第01讲 实数及其运算（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点14种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考点三 科学记数法 考点四 平方根、立方根 考点五 比较实数的大小 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的概念 ►题型01 正数与负数 ►题型02 实数的分类 ►题型03 科学记数法 ►题型04 近似数 ►题型05 无理数的估算 ►题型06 实数的大小比较 ►题型07 绝对值化简 ►题型08 实数与数轴 ►题型09 平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 ►题型02 实数的简单运算 ►题型03 实数的混合运算 ►题型04 与实数有关的新定义问题 ►题型05 与实数运算规律性问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 ⭐⭐ 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 ⭐⭐⭐ 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 ⭐⭐⭐⭐⭐ 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 ⭐⭐⭐ 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 ⭐⭐⭐ 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 实数的分类 1．（1）按照定义分类 （2）按照正负分类 注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如，等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如sin60°等. 1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 3．（2020·浙江绍兴·中考真题）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D． 4．（2021·山东聊城·中考真题）下列各数中，是负数的是（    ） A．|﹣2| B． C．（-1）0 D．﹣32 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 2．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 3．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 5．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 5．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（      ） A．0 B． C． D． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江湖州·中考真题）实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 9．（2017·浙江嘉兴·中考真题）的绝对值为（ ） A． B． C． D． 10．（2020·四川乐山·中考真题）的倒数是（　　） A．2 B． C． D． 11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算： ． 考点三 科学记数法与近似数 6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 12．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·浙江湖州·中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·浙江杭州·中考真题）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（    ）    A． B． C． D． 15．（2023·浙江绍兴·中考真题）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·浙江温州·中考真题）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点四 平方根、立方根 8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 18．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（　　） A． B． C． D． 19．（2019·浙江台州·中考真题）若一个数的平方等于5，则这个数等于 ． 20．（2016·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 21．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 考点五 比较实数的大小 10. 数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等. 22．（2023·浙江宁波·中考真题）在这四个数中，最小的数是(   ) A． B． C．0 D． 23．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 24．（2021·浙江绍兴·中考真题）实数，，，中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 25．（2019·浙江宁波·中考真题）请写出一个小于4的无理数： . 26．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 考点六 实数的运算 11．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 27．（24-25九年级上·重庆·期中）我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则 ，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为 28．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 29．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 30．（2022·浙江台州·中考真题）计算：． 31．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 32．（2023·浙江台州·中考真题）计算：． 33．（2022·浙江金华·中考真题）计算：． 命题点一 实数的概念 ►题型01 正数与负数 1．（2024·贵州贵阳·一模）如果收入500元记作元，那么元表示（    ） A．收入300元 B．支出300元 C．收入200元 D．支出200元 2．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．20元 3．（2024九年级下·山西·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上，记作，夜间平均温度是零下，应记作（      ） A． B． C． D． 4．（2019·湖南湘西·一模）某天傍晚，北京的气温由中午的零上下降了，这天傍晚北京的气温是（    ） A．零上 B．零上 C．零下 D．零下 ►题型02 实数的分类 5．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）下列数是有理数的是（    ） A．π B． C． D． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 7．（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是分数 B．是有理数 C．是有理数 D．的平方根是 8．（2024·安徽合肥·一模）下列各数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内： ，，0，，，，， 正有理数集合{           …}   负有理数集合{           …} 整数集合{            …}      非负整数集合{           …} 常见的无理数类型为下面三类 （1） 含根号且开方开不尽的数，例如根号2、根号3、根号5等等； （2） 含有圆周率π的式子，例如2π、8π等等； （3） 无限不循环的小数，例如0.01001000100001000001……、0.12345678910……等等 ►题型03 科学记数法 10．（24-25九年级上·云南保山·期中）二氧化硅是制造玻璃、光导纤维、光学仪器等的原料，其化学式为，已知中约含有个原子，的值可能是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·河北秦皇岛·一模）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．则“”一数中“0”的个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 12．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为米，这一直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．（2024·湖南·模拟预测）2023年9月9日，上海微电子研发的28浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为．将数据用科学记数法表示为 ． 用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． ►题型04 近似数 15．（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（    ） A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿 C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位 17．（2024·山东青岛·一模）计算（保留小数点后4位）： ； ； 18．（2024·广西·二模）若，，则 （保留两个有效数字）． ►题型05 无理数的估算 19．（2024·重庆南岸·模拟预测）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 20．