精品解析：江苏省连云港市灌南高中协作体2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

2024灌南高中协作体高一月考联考 数学试题 （12．1） 一、单选题 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集概念计算即可. 【详解】先求出集合，得到，则. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】由，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定为，. 故选：A 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项. 【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确. 对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误. 对于,是奇函数，不满足题意，故错误. 对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A. 【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 5. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 6. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性可确定每一段函数的单调性及分段处函数值的大小关系，由此构造不等式组求得结果. 【详解】是上的减函数，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 二、多选题 9. 下列几个命题中正确的是（ ） A. 函数的最小值为4 B. 集合，，满足条件的集合的个数为7个 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】CD 【解析】 【分析】令，由对勾函数的性质求解可判断A；根据并集的概念写出满足条件的集合即可判断B；由条件得，利用基本不等式中1的妙用求解可判断C；由条件可知2，3是方程的两根，且，由韦达定理可得，代入不等式求解即可判断D. 【详解】函数，令， 由对勾函数的性质可知，在单调递增， ∴当时，取最小值5， ∴函数的最小值为5，故A错误； 集合，，满足条件的集合有： ， 共8个，故B错误； 已知，，且，则，且， ∴ ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为，故C正确； 一元二次不等式的解集为， 则2，3是方程的两根，且， ∴，得， ∴不等式可化为，即， 即，解得， 则不等式的解集为，故D正确. 故选：CD. 10. 设，为正数，且且，则（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断A；利用基本不等式建立不等式，换元后解不等式判断BC；根据条件转化为求的最大值，换元后利用二次函数最值得解判断D. 【详解】由， 所以，所以， 对A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对B，由 可得， 当且仅当时取等号， 令，则，解得， 即， 当且仅当时取等号，故B错误； 对C，由， 令，则， 解得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由可得， 所以， 令，由B知， 则由可知当时，， 故当时，有最大值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：通过对已知条件恰当变形后，利用基本不等式，换元法解不等式是解题的关键所在，对变形化简能力要求很高. 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解. 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得，即， 即，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据分段函数作出图象，结合图象性质分析即可得结论. 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 又因为关于的方程恰有两个不同的实数根， 结合图象可得或. 故答案为：或. 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）计算的值． 【答案】（1）；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算化简求出给定式子的值. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）由，得，则，两边平方得， 所以. （2） . 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解， （2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断， （3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； （3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围． 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围. 【小问1详解】 当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元. 根据利润=销售收入-总成本，可. 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元. 则. 所以. 【小问2详解】 当时，，图象开口向下，对称轴为. 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元. 当时，根据基本不等式，有. 所以亿元，当且仅当，即取等号. 因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 【小问3详解】 当时，，即，解得. 结合，知道此时满足题意. 当时，，即， 即，令，对称轴， 当时，单调递减，且时,. 则当，恒成立，即恒成立. 综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）当时，若，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）若，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论a的范围结合二次函数的性质计算即可； （3）令并分离参数将不等式转化为，利用对勾函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当， 令，即， 由，则； 【小问2详解】 易知，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，则； 若，即时，在上单调递减，则； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上； 【小问3详解】 由在上恒成立， 令，由对勾函数的性质知t在时单调递减，上单调递增， 易得， 则， 分离参数得在上恒成立，即， 令，， 由对勾函数的性质知在上单调递增，即，所以， 即的取值范围. 【点睛】方法点睛：对于复杂结构的函数形式，需多注意式子结构，常用换元法及整体思想转化为常见函数进行计算，换元需注意所换元的范围即可. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解； （1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解； （ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由 的对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为定义在上函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， ∴，得， 则令，得. 【小问2详解】 （ⅰ）因为函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， 所以 为奇函数， 所以，解得. （ⅱ）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 ， 由可知，，， 所以，即在上单调递增； ∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 对任意，总存在，使得成立知， 由的图象关于点对称，所以只需 ①当时，在上单调递增，由对称性知， 在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， 即，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， ∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024灌南高中协作体高一月考联考 数学试题 （12．1） 一、单选题 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(　　) A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列几个命题中正确的是（ ） A. 函数的最小值为4 B. 集合，，满足条件的集合的个数为7个 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 10. 设，为正数，且且，则（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题 12. 已知函数的定义域为______. 13. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 14. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________. 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）计算的值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； （3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围． 18. 已知函数，. （1）当时，若，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）若，使得成立，求的取值范围. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $