7.1&7.2为什么要证明&定义与命题（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第7章 平行线的证明》 7.1&7.2 为什么要证明&定义与命题 知识点一 为什么要证明 1、数学的结论必须经过严格的论证，要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须有根有据的进行推理即证明. 2、检验数学结论的常用方法有：实验验证，推理证明，举出反例. 知识点二 定 义 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 知识点三 命题的定义与结构 1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 2、命题只需对事件作出判断，与正确与否无关． 2、命题的结构 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 知识点四 名题的分类 1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 3、真假命题的判断 一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 知识点五 基本事实与定理 1、基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2、定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证. （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 知识点六 证明 1、定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2、证明的格式： 证明的基本格式：因为……，所以…… 或 ∵…… ，∴……. 【注意】 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点七 证明几何命题的一般格式 1、证明的一般顺序和格式： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 2、辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 题型一 推理与论证 解题技巧提炼 数学的结论必须经过严格的论证，要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须有根有据的进行推理即证明.检验数学结论的常用方法有：实验验证，推理证明，举出反例. 1．（2023秋•运城月考）下列结论推理合理的是（　　） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 【分析】A，视觉误差会导致判断失误，据此判断即可； B，数学老师的数学知识水平可能很高，但不一定他出的题就没问题，据此判断即可； C，小强的学习成绩和妈妈是老师没有必然联系，据此判断即可； D，朋友多少与人的性格有关，热情、开朗、爱交际的人朋友可能很多，据此判断即可． 【解答】解：A，王强和小明体重看起来不等，可能是由于人的视觉误差导致的，它们不一定不等，故A的推理不合理； B，王老师是数学老师，王老师出的数学题跟他的知识水平有很大的关系，故王老师出的数学题不一定没问题，B的推理不合理； C，小强的学习成绩和妈妈是老师没有必然联系，不能武断地说他的学习成绩一定很好，C的推理不合理； D，小强的朋友多与小强热情、开朗、爱交际有一定联系，D的推理合理． 故选：D． 【点评】本题考查推理的知识，掌握语言的严密性是关键． 2．（2023秋•瑶海区校级月考）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（　　） A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确 【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁． 【解答】解：由题意，可知： ∵乙、丁的预测是一样的， ∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立， ②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， ∵甲、丙的预测成立， ∴丁必获奖． ∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， ∴丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：C． 【点评】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题． 3．（2023春•张店区校级期中）甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（　　） A．甲在B校学习，丙在A校学习 B．甲在B校学习，丙在C校学习 C．甲在C校学习，丙在B校学习 D．甲在C校学习，丙在A校学习 【分析】先判断哪个学校学什么，在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学，因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习． 【解答】解：因为在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学， 因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习， 因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习． 故选：A． 【点评】本题考查推断能力，根据肯定的条件和否定的条件可推出结论． 4．（2023秋•浙江月考）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况： ①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是 （　　） A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿 【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决． 【解答】解：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，则一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿， 故选：D． 【点评】本题考查推理和论证，解答本题的关键是明确题意，能够写出正确的推理过程． 5．（2024秋•杭州月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据题意，利用假设法逐一判断即可． 【解答】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A不合题意； 假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B不合题意； 假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C不合题意； 假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查推理与论证，利用假设法解决逻辑问题，得出结论是解答的关键． 6．（2024秋•代县期中）某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 　 人． 【分析】找到关键描述语，表示出相互关系得出代数式解答即可． 【解答】解：设第三层有女孩x人，则第二层有男孩（x﹣2）人，第二层有成年女子18﹣10﹣1﹣（x﹣2）＝（9﹣x）人， ∴成年女子总数为9﹣x+9+4＝（22﹣x）人， ∴居民共有：2（22﹣x）+4+2（x+6）＝60， 故答案为：60． 【点评】此题考查推理与论证，关键是表示出相互关系得出代数式解答． 7．（2024•北京一模）某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表： 项目 时间/分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学） 第一组 5 4 3 第二组 6 5 4 第三组 4 3 2 若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 　 分钟． 【分析】先找出项目①和项目②完成最少时间，再加上项目③最少的时间即可． 【解答】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4＝15（分钟）， ∵每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作， ∴最快9分钟后开始③， 则9+3+4+2＝18（分钟）， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查逻辑推理能力，得出完成项目①和项目②的最短时间是解题的关键． 