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正方形的面积为75，则该正方形的边长介于（    ） A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间 21．（2024·浙江·三模）无理数的大小在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 22．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 23．（2023·浙江绍兴·一模）已知关于的不等式，有 个正整数解． 无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围. ►题型06 实数的大小比较 24．（2024·浙江台州·模拟预测）以下四个数中，最大的是（    ） A．2 B．4 C． D． 25．（2024·浙江·模拟预测）下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D．3.14 26．（2024·浙江绍兴·二模）在，0，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 27．（2023·浙江嘉兴·一模）在1，0，这四个数中，最小的数是 ． 28．（2024·广东·模拟预测）比较大小： .（填“”“”或“”） 29．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有： （1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b． （2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． （3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b． （4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0). （5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 ►题型07 绝对值的化简 30．（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 31．（21-22七年级上·湖南湘西·期末）如图所示，则（   ） A． B． C． D． 32．（2020·浙江·模拟预测）已知a，b，c为非零有理数，则的结果可能值的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知有理数a，b，c，其大小关系为：，化简代数式等于 ． 34．（2020·浙江杭州·模拟预测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． ►题型08 实数与数轴 35．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段上的是（    ） A． B． C． D．3 36．（2024·浙江杭州·二模）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（   ） A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间 C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧 37．（2024·浙江·一模）如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是 ． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 40．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，数轴上点A和点B所对应的数分别是1和，点B关于点A的对称点是点C，设点C所对应的数为m． (1)求实数m的值； (2)求的值． 1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题； 2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）. ►题型09 平方根、立方根 41．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A． B．2 C． D． 43．（2024·江苏常州·模拟预测）的平方根为（　　） A．4 B． C． D． 44．（2022·浙江温州·模拟预测）若实数a、b满足，则的正平方根是 ． 45．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ． 46．（2024·湖南长沙·模拟预测）8的算术平方根和立方根的积是 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 47．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 48．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则是（   ） A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形 C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 49．（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ． 50．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 51．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）已知实数、满足，则代数式的值为 ． 52．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，则 ． 直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案． ►题型02 实数的简单运算 53．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 54．（19-20七年级上·山东·课后作业）下列运算中，结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 55．（2024·贵州贵阳·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 56．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． ►题型03 实数的混合运算 57．（2024·广西柳州·三模）计算：． 58．（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算： 59．（2024·浙江金华·模拟预测）计算：． 60．（2024·浙江宁波·模拟预测）玲玲准备完成题目：计算：，发现被开方数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成8，请你计算：． (2)若该题标准答案的结果是有理数，请通过计算说明原题中的“□”是几． 61．（2024·浙江·模拟预测）如图是小明一道题的计算过程： (1)请用下划线划出小明计算出错的地方． (2)请写出正确的计算过程． 实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1. ►题型04 与实数有关的新定义问题 62．（2023·浙江宁波·模拟预测）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 63．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 64．（2023·浙江·一模）有一列数，记为，，…，，记其前n项和为，定义为这列数的“亚运和”，现有99个数，，…，，其“亚运和”为1000，则1，，，…，这100个数的“亚运和”为（    ） A．791 B．891 C．991 D．1001 65．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 66．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． ►题型05 实数运算规律性问题 67．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 68．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 69．（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 70．（18-19八年级下·浙江金华·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简：； （2）计算：． 基础巩固 1．2024的相反数是（   ） A． B．2024 C． D． 2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．下列有理数：，，0，，，其中负有理数一共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，数轴上点A、B、C分別表示数a、b、c，则下列结论不成立的是（    ）． A． B． C． D． 5．如果，且，则代数式的值为（   ） A．5或 B．5或3 C．或 D．5或 6．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年大约可以节省3250万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年．“3250万”这个数据用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 8．某人一天饮水1.890升，用四舍五入法将“1.890”精确到0.1得到的近似数为（   ） A．2 B．1.9 C．1.8 D．1.90 9．下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．的算术平方根是 ． 11．珠穆朗玛峰的最新测量高度为米，请你用四舍五入法对取近似数，结果为 ．（精确到个位） 12．立方根是 ，的平方根是 ． 13．的整数部分为 ． 14．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点 P表示的实数为 ． 15．