题型01 5类不等式解题技巧（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）-2025年高考数学答题技巧与模板构建

题型01 5类不等式解题技巧 （权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、 普通型糖水不等式与对数型糖水不等式） 技法01 权方和不等式的应用及解题技巧 技法02 柯西不等式的应用及解题技巧 技法03 基本不等式链的应用及解题技巧 技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 本节导航 技法01 权方和不等式的应用及解题技巧 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用. 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 （2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 1．求的最大值为 2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．设，，若，则的最小值为 . 3．已知正实数，满足，则的最小值为 . 4．已知正数，，满足，则的最小值为 5．已知，求的最小值为 技法02 柯西不等式的应用及解题技巧 若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用. 1.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 3.扩展： 已知x，y，z满足，则的最小值为 . 1．用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 2．已知、、，. 则的最小值是 . 1．函数的最小值为 ． 2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 3．设.则函数的最小值是     . 4．设非负实数、、满足．则的最小值为 ． 技法03 基本不等式链的应用及解题技巧 本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查. 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. （2022·全国·新高考Ⅱ卷高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州贵阳·一模）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北沧州·二模）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 1. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: （2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 1．（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 3． (用“”或“”填空) 1．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 2. 若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小 技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 （2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．比较大小: 与 的大小． 1．（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 4．已知，且满足，则的最小值为 . 5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 6．（多选）已知，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 8．已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 9．设,则的最大值为 ． 10．已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型01 5类不等式解题技巧 （权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、 普通型糖水不等式与对数型糖水不等式） 技法01 权方和不等式的应用及解题技巧 技法02 柯西不等式的应用及解题技巧 技法03 基本不等式链的应用及解题技巧 技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 本节导航 技法01 权方和不等式的应用及解题技巧 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用. 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 （2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 思路点拨：利用权方和不等式求解即可 思路详解：，所以实数a的取值范围是. 1．求的最大值为 思路详解： 当且仅当，即或时取等号，故答案为：. 2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 思路详解：由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2. 1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】 （当且仅当，时取等号）. 故选:C. 2．设，，若，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为，，满足， 所以，，且， 则 ， 当且仅当且，即时取得最小值. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 4．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 5．已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 技法02 柯西不等式的应用及解题技巧 若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用. 1.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 3.扩展： 已知x，y，z满足，则的最小值为 . 思路点拨：利用柯西不等式求解即可 思路详解： 因为, 即, 所以最小值为，当且仅当时取等号.故答案为：. 1．用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 思路详解：函数 当且仅当==时，即时等号成立，故该的最大值为4. 2．已知、、，. 则的最小值是 . 思路详解：由，即， 当，，，或，，时取等号,所以最小值是4. 1．函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】注意到，． 则． 2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可得，即求. 【详解】解：由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 3．设.则函数的最小值是     . 【答案】 【详解】由已知条件及柯西不等式有 ① 则. 式①中等号成立的条件为,即,,. 代入已知等式有,解得. 因此,当,,时, . 4．设非负实数、、满足．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】首先，． 则． 当且仅当时，． 技法03 基本不等式链的应用及解题技巧 本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查. 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. （2022·全国·新高考Ⅱ卷高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 思路点拨：基本不等式链求解即可 思路详解：由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 【答案】：BC． 1．（2024·贵州贵阳·一模）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 思路详解：A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 1．（2024·河北沧州·二模）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 1. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: （2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 思路点拨：利用糖水不等式求解即可 思路详解：【法一】 , 又 ，用排除法, 选 A 。 【法二】 ， 若, 但 , 综上所述，. 1．（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 思路详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 【答案】BCD 2．试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 思路详解：依题意. 3． (用“”或“”填空) 思路详解：因为，所以可得： 1．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 2. 若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小 【答案】 【解析】 ; 故 。 技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 （2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 思路点拨：利用对数型糖水不等式求解即可 思路详解：因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 1．比较大小: 与 的大小． 思路详解：【法一】 。 【法二】 【法三】对数型糖水不等式直接可得 1．（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论. 【详解】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取两个中间值和，由，，即可比较三者大小. 【详解】，，， 因此． 故选：C． 3．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 1．（2024·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小. 【详解】，，， 令，， ， 因为，所以， 令，，在上恒成立，在上单调递增， 故，所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，即， 故选：D. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较. 【详解】 所以. 故选：C. 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 4．已知，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可. 【详解】由权方和不等式，可知， ，当且仅当时取等号， 即当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 6．（多选）已知，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可直接得到A正确；由，，根据基本不等式知BC正误；将化为，结合，根据二次函数最值可确定D正确. 【详解】对于A，，，，（当且仅当时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即时取等号），B错误； 对于C，（当且仅当时取等号），C正确； 对于D，， ，，则当，即，时，， ，D正确. 故选：ACD. 7．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 8．已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 【答案】/1.6 【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系. 【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号. 证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号， 要证只须证， 因则= 当且仅当时，即时取等号. 不妨令,整理得， 则解得则 ， 当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为. 故答案为： 9．设,则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两边同时加上 得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 故填：. 考点：基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件. 10．已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值. 【详解】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$