题型二 命题的定义 解题技巧提炼 命题是判断一件事情的语句，命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 1．（2023秋•平湖市期中）下列语句是命题的是（　　） A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C C．垂线段最短吗？ D．同旁内角互补 【分析】利用命题的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A．作直线AB的垂线为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B．在线段AB上取点C为描述性语言，它不是命题，所以B选项不符合题意； C．垂线段最短吗为疑问句，它不是命题，所以C选项不符合题意； D．同旁内角互补为命题，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 2．（2023秋•敦煌市期末）下列语句是命题的是（　　） A．画一条直线 B．正数都大于零 C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？ 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、画一条直线，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、正数都大于零，是命题，符合题意； C、同位角相等吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； D、明天晴天吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题． 3．（2024秋•苍梧县期中）下列语句中不是命题的是（　　） A．锐角小于钝角 B．作AC的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于180° 【分析】答题时首先知道命题是由题设和结论构成，然后判断． 【解答】解：锐角小于钝角，对顶角相等，三角形的内角和等于180°都是命题， 作AC的垂直平分线不是命题，没有结论， 故选：B． 【点评】本题主要考查命题与定理．线段的垂直平分线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 4．（2023春•青龙县期末）下列语句是命题的是（　　） A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗 C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．相等的角是对顶角 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、画出两个相等的线段，没有做出判断，不是命题； B、所有的同位角都相等吗，没有做出判断，不是命题； C、延长线段AB到C，使得BC＝BA，没有做出判断，不是命题； D、相等的角是对顶角，是命题． 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键． 5．下列语句是命题的有（　　） ①两条直线相交，只有一个交点；②π不是有理数；③延长线段AB；④对顶角相等；⑤明天会下雨吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：①正确，题设是两条直线相交，结论是只有一个交点； ②正确，题设是π，结论是不是有理数； ③正确，题设是两个角是对顶角，结论是两个角相等； ④错误，是疑问句，不符合命题的定义； 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解答此题的关键是熟知命题的定义，即判断一件事情的语句叫命题，命题都有题设和结论两部分组成． 6．（2023秋•双牌县期末）下列语句是命题的是（　　） （1）两点之间，线段最短； （2）对顶角相等； （3）请画出两条互相平行的直线； （4）过直线外一点作已知直线的垂线． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：（1）两点之间，线段最短，是命题； （2）对顶角相等，是命题； （3）请画出两条互相平行的直线，没有对事件作出判断，不是命题； （4）过直线外一点作已知直线的垂线，没有对事件作出判断，不是命题； 故选：A． 【点评】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 7．（2023春•原州区校级月考）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是 　 　． 【分析】根据命题的定义：对一件事情作出判断，是陈述句，进行判断即可． 【解答】解：①钝角大于90°、②两点之间，线段最短、⑤同旁内角不互补，两直线不平行，都对事情作出了判断，因此都属于命题； ③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，因此不是命题； ④作AD⊥BC属于作图语言，并未进行判断，因此不是命题， 故答案为：③④． 【点评】本题考查命题的定义：是否对一件事情进行了判断，而且是陈述句． 8．（2025春•晋安区期末）下列语句是命题的有 　 （填序号）． ①两点之间，线段最短．②如果x2＞0，那么x＞0吗？ ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．④过直线外一点作已知直线的垂线． 【分析】根据命题的定义直接写出答案即可． 【解答】解：①两点之间，线段最短，是命题，符合题意． ②如果x2＞0，那么x＞0吗？没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题，符合题意； ④过直线外一点作已知直线的垂线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意． 故答案为：①③． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义﹣判断一件事情的句子，难度不大． 题型三 命题的改写 解题技巧提炼 正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 命题改写的原则是不改变原题的原意． 1．（2023春•鄂伦春自治旗期末）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：同角的补角相等．改写成 　 　． 【分析】根据命题的概念解答即可． 【解答】解：命题同角的补角相等写成“如果……，那么……”的形式：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 2．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假． （1）等角的补角相等． （2）垂直于同一直线的两直线平行． 【分析】（1）等角的补角相等的题设为两个角是两相等角的补角，结论为这两个角相等，它为真命题； （2）垂直于同一直线的两直线平行的题设为两条直线都垂直于同一条直线，结论为这两条直线平行；由于没有同一平面的条件，所以它为假命题． 【解答】解：（1）等角的补角相等改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是两相等角的补角，那么这两个角相等．此命题为真命题； （2）垂直于同一直线的两直线平行改写成“如果…那么…”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．此命题为假命题． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 【分析】（1）根据命题的概念把原命题改写成“如果…那么…”的形式，根据对顶角相等判断真假命题； （2）根据命题的概念把原命题改写成“如果…那么…”的形式，根据等式的性质判断真假命题． 【解答】解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题； （2）如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式，是真命题． 【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么”的形式． （1）等底等高的两个三角形面积相等． （2）同位角相等，两直线平行． 【分析】先写出命题的条件和结论，然后根据“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，把原题改写成“如果……那么”的形式即可． 【解答】解：（1）这个命题的条件是“两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等”，结论是“这两个三角形的面积相等”， 可以改写成“如果两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等，那么这两个三角形的面积相等”； 可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； （2）这个命题的条件是“两条直线被第三条直线所截得的同位角相等”，结论是“两直线平行”， 可以改写成“如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行”． 【点评】本题主要考查了命题的题设与结论，并把命题改成“如果……那么”的形式，熟知如果后面是条件，那么后面是结论是解题的关键． 5．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式： （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）同角的补角相等； （3）绝对值相等的两个数一定相等． 【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，把原命题的题设放在如果后面，结论放在那么后面即可． 【解答】解：（1）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等． 【点评】本题考查了命题定理，关键是掌握命题的题设与结论，知道命题的题设放在如果后面，结论放在那么后面． 6．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． （1）两条直线相交，只有一个交点； （2）个位数字是5的整数一定能被5整除； （3）互为相反数的两个数之和等于0； （4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角． 【分析】根据命题有题设和结论两部分组成，把条件写在如果的后面，把结论写在那么的后面即可． 【解答】解：（1）两条直线相交，只有一个交点改写成“如果…那么…”的形式为：如果两条直线相交，那么只有一个交点； （2）个位数字是5的整数一定能被5整除改写成“如果…那么…”的形式为：如果个位数字是5的整数，那么它一定能被5整除； （3）互为相反数的两个数之和等于0改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0； （4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角改写成“如果…那么…”的形式为：如果三角形的一个外角，那么它大于它的任何一个内角． 【点评】本题考查了命题与定理，是基础题，理清命题的题设与结论是解题的关键． 7．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数； （3）等角的补角相等． 【分析】把各命题题设放在“如果“后面，结论放在“那么“后面，再判断真假即可． 【解答】解：（1）有理数一定是自然数改写成“如果一个数是有理数，那么它一定是自然数“，题设是“一个数是有理数“，结论是“它一定是自然数“，这个命题是假命题； （2）负数之和仍为负数改写成“如果两个数为负数，那么它们的和也是负数“，题设是“两个数为负数“，结论是“它们的和也是负数“，这个命题是真命题； （3）等角的补角相等改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等“，题设是“两个角相等“，结论是“它们的补角也相等“，这个命题是真命题． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设和结论，并会判断命题真假． 题型四 命题真假的判断 解题技巧提炼 真假命题的判断，一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 1．（2024春•路桥区期中）下列命题为真命题的是（　　） A．非负数都有两个平方根 B．同旁内角互补 C．坐标轴上的点不属于任何象限 D．带根号的都是无理数 【分析】根据平方根的定义、平行线的性质、无理数的定义、平面直角坐标系上点的坐标特征等知识逐项判定． 【解答】解：A、非负数都有两个平方根，错误，0只有一个平方根，故原命题为假命题； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题为假命题； C、坐标轴上的点不属于任何象限，为真命题； D、无限不循环小数是无理数，故原命题为假命题； 故选：C． 【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平方根的定义、平行线的性质、无理数的定义、平面直角坐标系上点的坐标特征等知识是解答此题的关键． 2．（2024秋•浙江期中）下列命题是假命题的是（　　） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．等边三角形各个内角都等于60° C．等腰三角形一边上的高线，中线互相重合 D．直角三角形两锐角互余 【分析】根据三角形三边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，即可判断． 【解答】解：A、B、D中的命题是真命题，故A、B、D不符合题意； C、等腰三角形底边的高线，中线互相重合，故C符合题意． 故选C． 【点评】本题考查命题与定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．（2023秋•港南区期末）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可． 【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意； B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； 故选：A． 【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 4．（2024春•南昌期中）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①无限小数是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1； ③同位角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据无理数的定义对①进行判断；利用﹣1的立方根为﹣1对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据平行公理可对④进行判断． 【解答】解：无限不循环小数是无理数，所以①为假命题； 立方根等于它本身的数有三个，是0和±1，所以②为假命题； 两直线平行，同位角相等，所以③为假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④为假命题． 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5．（2024春•昆山市期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若∠1＝∠2，则∠1与∠2是对顶角 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．如果x2＝y2，那么x＝y 【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、若∠1＝∠2，则∠1与∠2不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，正确，为真命题，符合题意； D、如果x2＝y2，那么x＝±y，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 6．（2023秋•大通区期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．同角的余角相等 D．全等三角形的面积相等 【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可． 【解答】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不合题意； B、同位角相等是假命题，故此选项符合题意； C、同角的余角相等是真命题，故此选项不合题意； D、全等三角形的面积相等是真命题，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7．（2024春•岳麓区校级月考）下列命题中， ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③垂直于同一直线的两直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；真命题的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】利用平行线的性质及判定方法、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题； ③平面内垂直于同一直线的两直线平行，故原命题错误，是假命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题； 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 8．（2024秋•柯桥区期中）对于命题“若a＞b，则a2＞b2．”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝﹣1 D．a＝3，b＝﹣1 【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【解答】解：对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是a＝﹣1，b＝﹣3，a＞b，但（﹣1）2＜（﹣3）2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了命题与定理，掌握假命题的概念是解题关键． 题型五 命题的证明 解题技巧提炼 本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 1．（2024秋•静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　 　； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【分析】（1）如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，由此即可得到答案； （2）画出图形，由题意即可写出已知和求证，由垂直的定义得到∠CMN＝∠ENB＝90°，由同位角相等，两直线平行推出CD∥EF． 【解答】解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， 求证：CD∥EF， 证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， ∴∠CMN＝∠ENB＝90°， ∴CD∥EF． 【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握平行线的判定方法． 2．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B；②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE．试回答下列问题： （1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题；（用序号写出命题，例如，如果*，*，那么*） （2）选择（1）中你写出的任一命题，证明其是真命题． 【分析】（1）答案一：如果①，②，那么③；答案二：如果②、③，那么①；答案三：如果①，③，那么 ②； （2）利用平行线的性质和判定可以一一证明； 【解答】解：（1）答案一：如果①，②，那么③； 答案二：如果②、③，那么①； 答案三：如果①，③，那么 ②； （2）答案一：如果①，②，那么 ③： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∵∠A＝∠B， ∴∠BCD＝∠DCE； 答案二：如果②、③，那么 ①： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠DCE， ∴∠A＝∠B； 答案三：如果 ①，③，那么②： ∵∠A+∠B＝180°﹣∠BCA，∠BCE＝180°﹣∠BCA， ∴∠BCE＝∠A+∠B， ∵∠BCD＝∠DCE，∠A＝∠B， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 3．（2023•武功县模拟）如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①∠A＝∠C，②OA＝OC，③∠B＝∠D，④OE＝OF．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：　 　，结论：　 　；（填序号） （2）写出你的证明过程． 【分析】（1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性； （2）要证结论的正确性，例如由①②⇒④，则只需证△OAB≌△OCD（SAS）即可． 【解答】解：（1）②④，①．（答案不唯一） 故答案为：②④，①； （2）证明：∵OE＝OF，点E、F分别为OB、OD的中点， ∴OB＝OD． 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（SAS）， ∴∠A＝∠C． 【点评】考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是证明三角形全等，难度不大． 4．（2024•淄川区二模）如图，在△AFD和△CEB中，点 A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC． 请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程． 条件为：　 （填序号）． 结论为：　 　（填序号）． 【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明△AFD≌△CEB即可． 【解答】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一） 已知：如图，在△AFD和△CEB中，点 A、E、F、C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：DF＝BE． 证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， ∴在△AFD和△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB（SAS）， ∴DF＝BE． 故答案为：①②④；③ 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2023秋•淮阳区期末）命题：全等三角形的对应边上的高相等． （1）写成“如果…，那么…”：　 　； （2）根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【分析】（1）寻找命题的题设和结论，即可解决问题； （2）写出已知，求证，利用全等三角形的判定方法证明即可． 【解答】解：（1）如果那么的形式应该是如果两条线段是全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等． 故答案为：如果那么的形式应该是如果两条线段是全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等． （2）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′． 求证：AD＝A′D′． 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′， ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD＝A′D′． 【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 6．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断： ①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF． 请任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程． 我选择 　 　作为已知条件，　 　作为结论（填写序号）． 【分析】任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可组合得到4个命题，分别为： （1）①③④为条件，②为结论； （2）①②④为条件，③为结论； （3）①②③为条件，④为结论； （4）②③④为条件，①为结论； 对4个命题分别证明即可解题． 【解答】解：（1）①③④为条件，②为结论； ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF；故本命题为真命题； （2）①②④为条件，③为结论； ∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠ABC＝∠DEF；故本命题为真命题； （3）①②③为条件，④为结论； 无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题； （4）②③④为条件，①为结论； 无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题； 答：可得到4个命题，其中真命题有2个． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEF是解题的关键． 7．在学习本课时内容时，老师提出了这样一个问题： 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AC，AB，BC上一点，连接DE，DF．请从①DF∥AB；②DE∥BC；③∠1＝∠2中，选取两个为题设，第三个为结论，组成命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下： 选取①③为题设，②为结论．即：“如果DF∥AB，∠1＝∠2，那么DE∥BC”是一个真命题． 证明：∵DF∥AB（已知）， ∴∠B＝∠2（ 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠B＝∠1（等量代换）． ∴DE∥BC（ 　 　）． （1）帮助小明完成证明； （2）对于小明的选择：“选取①③为题设，②为结论．”你还有其他证明方法吗？仿照小明的证明过程，尝试用新的方法证明； （3）请作出与小明不同的选择，组成新的命题，判断其真假，并证明． 【分析】（1）根据平行线的性质与判定解答即可； （2）根据命题的定义写出命题即可； （3）根据命题的定义写出命题即可． 【解答】解：（1）两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行； （2）选取②③为题设，①为结论．即：“如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么DF∥AB”是一个真命题． 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠B＝∠1， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠B＝∠2（等量代换）． ∴DF∥AB； （3）选取①②为题设，③为结论．即：“如果DE∥BC，DF∥AB，那么∠1＝∠2”是一个真命题． 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠B＝∠1， ∵DF∥AB（已知）， ∴∠B＝∠2， ∴∠1＝∠2． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键． 8．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 ； 请选择其中一种情况说明理由． ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可． （2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解方程即可解决问题． 【解答】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF， 故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF． 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC， ∴∠ABC＝∠DEF． ②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． （2）设两个角分别为x和2x﹣30°， 由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°， 解得x＝30°或x＝70°， ∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第7章 平行线的证明》 7.1&7.2 为什么要证明&定义与命题 知识点一 为什么要证明 1、数学的结论必须经过严格的论证，要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须有根有据的进行推理即证明. 2、检验数学结论的常用方法有：实验验证，推理证明，举出反例. 知识点二 定 义 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 知识点三 命题的定义与结构 1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 2、命题只需对事件作出判断，与正确与否无关． 2、命题的结构 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 知识点四 名题的分类 1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 3、真假命题的判断 一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 知识点五 基本事实与定理 1、基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2、定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证. （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 知识点六 证明 1、定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2、证明的格式： 证明的基本格式：因为……，所以…… 或 ∵…… ，∴……. 【注意】 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点七 证明几何命题的一般格式 1、证明的一般顺序和格式： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 2、辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 题型一 推理与论证 解题技巧提炼 数学的结论必须经过严格的论证，要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须有根有据的进行推理即证明.检验数学结论的常用方法有：实验验证，推理证明，举出反例. 1．（2023秋•运城月考）下列结论推理合理的是（　　） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 2．（2023秋•瑶海区校级月考）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（　　） A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确 3．（2023春•张店区校级期中）甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（　　） A．甲在B校学习，丙在A校学习 B．甲在B校学习，丙在C校学习 C．甲在C校学习，丙在B校学习 D．甲在C校学习，丙在A校学习 4．（2023秋•浙江月考）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况： ①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是 （　　） A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿 5．（2024秋•杭州月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（2024秋•代县期中）某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 　 人． 7．（2024•北京一模）某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表： 项目 时间/分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学） 第一组 5 4 3 第二组 6 5 4 第三组 4 3 2 若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 　 分钟． 题型二 命题的定义 解题技巧提炼 命题是判断一件事情的语句，命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 1．（2023秋•平湖市期中）下列语句是命题的是（　　） A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C C．垂线段最短吗？ D．同旁内角互补 2．（2023秋•敦煌市期末）下列语句是命题的是（　　） A．画一条直线 B．正数都大于零 C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？ 3．（2024秋•苍梧县期中）下列语句中不是命题的是（　　） A．锐角小于钝角 B．作AC的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于180° 4．（2023春•青龙县期末）下列语句是命题的是（　　） A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗 C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．相等的角是对顶角 5．下列语句是命题的有（　　） ①两条直线相交，只有一个交点；②π不是有理数；③延长线段AB；④对顶角相等；⑤明天会下雨吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2023秋•双牌县期末）下列语句是命题的是（　　） （1）两点之间，线段最短； （2）对顶角相等； （3）请画出两条互相平行的直线； （4）过直线外一点作已知直线的垂线． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 7．（2023春•原州区校级月考）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是 　 　． 8．（2025春•晋安区期末）下列语句是命题的有 　 （填序号）． ①两点之间，线段最短．②如果x2＞0，那么x＞0吗？ ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．④过直线外一点作已知直线的垂线． 题型三 命题的改写 解题技巧提炼 正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 命题改写的原则是不改变原题的原意． 1．（2023春•鄂伦春自治旗期末）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：同角的补角相等．改写成 　 　． 2．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假． （1）等角的补角相等． （2）垂直于同一直线的两直线平行． 3．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么”的形式． （1）等底等高的两个三角形面积相等． （2）同位角相等，两直线平行． 5．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式： （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）同角的补角相等； （3）绝对值相等的两个数一定相等． 6．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． （1）两条直线相交，只有一个交点； （2）个位数字是5的整数一定能被5整除； （3）互为相反数的两个数之和等于0； （4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角． 7．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数； （3）等角的补角相等． 题型四 命题真假的判断 解题技巧提炼 真假命题的判断，一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 1．（2024春•路桥区期中）下列命题为真命题的是（　　） A．非负数都有两个平方根 B．同旁内角互补 C．坐标轴上的点不属于任何象限 D．带根号的都是无理数 2．（2024秋•浙江期中）下列命题是假命题的是（　　） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．等边三角形各个内角都等于60° C．等腰三角形一边上的高线，中线互相重合 D．直角三角形两锐角互余 3．（2023秋•港南区期末）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 4．（2024春•南昌期中）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①无限小数是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1； ③同位角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024春•昆山市期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若∠1＝∠2，则∠1与∠2是对顶角 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．如果x2＝y2，那么x＝y 6．（2023秋•大通区期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．同角的余角相等 D．全等三角形的面积相等 7．（2024春•岳麓区校级月考）下列命题中， ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③垂直于同一直线的两直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；真命题的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2024秋•柯桥区期中）对于命题“若a＞b，则a2＞b2．”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝﹣1 D．a＝3，b＝﹣1 题型五 命题的证明 解题技巧提炼 本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 1．（2024秋•静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　 　； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 2．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B；②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE．试回答下列问题： （1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题；（用序号写出命题，例如，如果*，*，那么*） （2）选择（1）中你写出的任一命题，证明其是真命题． 3．（2023•武功县模拟）如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①∠A＝∠C，②OA＝OC，③∠B＝∠D，④OE＝OF．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：　 　，结论：　 　；（填序号） （2）写出你的证明过程． 4．（2024•淄川区二模）如图，在△AFD和△CEB中，点 A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC． 请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程． 条件为：　 （填序号）． 结论为：　 　（填序号）． 5．（2023秋•淮阳区期末）命题：全等三角形的对应边上的高相等． （1）写成“如果…，那么…”：　 　； （2）根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 6．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断： ①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF． 请任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程． 我选择 　 　作为已知条件，　 　作为结论（填写序号）． 7．在学习本课时内容时，老师提出了这样一个问题： 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AC，AB，BC上一点，连接DE，DF．请从①DF∥AB；②DE∥BC；③∠1＝∠2中，选取两个为题设，第三个为结论，组成命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下： 选取①③为题设，②为结论．即：“如果DF∥AB，∠1＝∠2，那么DE∥BC”是一个真命题． 证明：∵DF∥AB（已知）， ∴∠B＝∠2（ 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠B＝∠1（等量代换）． ∴DE∥BC（ 　 　）． （1）帮助小明完成证明； （2）对于小明的选择：“选取①③为题设，②为结论．”你还有其他证明方法吗？仿照小明的证明过程，尝试用新的方法证明； （3）请作出与小明不同的选择，组成新的命题，判断其真假，并证明． 8．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 ； 请选择其中一种情况说明理由． ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$