对于实数，，我们用符号表示两数中较大的数，如．若，则 ． 16．世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下单位：米：，，，，，，，假定开始计时时，守门员正好在球门线上 (1)守门员最后是否回到了球门线上? (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米? (3)若守门员离开球门线的距离超过10米不包括10米，则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会? 17．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式： ， ； (3)算一算： 18．计算：． 19．计算： 20．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，， 如． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如． (1)______，______； (2)a是有理数，______； (3)求的值． 能力提升 21．方程的解的个数是（    ） A．1个 B．2020个 C．2021个 D．无穷多个 22．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 23．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以为边作正方形，若点A表示的数为1，正方形面积为7，则B，E两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 25．若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（　　） A． B． C． D．12 26．已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为 ． 27．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ． 28．观察下列算式：、、、、、、、…，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 29．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为例如：，两点表示的数如图1所示，则| （1），两点表示的数如图2所示． ①，两点的绝对距离等于 ； ②若为数轴上一点（不与点重合），且|则点C表示的数是 ； （2），为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ． 30．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； (1)写出第6个等式 ； (2)猜想第个等式 ；（用含的代数式表示） (3)计算：． 31．若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”，为的“进步起点”．例如，，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”． (1)判断2024是不是“进步数”，若是，请求出它的“进步起点”；若不是，请说明理由； (2)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 32．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 33．如图在数轴上点A，表示的数分别为，，且满足． (1)点A表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？ $$第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点14种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考点三 科学记数法 考点四 平方根、立方根 考点五 比较实数的大小 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的概念 ►题型01 正数与负数 ►题型02 实数的分类 ►题型03 科学记数法 ►题型04 近似数 ►题型05 无理数的估算 ►题型06 实数的大小比较 ►题型07 绝对值化简 ►题型08 实数与数轴 ►题型09 平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 ►题型02 实数的简单运算 ►题型03 实数的混合运算 ►题型04 与实数有关的新定义问题 ►题型05 与实数运算规律性问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 ⭐⭐ 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 ⭐⭐⭐ 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 ⭐⭐⭐⭐⭐ 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 ⭐⭐⭐ 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 ⭐⭐⭐ 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 实数的分类 1．（1）按照定义分类 （2）按照正负分类 注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如，等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如sin60°等. 1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 2．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可； 【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数， 故选： C． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π． 3．（2020·浙江绍兴·中考真题）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D． 【答案】C 【分析】根据负数定义可得答案． 【详解】解：实数2，0，-2，中，为负数的是-2， 故选：C． 【点睛】本题考查正数与负数，解题的关键是熟悉其概念，本题属于基础题型． 4．（2021·山东聊城·中考真题）下列各数中，是负数的是（    ） A．|﹣2| B． C．（-1）0 D．﹣32 【答案】D 【分析】先求出各个运算结果，继而即可判断正负性． 【详解】解：A. |﹣2|=2，是正数，不符合题意， B. （﹣）2=5，是正数，不符合题意， C. （﹣1）0=1是正数，不符合题意， D. ﹣32=-9是负数，符合题意， 故选D． 【点睛】本本题主要考查正负数的概念，掌握乘方运算，零指数幂运算以及绝对值的意义，是解题的关键． 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 2．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 3．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 5．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 5．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（      ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 根据实数和在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 7．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 8．（2022·浙江湖州·中考真题）实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 9．（2017·浙江嘉兴·中考真题）的绝对值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题解析：-2的绝对值是2， 即|-2|=2． 故选A． 考点：绝对值. 10．（2020·四川乐山·中考真题）的倒数是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是2， 故选：A． 11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算： ． 【答案】2023 【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解． 【详解】解：的相反数是2023， 故， 故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 考点三 科学记数法与近似数 6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 12．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】201370000用科学记数法表示为． 故选：D． 13．（2023·浙江湖州·中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示502000为． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 14．（2023·浙江杭州·中考真题）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 15．（2023·浙江绍兴·中考真题）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 16．（2023·浙江温州·中考真题）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据218000000用科学记数法表示为； 故选B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 考点四 平方根、立方根 8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 【答案】C 【分析】根据立方根的定义进行解答． 【详解】∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义． 18．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 19．（2019·浙江台州·中考真题）若一个数的平方等于5，则这个数等于 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义即可求解. 【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质. 20．（2016·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键． 21．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 考点五 比较实数的大小 10. 数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等. 22．（2023·浙江宁波·中考真题）在这四个数中，最小的数是(   ) A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是； 故选A． 【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键． 23．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 24．（2021·浙江绍兴·中考真题）实数，，，中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴所给的实数中，最小的数是-3； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 25．（2019·浙江宁波·中考真题）请写出一个小于4的无理数： . 【答案】答案不唯一如，等 【分析】开放性的命题，答案不唯一，写出一个小于4的无理数即可. 【详解】开放性的命题，答案不唯一，如等． 故答案为不唯一，如等． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根． 26．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 考点六 实数的运算 11．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 27．（24-25九年级上·重庆·期中）我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则 ，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 4 90 【分析】本题属于实数的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键． （1）根据定义，能被13整除即可，确定的范围，列举即可； （2）根据定义得到，确定，再分类讨论，一一列举即可． 【详解】解：①， 由题意得， ∴， ∴ ∵为整数， ∴能被13整除， ∴使得能被13整除，则需要能被13整除， ∵， ∴， ∴ ∴可取 ∴可取， 显然不是8的整数倍，故舍， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴可求， 即， ∴可取， 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 则，不符合题意，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，不满足，舍， ∴或， ∵， ∴时，则，则， 时，则，则， ∴， 故答案为：4，90． 28．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法法则计算可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键． 29．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 30．（2022·浙江台州·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】先化简各数，然后再进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、有理数的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则． 31．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解： ； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 32．（2023·浙江台州·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质、算术平方根，乘方的相关运算． 33．（2022·浙江金华·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 命题点一 实数的概念 ►题型01 正数与负数 1．（2024·贵州贵阳·一模）如果收入500元记作元，那么元表示（    ） A．收入300元 B．支出300元 C．收入200元 D．支出200元 【答案】B 【分析】本题主要考查正数和负数，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数． 【详解】解：“正”和“负”相对， 所以，如果收入500元记作元，那么元表示支出300元． 故选：B． 2．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．20元 【答案】B 【分析】此题考查了正数与负数．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：如果“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作“元”． 故选：B． 3．（2024九年级下·山西·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上，记作，夜间平均温度是零下，应记作（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用正负数表示相反意义的量．据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负，即可求解． 【详解】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作， 故选：B． 4．（2019·湖南湘西·一模）某天傍晚，北京的气温由中午的零上下降了，这天傍晚北京的气温是（    ） A．零上 B．零上 C．零下 D．零下 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数运算的实际应用，正负数的实际应用，其解答关键是依据题意正确地列出算式．傍晚北京的气温由中午的零上下降了，这天傍晚北京的气温是，据此列出算式计算即可． 【详解】解：． ∴这天傍晚北京的气温是零下， 故选：C． ►题型02 实数的分类 5．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）下列数是有理数的是（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，根据题意，有理数是有限循环小数，由此即可求解． 【详解】解：A、是无限不循环小数，不是有理数，不符合题意； B、是开不尽方的数，不是有理数，不符合题意； C、是开不尽方的数，不是有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，符合题意； 故选：D ． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，平方根，立方根的性质，根据绝对值的性质，平方根的性质，立方根的性质“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”，由此即可求解． 【详解】解：A、，是正数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、是正无理数，不是负数，不符合题意； D、是负数，符合题意； 故选：D ． 7．（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是分数 B．是有理数 C．是有理数 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根，实数的相关概念的辨析，理解并掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：A、是无理数，选项说法错误，符合题意； B、是有理数，选项说法正确，不符合题意； C、是有理数，选项说法正确，不符合题意； D、的平方根是，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 8．（2024·安徽合肥·一模）下列各数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数和无理数的判断，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的分类，有理数包括整数，分数（有限小数）和无限循环小数，无理数有开方开不尽的数，和无限不循环小数． 【详解】解：A、属于无理数，故本选项不符合题意； B、属于无理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项不符合题意； D、属于有理数，故本选项符合题意． 故选：D． 9．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内： ，，0，，，，， 正有理数集合{           …}   负有理数集合{           …} 整数集合{            …}      非负整数集合{           …} 【答案】，；，，，；，0，；0， 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数的分类，根据大于0的有理数是正有理数；小于0的有理数是负有理数；有理数还可以分为整数和分数，非负整数是指和正整数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， 正有理数集合{，…}； 负有理数集合{，，，…}； 整数集合{，，…}； 非负整数集合{，…}． 常见的无理数类型为下面三类 （1） 含根号且开方开不尽的数，例如根号2、根号3、根号5等等； （2） 含有圆周率π的式子，例如2π、8π等等； （3） 无限不循环的小数，例如0.01001000100001000001……、0.12345678910……等等 ►题型03 科学记数法 10．（24-25九年级上·云南保山·期中）二氧化硅是制造玻璃、光导纤维、光学仪器等的原料，其化学式为，已知中约含有个原子，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：依题意， 中约含有个原子，的值可能是 故选：A． 11．（2024·河北秦皇岛·一模）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．则“”一数中“0”的个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法变回原数，将科学记数法的数据变为原数即可得出结果． 【详解】解：， 此数中“0”的个数为10， 故选：A． 12．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为米，这一直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：（米）， 故选：． 13．（2024·湖南·模拟预测）2023年9月9日，上海微电子研发的28浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：0.000000028． 故选：C． 14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故答案为： 用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． ►题型04 近似数 15．（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数及科学记数法，根据一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确到的数位为止所有数字都是有效数字，根据精确度找出最后一位上的有效数字所在的数位，再写成科学记数法形式即可得到答案； 【详解】解：； 故答案为：C． 16．（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（    ） A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿 C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法和精确度，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】A. 5.02亿用科学记数法表示为，原说法错误； B. 5.02亿，原说法错误； C. 5.02亿是一个九位数，说法正确； D. 5.02亿精确到百万位，原说法错误； 故选C． 17．（2024·山东青岛·一模）计算（保留小数点后4位）： ； ； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，四舍五入法的运用，利用计算器进行近似计算，保留小数点后四位即可． 【详解】解：，，， 故答案为：；；． 18．（2024·广西·二模）若，，则 （保留两个有效数字）． 【答案】2.4 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，掌握知识点是解题关键．利用，直接计算，再根据题意保留两个有效数字即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：2.4． ►题型05 无理数的估算 19．（2024·重庆南岸·模拟预测）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，二次根式的运算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间． 先计算得到，再估算的范围，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：A． 20．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正方形的面积为75，则该正方形的边长介于（    ） A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：由题意得，该正方形的边长为， ∵， ， ∴该正方形的边长介于8和9之间， 故选：B． 21．（2024·浙江·三模）无理数的大小在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，根据算术平方根的概念正确进行计算从而进行估算即可． 【详解】解：， ， 即， 故选：C． 22．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（2023·浙江绍兴·一模）已知关于的不等式，有 个正整数解． 【答案】3 【分析】先求出不等式的解集，再利用算术平方根的性质对解集进行估算，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 的正整数解有3个，分别为：1，2，3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围. ►题型06 实数的大小比较 24．（2024·浙江台州·模拟预测）以下四个数中，最大的是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小的比较，无理数的估算等知识；按照正数大于零，零大于一切负数进行即可． 【详解】解：由于，则； 而， 则， 故4最大； 故选：B． 25．（2024·浙江·模拟预测）下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D．3.14 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小，先计算特殊角三角函数值，再比较大小即可． 【详解】解： ， ， ， 最大的是， 故选A． 26．（2024·浙江绍兴·二模）在，0，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的比较大小，算术平方根．先比较与的大小，进而可得出结论． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：D． 27．（2023·浙江嘉兴·一模）在1，0，这四个数中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】根据实数大小比较原则计算即可． 【详解】∵， ∴最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 28．（2024·广东·模拟预测）比较大小： .（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．先比较与的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题即可． 【详解】解：， ∵， 故答案为：． 29．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则， 故答案为：． 比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有： （1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b． （2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． （3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b． （4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0). （5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 ►题型07 绝对值的化简 30．（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】A 【分析】 由题意可作二次函数图象，当时，，由图象可得，进而可化简绝对值． 【详解】解：由题意可作如图：    当时，， 由图可知：， 则， 则的值是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、化简绝对值，根据题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 31．（21-22七年级上·湖南湘西·期末）如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断a-b的正负，然后根据绝对值的意义化简． 【详解】解：∵a<b， ∴a-b<0， ∴-(a-b)=b-a， 故选D． 【点睛】本题考查了利用数轴比较式子的正负，以及绝对值的化简，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 32．（2020·浙江·模拟预测）已知a，b，c为非零有理数，则的结果可能值的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由绝对值的性质可知，，这三个式子的值是，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a，b，c为非零有理数， ∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数， ∴， 同理，， ∴， ， ， ， 一共有4种结果． 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质． 33．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知有理数a，b，c，其大小关系为：，化简代数式等于 ． 【答案】 【分析】根据得到a-b和c-a的符号，再化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴a-b＜0，c-a＞0， ∴===， 故答案为：． 【点睛】此题考查了整式的加减，有理数的大小比较，化简绝对值，熟练掌握去绝对值的方法是解本题的关键． 34．（2020·浙江杭州·模拟预测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】b 【分析】由数轴可知：c＜0＜b＜a，从而得出c－a＜0，a－b＞0，然后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：c＜0＜b＜a ∴c－a＜0，a－b＞0， ∴ = = = 故答案为：b． 【点睛】此题考查的是利用数轴判断式子的符号和化简绝对值，掌握利用数轴判断式子的符号和绝对值的性质是解题关键． ►题型08 实数与数轴 35．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段上的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了实数的比较大小，数轴上点表示的数，理解比较方法：“正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．” 是解题的关键． 【详解】解：设线段上的点表示的数为， ， ， 故选：B． 36．（2024·浙江杭州·二模）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（   ） A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间 C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的特征，解不等式，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键．数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则有，进而可判断原点的位置． 【详解】解：∵数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b， ，a， ∴，即， ∴， ∴原点在B点的左侧． 故选：A． 37．（2024·浙江·一模）如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据点的位置列出不等式组，再解这个不等式组即可． 【详解】∵位于数字1和2之间的点表示的数为， ∴， 解得： 故选：B． 38．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由列式即可求出点C所表示的数． 【详解】解：设点C所表示的数为， ∵点A、B所表示的数分别是1、，且由图知B在A的右侧， ， ∵点A、C所表示的数分别是1、，且由图知C在A的左侧， ， ， ，解得， 点C所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的思想是解决问题的关键． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，数轴上点A和点B所对应的数分别是1和，点B关于点A的对称点是点C，设点C所对应的数为m． (1)求实数m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，利用轴对称的性质可得，由于点A所对应的数已知，因而可求出点C所对应的数，即实数m的值； （2）将代入，按照二次根式的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：数轴上点A和点B所对应的数分别是1和， ， 点C与点B关于点A对称， ， 点C表示的数为：， 即：； （2）解：， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，轴对称的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握实数与数轴并运用数形结合思想是解题的关键． 1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题； 2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）. ►题型09 平方根、立方根 41．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【解析】略 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出x，y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵x，y满足， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 43．（2024·江苏常州·模拟预测）的平方根为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．根据题意得到，求出的平方根即可． 【详解】解： ， 故的平方根为， 故选：D． 44．（2022·浙江温州·模拟预测）若实数a、b满足，则的正平方根是 ． 【答案】2 【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用正平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵， ∴a+2=0，b-6=0， 解得：a=-2，b=6， 则a+b=4， 故a+b的正平方根是：2． 故答案为2． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及正平方根，正确得出a，b的值是解题关键． 45．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根及平方根的知识．解题的关键是掌握立方根及平方根的定义，属于基础题． 根据平方根及立方根的定义，进行解答即可． 【详解】解：的平方根是， ，的立方根为． 故答案为：、． 46．（2024·湖南长沙·模拟预测）8的算术平方根和立方根的积是 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，求出算术平方根和立方根，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴8的算术平方根和立方根的积是， 故答案为： 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 47．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和一元一次方程的解．同时考查了非负数的性质．先根据非负数的性质求出与的值，再分类讨论：当，方程变形为，此一元一次方程有解；当，，方程有两个实数解，得到且，然后综合两种情况即可得到实数的取值范围． 【详解】解： ， ，， ，， 方程即为方程． 当，方程变形为，此一元一次方程的解为； 当，， 解得， 即且时，方程有两个实数根， 综上所述实数的取值范围为． 故选：B． 48．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则是（   ） A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形 C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为0的条件、勾股定理的逆定理等知识，由可得a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为0的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解∶∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是以c为斜边长的直角三角形， 故选∶A． 49．（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方和绝对值的非负性求出、的值，然后代值计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 50．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，二元一次方程组的应用，根据非负式子和为0可得，再进一步求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 51．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）已知实数、满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据非负数的性质确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 52．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，则 ． 【答案】26 【分析】根据，得到，代入求值计算即可，本题考查了实数的非负性，零指数幂，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：26． 直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案． ►题型02 实数的简单运算 53．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数的加法法则计算即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 54．（19-20七年级上·山东·课后作业）下列运算中，结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照有理数运算法则运算即可. 【详解】A选项，原式=5×2=10，结果为正数； B选项，原式=0，结果为非正非负； C选项，原式=-(6+20)=-26，结果为负数； D选项，原式=-6+20=14，结果为正数； 故选择C. 【点睛】本题考查了有理数的运算，关键在符号的变化. 55．（2024·贵州贵阳·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了乘方、二次根式的除法、二次根式的加法、负整数指数幂等知识，利用法则计算即可. 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 56．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【详解】（1）解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． （2）解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． ►题型03 实数的混合运算 57．（2024·广西柳州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和运算顺序是解题的关键． 先计算乘方，并计算小括号，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 58．（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算： 【答案】4 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 59．（2024·浙江金华·模拟预测）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值、算术平方根的知识化简，然后再运算即可． 【详解】解： ． 60．（2024·浙江宁波·模拟预测）玲玲准备完成题目：计算：，发现被开方数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成8，请你计算：． (2)若该题标准答案的结果是有理数，请通过计算说明原题中的“□”是几． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角形函数值、负整数次幂、二次根式的乘法等知识，解题的关键是熟练运用相关运算法则． （1）根据整式的运算法则求解即可； （2）设“□”为a，根据整式的运算法则进行化简后，由答案为常数即可求出“□”即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ 的结果为有理数， ∴， ∴， ∴． 61．（2024·浙江·模拟预测）如图是小明一道题的计算过程： (1)请用下划线划出小明计算出错的地方． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据解答过程即可判断求解； （2）根据实数的运算法则进行即可即可求解； 本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1. ►题型04 与实数有关的新定义问题 62．（2023·浙江宁波·模拟预测）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 【答案】D 【分析】本题考查实数，代数式求值及有理数的运算，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．根据题意求得x，y的值后代入中计算即可； 【详解】解：由题可得，集合A中， ， ∴集合B中的， ， ， ∵， ∴x与y都为负数， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 故选：D． 63．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，新定义，一次函数的性质，当时，则，可求出当时，，据此利用一次函数的性质求解即可；当或时，，则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组得， ∴当时，， ∴此时的最大值为； 当或时，，则， ∴； 综上所述，的最大值为2， 故选：B． 64．（2023·浙江·一模）有一列数，记为，，…，，记其前n项和为，定义为这列数的“亚运和”，现有99个数，，…，，其“亚运和”为1000，则1，，，…，这100个数的“亚运和”为（    ） A．791 B．891 C．991 D．1001 【答案】C 【分析】根据“亚运和”的定义分析可得99个数，，…，，其“亚运和”为1000，，即．同理根据定义求新数列1，，，…，这100个数的“亚运和”． 【详解】解：∵， ∴， ∴1，，，…，这100个数的“亚运和”为 ． 故选：C． 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．关键是找到． 65．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得 ，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则 ； ∴的值是或 故答案为：或 66．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 【答案】(1)3⊕5的值是19 (2)的值是否与的取值无关，证明见解析 【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． （1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别． 【详解】（1）由题意得， 3⊕ ， 即3⊕5的值是19； （2）的值是否与的取值无关， 证明：由题意得， ⊕3 ； ⊕ ， ， 的值是否与的取值无关． ►题型05 实数运算规律性问题 67．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 68．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 故答案为：； （3）解：原式． ． 69．（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键． （1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式； （2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 故第4个等式为：． （2）第n个等式：． 证明：左边， 右边． 左边=右边， 等式成立． 70．（18-19八年级下·浙江金华·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简：； （2）计算：． 【答案】(1) ；(2) 3； 【分析】(1)先观察题目式子的规律，根据规律化简出来即可； (2) 先观察题目式子的规律，根据规律计算即可； 【详解】解：(1) ； (2)根据规律得到： = =； 【点睛】本题主要考查了分母有理化，能从题目中发现规律是解题的关键； 基础巩固 1．2024的相反数是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：2024的相反数是， 故选：C． 2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，向东走为正，则向西走为负，进行判断即可． 【详解】解：由题意，向西走3米记为米； 故选A． 3．下列有理数：，，0，，，其中负有理数一共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负有理数的定义． 再根据题意找出负的有理数，即可求解． 【详解】解：，，0，，中负有理数为：，，共2个， 故选：B． 4．如图，数轴上点A、B、C分別表示数a、b、c，则下列结论不成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断绝对值大小和判断式子的正负．由题意得，，再根据有理数的运算法则和绝对值大小进行判断即可． 【详解】解：由题意得： ∴，故A正确； ∵ ∴，故B正确； ∵，， ∴，故C错误，D正确； 故选：C 5．如果，且，则代数式的值为（   ） A．5或 B．5或3 C．或 D．5或 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值得性质以及代数式求值，根据绝对值的性质可得，，再根据，可得，或，，然后计算出即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或，， 当，时，； 当，时，； 综上，或， 故选：D． 6．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．，原说法错误，不符合题意； B． ，，则，说法正确，符合题意； C． ，则，原说法错误，不符合题意； D．，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年大约可以节省3250万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年．“3250万”这个数据用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：“3250万”这个数据用科学记数法表示． 故选：C． 8．某人一天饮水1.890升，用四舍五入法将“1.890”精确到0.1得到的近似数为（   ） A．2 B．1.9 C．1.8 D．1.90 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，将百分位上的数字四舍五入即可得解，熟练掌握求一个近似数的方法是解此题的关键． 【详解】解：用四舍五入法将“1.890”精确到0.1得到的近似数为1.9， 故选：B． 9．下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，结合表格信息，根据平方根与算术平方根，整数部分的含义逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为6，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴30976的平方根是，故③正确； ∵，， ∴，，，的算术平方根在之间．故④正确； 综上：正确的有①③④． 故选：C 10．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故答案为：． 11．珠穆朗玛峰的最新测量高度为米，请你用四舍五入法对取近似数，结果为 ．（精确到个位） 【答案】8849 【分析】本题主要考查运用“四舍五入”法求一个数的近以数，解题的关键是要看清精确到哪一位，就根据它的下一位上数是否满5，再进行四舍五入．根据“四舍五入”法，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义即可求解，正确理解立方根，平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：立方根是，的平方根是， 故答案为：，． 13．的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为， 故答案为：． 14．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点 P表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． 观察图形可知∶ ，然后由勾股定理求出，从而求出，最后根据数轴上两点间的距离公式求出答案即可 【详解】解：如图所示， 由图形可知∶，， 由勾股定理得∶ ， ∴ ∵点B表示的数为2， 点P表示的数为∶ ， 故答案为∶ 15．对于实数，，我们用符号表示两数中较大的数，如．若，则 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，当时，则，当时，则，两种情况分解解方程，然后验证即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，；当，； ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， 当，；当，； ∴； 综上所述，或， 故答案为：0或1． 16．