结果是 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，即分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解∶A． 当分式时，，正确，不符合题意； B． 当时，分式的值为正数，正确，不符合题意； C． 分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； D．分式约分的结果是，故错误，符合题意； 故选∶D． 39．（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以负1即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 40．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 41．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 二、填空题 42．（24-25九年级上·全国·课后作业）按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了分式有意义、分式无意义的条件及分式值为零的条件，熟知它们的特征是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件是分母不等于零， 即可解答； （2）分式无意义的条件是分母等于零， 即可解答； （3）分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 即可解答． 【详解】（1）分式有意义， ， 解得：， 故答案为：； （2）分式无意义， ， 解得：； 故答案为：； （3）分式的值为0， 且， 解得： 故答案为：0； 43．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知：（、、均不为零），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可．解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 45．（2024八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：（1），括号内应填入( )；（2），括号内应填入 ( )． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键． （1）把分式的分母与分子同时乘以即可得出结论； （2）把分式的分母与分子同时乘以即可得出结论． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 46．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先把原式变形为，再根据已知条件得到，据此整体代入求解即可． 【详解】解： ， ， ， ∴原式， 故答案为：． 三、解答题 47．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键． （1）将分式分子分母分解因式，再约分即可； （2）根据通分法则计算即可． 【详解】解：（1）． （2）最简公分母为， ， ． 48．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的约分； （1）分子分母提取公因式后约分即可； （2）分子分母提取公因式后约分即可； （3）分子分母因式分解后约分即可； （4）分子分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 49．（23-24八年级下·全国·假期作业）（1）当时，求分式的值； （2）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的求值，非负数的性质，准确的计算是解本题的关键； （1）把直接代入分式进行计算即可； （2）先利用非负数的性质求解的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1）当时， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴即； ∴，， ∴，， ∴； 50．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的约分是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，约分即可； （2）设，用k表示出a，b，c，代入约分即可 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，即． ∴． （2）设．则，，， ∴． 51．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或； (3)最小值为 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【详解】（1）由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3） ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$