1.4圆周角与圆心角之间的关系（分层提升练）（题型专练）数学鲁教版九年级下册

1.4圆周角与圆心角之间的关系（分层提升练） 一、单选题 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，点，，是上的三个点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，是的圆周角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，点、、都在上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（    ） A． B．3 C． D．2 10．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，平分，则弦长为 ． 14．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，内接于，圆的半径为6，，则弦的长度为 ． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 16．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为 ．（结果保留） 18．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，三点在上，．则 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 21．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦CD交于点E．连接．已知． (1)求的度数； (2)若点C为的中点，求的度数． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰，，过A、B两点的与两腰分别交于C、D两点．求证：．    24．（24-25九年级上·北京西城·期中）已知：如图，内接于，是的直径，．求的度数． 25．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点在上，是延长线上一点，连接若平分．求证：． 26．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，是的外接圆，，则的直径长等于（    ）． A．2 B．3 C． D．4 27．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥． 其中一定成立的是（） A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 30．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，是圆的直径，点，，在圆上，记为，为．若，则的度数和为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，若，垂足为，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 32．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 34．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 35．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，四边形的三个顶点在上，点D在的延长线上，若，则的度数为 ． 36．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则 ． 37．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 38．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，．延长，相交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 39．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图中，，为的直径，，分别交于，，连接，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 40．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 41．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的弦，延长到点C， 使，连接交于点 F．与有何数量关系？ 请说明理由． 42．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 43．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 44．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． (1)求证：是线段的中点． (2)若，求的半径． 45．（2025·云南昆明·一模）如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4圆周角与圆心角之间的关系（分层提升练） 一、单选题 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，点，，是上的三个点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求解即可． 【详解】解：∵点，，是上的三个点，， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，是的圆周角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 【详解】∵与都对，且， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，点、、都在上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：点、、都在上，且， ， 故选：C． 6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平角的定义，根据平角的定义得到，由圆周角定理得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合圆的性质解答即可． 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，由．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点， 得, 故的半径为2． 故选：D． 10．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，理解同弧和等弧所对的圆周角相等是解答关键． 根据等弧所对的圆周角相等得到即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 故选：A． 12．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆的内接四边形，连接，得出，，进而可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵同弧所对的圆周角相等， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，平分，则弦长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，由勾股定理得，，则，由平分，可得，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 14．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，内接于，圆的半径为6，，则弦的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作于，由垂径定理得，，由圆周角定理可得，则，然后可求，的长． 【详解】解：如图，连接，作于， ∴， ∴， 由垂径定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，求得，最后根据圆周角定理，求出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：， ， ， 弦所对的圆周角的度数是：； 弦所对的优弧的度数为：， 弦所对的圆周角的度数是：； 综上，弦所对的圆周角的度数是或， 故答案为：或． 16．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【详解】解： ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，    根据题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，三点在上，．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，先求出度数，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则∴，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，平行线的判定的综合运用，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，圆周角定理的推论，弧、弦、圆心角的关系，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据平行线的性质可得出，从而得出，即可证． 【详解】证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的三线合一性质得到，进而可得结论； （2）连接，根据圆周角定理求得，进而求得可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 22．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦CD交于点E．连接．已知． (1)求的度数； (2)若点C为的中点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质， 对于（1），根据圆周角定理求出，进而求出，再根据圆周角定理求出答案即可； 对于（2），先根据“弧，弦，圆心角”之间的关系得，即可求出，再根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰，，过A、B两点的与两腰分别交于C、D两点．求证：．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：连接，如图所示：    在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 24．（24-25九年级上·北京西城·期中）已知：如图，内接于，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，则由同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点在上，是延长线上一点，连接若平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等角对等边，圆内接四边形的性质，角平分线定义，熟练掌握等角对等边，圆内接四边形的性质是解题的关键，由角平分线得，进而结合圆内接四边形的性质得，从而即可得证． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，是的外接圆，，则的直径长等于（    ）． A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确的作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接并延长交于D，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选D． 27．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，根据垂直定义可得，从而可得，再利用对顶角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用圆周角定理可得，从而可得，进行计算即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 28．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，尺规作角平分线等知识点，根据直角所对的圆周角是得出的度数，再由得出的度数，最后根据所画射线为的角平分线即可解决问题，熟练掌握圆周角定理的推论，尺规作角平分线是解决此题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 根据作图步骤可知，平分， ∴， ∴， 故选：C． 29．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥． 其中一定成立的是（） A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．①由直径所对圆周角是直角，②根据三角形外角的性质和圆周角定理可作判断，③由平行线得到，再由同圆的半径相等得到结论判断出；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到和中对应相等的边，所以不一定全等． 【详解】解：①是的直径， ， ， 故①正确； ②，， 当时，， 故②不正确； ③， ， ， ， ， 平分， 故③正确； ④是的直径， ， ， ， ， 点为圆心， ， 故④正确； ⑤由④有，， 点为中点， 是的中位线， ， 故⑤正确； ⑥ 和中，没有相等的边， 与不全等， 故⑥不正确； 综上可知：其中一定成立的有①③④⑤， 故选：D． 30．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，是圆的直径，点，，在圆上，记为，为．若，则的度数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直径所对圆周角定理．根据圆周角定理求得，和，据此计算即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 31．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，若，垂足为，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 32．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：， ， 是直径， ， ． 故选：A． 33．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 34．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平行线的性质和已知条件可得，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：弦，且， ， 所对的圆周角是，圆心角是， ， ， ， 故答案为：． 35．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，四边形的三个顶点在上，点D在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】82 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作所对的圆周角，如图，先利用邻补角计算出，再利用圆内接四边形的性质计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：所对的圆周角，如图， ， ， ， ， ． 故答案为：82． 36．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，由，可求，则，由题意知，分当在上方时，当在下方时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵与的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当在上方时，如图， ∴， 当在下方时，如图， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 37．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 【答案】 【分析】如图1，连接，由是的角平分线，可得，由，可得，则，，，由勾股定理得，；如图1，过点A作于点F，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图1，连接． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，； 如图1，过点A作于点F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 38．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，．延长，相交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】（1）根据垂径定理的推理可知，由直径对直角可知，进而可证明； （2）连结，则，利用等腰三角形的性质可证，由平行线的性质可得，进而可证，设的半径r，由勾股定理可知，进而可得方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：延长交于F， 为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ； （2）解：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径r，则， ， ， ， 整理得， 解得（舍去）， 的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 39．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图中，，为的直径，，分别交于，，连接，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，是解题的关键： （1）连接，易得，三线合一，得到，进而得到，等角对等边即可得证； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 40．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得，由同弧所对圆周角相等得，利用内错角相等两直线平行即可判定； （2）连接，根据垂径定理可得和，利用勾股定理可求得，即可求得的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径，， 为的中点， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 41．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的弦，延长到点C， 使，连接交于点 F．与有何数量关系？ 请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查圆周角定理，中垂线的判定和性质，连接，易得，根据，得到垂直平分，进而得到，即可． 【详解】解：，理由如下： 连接， ∵是的直径，是的弦， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴． 42．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”． （1）连接，根据点M半圆的中点，易得，再计算得出即可求解； （2）由（1）可知，利用直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∴， ∵点M半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴故答案为：． 43．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明E是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 44．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． (1)求证：是线段的中点． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）证明，则，进而结论得证； （2）如图，连接．设，则．．由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ∵， ∴， ． ∵， ， ， 是线段的中点． （2）解：如图，连接． 设，则． 由（1），知， ． ， ，即， 解得（负值已舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 45．（2025·云南昆明·一模）如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； （2）由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． ( 39 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$