世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下单位：米：，，，，，，，假定开始计时时，守门员正好在球门线上 (1)守门员最后是否回到了球门线上? (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米? (3)若守门员离开球门线的距离超过10米不包括10米，则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会? 【答案】(1)最后正好回到球门线上 (2)19米 (3)有三次挑射破门的机会 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，有理数的大小比较等知识． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加减法，可得每次与球门线的距离，根据有理数的大小比较，可得答案； （3）根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】（1）解：， 答：守门员最后正好回到球门线上； （2）解：第一次10米， 第二次米， 第三次米， 第四次米， 第五次米， 第六次米， 第七次米， 第八次米， ， 答：守门员离开球门线的最远距离达19米； （3）第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， 第六次， 第七次， 第八次， 答：对方球员有三次挑射破门的机会． 17．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式： ， ； (3)算一算： 【答案】(1)， (2)， (3)65 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握除方运算，是解题的关键： （1）根据除方的法则，进行计算即可； （2）根据除方的法则，进行计算即可； （3）根据混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）由题意： ∴，； 故答案为：，； （3）原式． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂的运算，求算术平方根，熟练掌握实数的加减运算是解题的关键．先分别计算绝对值、零指数幂和算术平方根，再求和，即得答案． 【详解】解：原式 ． 19．计算： 【答案】2 【分析】本题考查实数的综合运算，特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，， 如． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如． (1)______，______； (2)a是有理数，______； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0或 (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中定义即可求出的值； （2）a是有理数，分两个情况讨论，a为整数和a为小数； （3）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）对于任意有理数a，表示不超过a的最大整数，表示不超过的最大整数， 当有理数a为整数时，， 当有理数a为小数时，， 故答案为：0或； （3） ． 能力提升 21．方程的解的个数是（    ） A．1个 B．2020个 C．2021个 D．无穷多个 【答案】D 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的解的个数是无穷多个， 故选：D． 22．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 23．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解： ，，，，，，，，， 故选：B． 24．如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以为边作正方形，若点A表示的数为1，正方形面积为7，则B，E两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，数轴与实数，根据正方形面积为7，得到，点A表示的数为1，点E与点A关于原点O对称，可得点B表示的数为，点E表示的数为，再利用数轴上两点的距离公式即可求解． 【详解】解：正方形面积为7， ， 点A表示的数为1，点E与点A关于原点O对称， 点B表示的数为，点E表示的数为， B，E两点之间的距离是． 故选：A． 25．若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（　　） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算和算术平方根，二次根式的性质，先估算，则，结合题意得到，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ，且x，y是两个连续自然数， ， ， 的算术平方根为． 26．已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，即得，最后根据平方根的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵和分别是一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 27．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，整式的加减等知识，相距数轴得出，进而得出，，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义以及整式的加减法则计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 28．观察下列算式：、、、、、、、…，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查数字类规律探究，根据给出的算式，得到的末位数字以2，4，8，6，四个数字一组，进行循环，进行求解即可． 【详解】解：∵：、、、、、、、… ∴的末位数字以2，4，8，6，四个数字一组，进行循环， ∵， ∴的末位数字是6， 故答案为：6． 29．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为例如：，两点表示的数如图1所示，则| （1），两点表示的数如图2所示． ①，两点的绝对距离等于 ； ②若为数轴上一点（不与点重合），且|则点C表示的数是 ； （2），为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间， ，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 30．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； (1)写出第6个等式 ； (2)猜想第个等式 ；（用含的代数式表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数字变化的规律，正确找出数字变化的规律是解题的关键： （1）利用数字变化的规律解答即可； （2）利用数字变化的规律解答即可； （3）利用（2）中的规律，以及算术平方根的定义化简运算即可． 【详解】（1）解：第6个等式：； 故答案为：； （2）第个等式：； 故答案为：； （3） ． 31．若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”，为的“进步起点”．例如，，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”． (1)判断2024是不是“进步数”，若是，请求出它的“进步起点”；若不是，请说明理由； (2)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 【答案】(1)44 (2)不是，理由见解析 【分析】此题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设，然后解方程求解即可； （2）假设是“进步数”，得到，推出方程没有整数解，据此即可求解． 【详解】（1）解：设 整理得， 解得，（舍去） ∴它的“进步起点”为44； （2）解：假设是“进步数”， 由题意得， 整理得， ∴， ∵设 ∴ ∵为整数，且 ∴，或, 解得，或， ∴当时，是完全平方公式 ∵ ∴不是完全平方公式 ∴方程没有整数解， ∴不是“进步数”． 32．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 33．如图在数轴上点A，表示的数分别为，，且满足． (1)点A表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？ 【答案】(1)，12 (2)2或4 (3)当或时，小蚂蚁与点的距离和不是最短的；当或时，小蚂蚁与点的距离和是最短的 【分析】（1）结合非负数的性质确定答案即可； （2）分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别确定点表示的有理数，然后计算折点表示的数即可； （3）首先求得的中点表示的有理数以及之间的距离；再分小蚂蚁未到挡板和过挡板两种情况讨论，然后分类计算的值；根据两点距离表示出它们的距离之和，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． 故答案为：，12； （2）由（1）可知，点表示的有理数为12，点A表示的有理数为， 当点在点左侧时，点表示的有理数为10， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为； 当点在点右侧时，点表示的有理数为14， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为， 综上所述，折点表示的数为2或4． 故答案为：2或4； （3）解：∵点A表示的有理数为，点表示的有理数为12， 则的中点表示的有理数为，， 当小蚂蚁没有从挡板回来时，即时，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 当小蚂蚁从挡板回到点B时，即，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 设点M在数轴上表示的数为，则点M到点（是的中点）的距离和为， ∴由题意可知点M是在上运动，则当时， ， 当时， ，无最小值； 当时， ，无最小值； 综上所述：点M与点的距离和为最小值，即为21，此时， ∴当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； ∴综上所述：当或时，小蚂蚁与点的距离和不是最短的；当或时，小蚂蚁与点的距离和是最短的． $$