精品解析：广西壮族自治区河池市十校协作体2024-2025学年高一上学期第二次联考数学试题

2024年秋季学期高一年级校联体第二次联考 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将弧度化成角度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 最小值是4 C. 幂函数的图象经过点，则 D. 函数且的图象恒过定点 11. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 已知定义在上的偶函数，当时，，则______． 14. 在实数集中定义一种运算，满足下列性质： ①对任意的； ②对任意的； ③对任意的； 则 ______，函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 化简求值 （1）已知，在第二象限，求和的值； （2）已知，求的值. 17. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 最近某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． （1）写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 19. 已知函数，设． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）若，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期高一年级校联体第二次联考 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将弧度化成角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弧度制与角度制的转化，即可得到结果. 【详解】， 故选：C. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用对数函数、指数函数的单调性判定的范围即可比较大小. 【详解】， ， ，． 故选：D． 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性结合函数的零点存在定理即可求解. 【详解】因为和均为R上的增函数， 所以函数在上单调递增，而， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B． 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数函数图象结合翻折判断即可. 【详解】图象就是的图象在轴上方部分不变， 将轴下方的图象对称的翻折到轴上方，则D选项正确． 故选：D． 6. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可求得取值范围，再根据集合的包含关系即可判断. 【详解】由指数函数在上单调递增，，可得， 又是的真子集， 则是的必要不充分条件. 故选：A． 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数型复合函数的定义域与单调性，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】对于， 有，解得或， 则函数的定义域为； 令，则恒成立， 又的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以的单调递增区间为. 故选：C. 8. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数上是增函数，则应用对数函数及一次函数的单调性在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足，从而得到答案. 【详解】因为在上是增函数， 所以， 即，解得：． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用对数的定义及换底公式求解即得. 【详解】由，得. 故选：AD 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 最小值是4 C. 幂函数的图象经过点，则 D. 函数且的图象恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：通过修改量词，否定结论，可作出判断；B：分类讨论的正负，由此求解并判断；C：代入计算即可判断；D：根据真数为确定出定点坐标. 【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，都有”，A正确； 对于B，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故B错误； 对于C，由幂函数的图象经过点，则，得，故C正确； 对于D，令，则，此时， 所以函数（且）的图象恒过定点，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的性质结合分段函数解析式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，函数，函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，单调递增，则， 当时，，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，又，所以，故C错误； 对于D，当时，，故在上单调递增，则D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知定义在上的偶函数，当时，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义得出，再应用已知解析式计算即可. 【详解】又因为定义在上的偶函数，所以， 所以. 故答案为：． 14. 在实数集中定义一种运算，满足下列性质： ①对任意的； ②对任意的； ③对任意的； 则 ______，函数的最小值为______． 【答案】 ①. 17 ②. 6 【解析】 【分析】根据新运算的定义、性质以及基本不等式化简求值即可. 【详解】根据定义可得； ，当且仅当时等号成立． 故答案为：17,6． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数运算规则，分数指数以及根号指数的互化化简即可求解； （2）利用对数函数的性质，化简变形即可求值. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 化简求值 （1）已知，在第二象限，求和的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. （2）根据商数关系来求得正确答案. 【小问1详解】 由于，在第二象限，所以， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 所以. 17. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且，. 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性定义即可证明； （2）利用函数的单调性，求出函数在给定区间上的最大值，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，， 即所求实数的取值范围为. 18. 最近某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． （1）写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【答案】（1） （2）90万件 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ， 所以当年产量为90万件时，取得最大值为160． 19. 已知函数，设． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）若，求的范围． 【答案】（1） （2）函数为奇函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求得函数，由对数函数性质，列出不等式组，即可求解函数的定义域； （2）由函数的解析式，求得可得，即可得函数的奇偶性； （3）由，求得，得出且，即可求解x的范围，得到答案. 【小问1详解】 根据题意，函数， 可得， 则有，解可得， 即函数的定义域为； 【小问2详解】 由（1）知，函数， 其定义域为，关于原点对称， 又由， 即， 所以函数为定义域上的奇函数． 【小问3详解】 由，即， 则满足且，解可得， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $