5.6直线和圆的位置关系（2）（分层提分练）（题型专练）数学鲁教版五四制九年级下册

5.6直线和圆的位置关系（2）（分层提分练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．圆内接四边形对角互补 2．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在半径为的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与，相切，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（    ） A． B．8 C．4 D．2 7．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的 上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 ． 12．（24-25九年级上·北京·期中）如图，分别切于点是上一点，是上一点．若，则的度数是 ． 13．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ． 14．（2023·广东广州·一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 三、解答题 16．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，是的直径，点是线段的中点，． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 17．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 18．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 19．（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 20．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 21．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 23．（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 24．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 25．（19-20九年级上·河北沧州·期末）如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 26．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是 ． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 28．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 29．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是 ． 30．（20-21九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_____度时与⊙O相切． 31．（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，是的内接三角形，边上的中线经过点O，过点D作交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 32．（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 33．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，已知经过上的点，连接分别交于点D，E，并且，延长交于点F，连接并延长交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 35．（2024·山西朔州·模拟预测）在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6直线和圆的位置关系（2）（分层提分练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．圆内接四边形对角互补 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，圆的相关概念，根据有关概念性质和性质进行判定即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，不符合题意； B、不在同一直线上得三点确定一个圆，故错误，不符合题意； C、经过半径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线，故错误，不符合题意； D、圆内接四边形对角互补，是圆内接四边形的性质，故正确，符合题意； 故选：D． 2．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆切线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的定义以及性质，由切线的定义得出，由直角三角形两锐角互余得出，由三角形外角的定义以及等边对等角即可得出答案． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可． 【详解】 、分别切于、， ，， ， 、分别切于、，切于， ，， ， 故选：C． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在半径为的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与，相切，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式、切线性质；画出折叠后所在的，连接，，根据题意可得，且，得到四边形是正方形，即，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：画出折叠后所在的，连接，， ∵恰好与、相切 ∴ ∵, ∴四边形是正方形 ∴ ∴劣弧的长为． 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（    ） A． B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键． 如图：连接，由切线的性质可得，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵切于点A， ∴， ∵的半径为3，， ∴， ∴． 故选C． 7．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：是的直径， 是的半径， 又是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形外角的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．首先连接，可得，根据切线的性质可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 是的切线， ， ， 故选：A． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的 上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，令即，所以当直线于相切时，最大，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 为直径的， ∴ ∴垂直， 点关于点的对称点为点， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 令 则 要求值最大， 越往上越大， 当直线与相切时，最大， 设直线与轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， 为等腰直角三角形， 即 的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数，勾股定理；根据题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短． 【详解】连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 又 ，， ， ， 的最小值 ． 故选B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质定理是解题的关键．连接，由切线的性质可得，再根据圆周角定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ，即， 又， ． 故答案为：42． 12．（24-25九年级上·北京·期中）如图，分别切于点是上一点，是上一点．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查切线性质、圆内切四边形对角互补、圆周角定理，连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理，圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 故答案为：°． 13．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ． 【答案】// 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 14．（2023·广东广州·一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， ，，， ， ， 与相切于点C， ， ， 是的直径， 与相切；故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵四边形是菱形， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 三、解答题 16．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，是的直径，点是线段的中点，． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用等腰三角形的“三线合一”性质得，，则，然后由判定方法即可求证； （）利用等腰三角形的“三线合一”性质得，又是的直径，从而求证； 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，， ∴，， ∴， 在和， ， ∴； （2）证明：∵点是线段的中点，， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． 