3.5 二元一次方程组的应用（第3课时 调配与配套问题）（同步课件）数学新教材沪科版七年级上册

3.5 二元一次方程组的应用 沪科版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程与方程组 第三课时 调配与配套问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 会列二元一次方程组解决调配与配套问题. 2. 知道列表能帮助我们弄清题意、找出等量关系. 3. 培养学生方程中“数学建模”的思想，进一步培养分析问题和解决问题的能力. 情景导入 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？ 课本例题 例4 某村 18 位农民筹集 5 万元资金，承包了一些低产田地. 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦. 种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表： 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元 蔬菜 5 15 荞麦 4 10 在现有情况下，这 18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工资，且资金正好够用？ 作物品种 种植面积S/hm2 需要人数 投入资金/万元 蔬菜 x 5x 15x 荞麦 y 4y 10y 合计 18 50 分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗?根据题意列表如下. 解方程组，得 解：设蔬菜种植 x hm2，荞麦种植 y hm2. 根据题意，得 故，承包田地的面积为 x + y = 4 hm2 人员安排为： 5x = 5×2 = 10 (人)，4y = 4×2 = 8 (人). 答：这 18 位农民应承包 4 hm2 田地，种植蔬菜和荞麦各 2 hm2，并安排 10 人种植蔬菜，8 人种植荞麦，这样能使所有人都有工作，且资金正好够用. 还可以怎样设未知数呢？ 课堂练习 1. 某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品. 已知每克甲原料含 0.6 单位蛋白质和 0.08 单位铁质，每克乙原料含 0.5 单位蛋白质和 0.04 单位铁质，如果患者每餐需 34 单位蛋白质和 4 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 解: 设每餐需要甲种原料 x g，乙种原料 y g. 根据题意，得 0.6x + 0.5y = 34， 0.08x + 0.04y = 4. 解方程组，得 x = 40， y = 20. 答:每餐需要甲种原料 40 g，乙种原料 20 g 恰好满足患者的需要. 2. 向某地运送物资. 第一批 480 t，用 8 节火车车厢和20 辆卡车正好装完. 第二批 540 t，用 10 节火车车厢和 5 辆卡车正好装完，求每节火车车厢和每辆卡车分别能装多少吨. 解: 设每节火车车厢能装 x t，每辆卡车能装 y t. 根据题意，得 8x + 20y = 480， 10x + 5y = 540. 解方程组，得 x = 52.5， y = 3. 解: 每节火车车厢能装 52.5 t，每辆卡车能装 3 t. 1. 若干学生分若干支铅笔，如果每人 5 支，那么多余 3 支；如果每人7 支，那么缺 5 支. 试问有多少名学生？共有多少支铅笔？ 习题 3.5 解: 设有 x 名学生，y 支铅笔. 根据题意，得 解方程组，得 5x + 3 = y， 7x - 5 = y. x = 4， y = 23. 答: 有 4 名学生，共有 23 支铅笔. 2. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步. 如果同时同地出发，相向而行，每隔 2 min 相遇一次；如果同向而行，每隔 6 min 相遇一次. 已知甲比乙跑得快，甲、乙每分钟各跑多少圈？ 解: 设甲每分钟跑 x 圈，乙每分钟跑 y 圈. 根据题意，得 解方程组，得 2x + 2y = 1， 6x–6y = 1. x = ， y = . 答：甲每分钟跑 圈，乙每分钟跑 圈. 3. 某商场向银行申请了甲、乙两种贷款，共计 68 万元. 每年应付利息 3.82 万元，甲种贷款年利率是 6%，乙种贷款年利率是 5%. 试问这两种贷款的金额各是多少？ 解: 设甲、乙两种贷款的金额分别是 x 万元、y 万元. 根据题意，得 解方程组，得 x + y = 68， 6%x + 5%y = 3.82. x = 42， y = 26. 答: 甲、乙两种贷款的金额分别是 42 万元、26 万元. 4. 某人装修房屋，原预算 150000 元. 装修时因材料费下降了 20%，装修工人的工资涨了 10%，实际用去 135000 元.原预算中材料费和付给装修工人的工资各多少？ 解:设原预算中材料费是 x 元，付给装修工人的工资是 y 元. 根据题意，得 x + y = 150 000， (1-20%)x + (1+10%)y = 135 000. 解方程组，得 x = 100 000， y = 50 000. 答:原预算中材料费是 100 000 元，付给装修工人的工资是50000 元. 5. 购买 1 个 A 产品和 2 个 B 产品需 400 元，购买 2 个 A 产品和 5 个 B 产品需 900元，求两种产品的单价. 解: 设 A 产品的单价为 x 元，B 产品的单价为 y 元. 根据题意，得 解方程组，得 x + 2y = 400， 2x + 5y = 900. x = 200， y = 100. 答: A 产品的单价为 200 元，B 产品的单价为 100 元. 6. 甲、乙两人同时加工一批零件，前 3 h 两人共加工 126 件.后 5 h 甲先花了 1 h 修理工具，因此甲每小时比以前多加工10 件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了 10 件. 甲、乙两人原来每小时各加工多少件？ 解: 设甲原来每小时加工 x 件，乙原来每小时加工 y 件. 根据题意，得 解方程组，得 3x + 3y = 126， 4(x + 10)-5y = 10. x = 20， y = 22. 答: 甲原来每小时加工 20 件，乙原来每小时加工 22 件. 7. 某铁路桥长 1000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 60 s，整列火车在桥上的时间是 40 s. 试求车速和车长. 解: 设火车的速度为 x m/s，车长为 y m. 根据题意，得 解方程组，得 1000+ y = 60x， 1000 - y = 40x. x = 20， y = 200. 答: 火车的速度为 20 m/s，车长为 200 m. 8. 二果问价（ 源自我国古代数学著作《四元玉鉴》） 九百九十九文钱， 甜果苦果买一千， 甜果九个十一文， 苦果七个四文钱， 试问甜苦果各几个？又问各该几文钱？ 