17．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 18．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线是的切线；理由见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线是否是的切线是本题的关键． （1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论； （2）由勾股定理可求即可得到答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为3． 19．（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 20．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 21．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质得，由角平分线定义得，等量代换得，根据平行线得判定定理得到，由平行线得性质得出答案； 对于（2），设，则，即可得的值，再根据勾股定理求出的值，证明，可得答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等，连接圆心和圆上一点的线段是证明切线的常用方法． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为r，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出r即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点C， ∴于点E， ∵是的半径， ∴为的切线 （2）解：设半径为r， 在中，， ∴（， 解得： 即⊙O的半径为2.5． 23．（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：甲正确， 理由：如图1中，连接， 根据题意可得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 乙正确， 理由：为直径， ， ， 是的切线， 故选：A． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 【答案】D 【详解】本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接，，根据选项条件证明即可解题． 解：∵为的切线， ∴， 连接，， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分， ∴， 即， ∴， ∴为的切线，故B正确，不符合题意； ∵点A，B都在以为直径的圆上， ∴， 又∵， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴， 再根据，，不能判断，故D错误，符合题意； 故选：D 25．（19-20九年级上·河北沧州·期末）如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的判定及性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定及性质等；由圆的基本性质得，即可判断①；连接，由线段中位线定理得，由平行线的性质得，即可判断④；由等腰三角形的性质得，由圆的基本性质得，由余角的性质，即可判断②；由线段垂直平分线的判定及性质得，即可判断③；掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：是⊙O直径， ， ， 故①正确； 连接，如图， 为中点，O为中点， 为的中位线， ， ， ， ， 为的切线， 故④正确； ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 故②正确； D为中点，且， 垂直平分， ， ， ， 故③正确； 则正确的结论为①②③④． 故选：D． 26．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，作于，连接，如图，先确定，则垂直平分，则可判断点在上，再根据可判定与圆相切；接着利用可判断圆心不是与的交点；然后根据四边形为的内接矩形可判断与的交点是圆的圆心． 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 27．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是 ． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 【答案】甲乙 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案． 【详解】解：如图2，连接，， 为直径， ， ，为的半径， 、是所求作经过点的切线． 可作为以上作图依据的是甲乙． 故答案为：甲乙． 28．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 29．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可． 【详解】解：若添加BD=CD，理由如下： 如图，连接OD， ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线； 若添加AB=AC，理由如下： 如图，连接AD， ∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∴点D是BC的中点， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键． 30．（20-21九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_____度时与⊙O相切． 【答案】60或120/120或60 【分析】由于半径是，因此只需要过O作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射线与BC的夹角是30度，则O与垂足的连线就是BO长的一半，即为圆的切线，由此即可得到答案． 【详解】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D， ∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°， ∴，即OD为圆O的半径， ∴BE与圆O相切， 同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线， 故答案为：60或120． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件． 31．（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，是的内接三角形，边上的中线经过点O，过点D作交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线证明、相似三角形的判定于性质、勾股定理等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，可得，结合即可求证； （2）由题意可证得，设，则．根据即可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接，   ∵，点C为的中点， ∴，即．     ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即．     设，则． 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去）． 则． 即的半径为． 32．（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理，角平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由圆周角定理得，证明，结合，得出，即可作答． （2）先由圆周角定理得，运用勾股定理，结合等面积法列式计算，因为角平分线的判定与性质，得，即可作答． 【详解】（1）解：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是半圆O的切线 （2）解：∵ ∴ ∵以半圆O的直径为边作 ∴ 过点F作 ∵ ∴ ∴ 由（1）得 ∵ ∴ 故答案为：4 33．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，已知经过上的点，连接分别交于点D，E，并且，延长交于点F，连接并延长交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，根据等腰三角形的“三线合一”证明，即可证明是的切线； （2）设半径为R，在中，由勾股定理得，得，证明，根据相似三角形的性质算出，再根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． 又∵为半径， 是的切线． （2）解：设半径为R， 在中，， ∴， 即， 解得：， ． 又， ， 又， ． ． ，． ． ． 解得． ． ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后得到，即可证明； （2）连接，根据角平分线的概念和等边对等角得到，得到，即可证明出为的切线； （3）首先根据题意证明出，得到，然后代数表示出，然后在中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵为的直径， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，连接 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点P是上的点 ∴为的切线； （3）∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线以及掌握以上知识点． 35．（2024·山西朔州·模拟预测）在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得，进而可以解决问题； （2）勾股定理求出，然后证明，对应边成比例即可解决问题． 本题考查了切线的判定与性质，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． ( 42 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$