解: 设买的甜果有 x 个，苦果有 y 个. 根据题意，得 解方程组，得 x + y = 999， x + y = 1 000. x = 657， y = 343. ×657 = 803， ×343 = 196. 答: 买的甜果有 657 个，花了 803 文钱，苦果有 343 个，花了196 文钱. 分层练习-基础 1. 本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价 收费；寄件超过1千克的部分按每千克另收费.小丽在本地 该快递公司分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收 费如下表： 收费标准： 目的地 起步价/元 超过1千克的 部分/(元/千克) 上海 a b 北京 a＋3 b＋4 目的地 质量/千克 费用/元 上海 2 9 北京 3 22 求 a ， b 的值. 【解】依题意，得 解得 答： a 的值为7， b 的值为2. 实际收费： 2. [2024·宣城宣州区期末]为响应国家“节能减排”的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如下表是我市的每月电价标准. 阶梯 用电量 电费/(元/度) 一档 不超过180度 a 二档 超过180度不超过 350度的部分 b 三档 超过350度的部分 0.9 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月 份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据， 求出表格中的 a ， b 的值. 【解】根据题意，得 解得 答： a 的值为0.6， b 的值为0.7. 【解】若7月份用电量为350度， 则电费为180×0.6＋(350－180)×0.7＝227(元). 因为285.5＞227，所以小明家7月份用电量超过350度. 设小明家7月份用电量为 x 度， 由题意，得 180×0.6＋(350－180)×0.7＋( x －350)×0.9＝285.5， 解得 x ＝415. 答：小明家7月份的用电量为415度. (2)小明家7月份用电量增多，缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量. 3. 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～5 km，超过5 km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11 km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23 km，付了35元.” (1)出租车的起步价是多少元？超过5 km后每千米另收费多少元？ 【解】设出租车的起步价是 x 元，超过5 km后每千米 另收费 y 元，由题意，得 解得 答：出租车的起步价是8元，超过5 km后每千米另收费1.5元. (2)小李从学校乘这种出租车回到家付费14元，学校到小 李家的路程是多少千米？ 【解】设学校到小李家的路程是 m 千米， 则8＋( m －5)×1.5＝14， 所以 m ＝9， 答：学校到小李家的路程是9千米. 分层练习-巩固 4. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆 A 型汽车、3辆 B 型汽车的进价共计80万元；3辆 A 型汽车、2辆 B 型汽车的进价共计95万元. (1)求 A ， B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元. 【解】设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元， B 型汽车每辆 的进价为 y 万元， 依题意，得解得 答： A 型汽车每辆的进价为25万元， B 型汽车每辆的进价为10万元. (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案. 【解】设购进 A 型汽车 m 辆，购进 B 型汽车 n 辆，依题 意，得25 m ＋10 n ＝200，所以 m ＝8－ n . 因为 m ， n 均为正整数， 所以或或所以共有3种购买方案， 方案一：购进 A 型车6辆， B 型车5辆； 方案二：购进 A 型车4辆， B 型车10辆； 方案三：购进 A 型车2辆， B 型车15辆. (3)若该汽车销售公司销售1辆 A 型汽车可获利8 000元，销售1辆 B 型汽车可获利5 000元，在(2)的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【解】方案一获得利润8 000×6＋5 000×5＝73 000(元)； 方案二获得利润8 000×4＋5 000×10＝82 000(元)； 方案三获得利润8 000×2＋5 000×15＝91 000(元). 因为73 000＜82 000＜91 000， 所以购进 A 型车2辆， B 型车15辆获利最大，最大利润是91 000元. 分层练习-拓展 5. 某物流公司计划用两种车型运输物资，用2辆 A 型车和1辆 B 型车装满物资一次可运10吨；用1辆 A 型车和2辆 B 型车装满物资一次可运11吨.某物流公司现有31吨物资，计划同时租用 A 型车 a 辆， B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满(两种型号的车均至少租用1辆). (1)1辆 A 型车和1辆 B 型车都装满物资一次可分别运多少吨？ 【解】设1辆 A 型车装满物资一次可运 x 吨，1辆 B 型车 装满物资一次可运 y 吨， 依题意，得解得 所以1辆 A 型车装满物资一次可运3吨，1辆 B 型车装满 物资一次可运4吨. (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来. 【解】依题意，得3 a ＋4 b ＝31，所以 a ＝ ， 又因为 a ， b 均为正整数， 所以或或 所以该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆 A 型车，1辆 B 型车； 方案2：租用5辆 A 型车，4辆 B 型车； 方案3：租用1辆 A 型车，7辆 B 型车. (3)若 A 型车每辆需租金每次100元， B 型车每辆需租金每次120元，请从(2)中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 【解】方案1所需租金为100×9＋120×1＝1 020(元)； 方案2所需租金为100×5＋120×4＝980(元)； 方案3所需租金为100×1＋120×7＝940(元). 因为1 020＞980＞940， 所以最省钱的租车方案为租用1辆 A 型车，7辆 B 型车，最少租车费为940元. 课堂小结 二元一次方程组的应用 配套问题 每套产品中各部分的比例 生产各部分的工人数之和＝工人总数 步骤 1. 审题；2. 设元； 3. 列方程组； 4. 解方程组； 5. 检验作答. $$