1.1集合的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语 情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 　　在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？ 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 情景引入 复习引入 问题1 初中，我们接触了哪些集合？ 数集：自然数的集合，有理数的集合... 点集：圆（同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合） 线段的垂直平分线（到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合） 为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识. 下面先从集合的含义开始. （1）1~10之间的所有偶数； （2）济钢高中今年入学的全体高一学生； （3）地球上的四大洋. 探索新知 思考1：看下面的例1——例3，每个问题的答案是什么？都由若干个对象组成吗？ 2,4,6,8,10，是的. 济钢高中今年入学的每一位高一学生，是的. 太平洋、北冰洋、大西洋、印度洋，是的. 例(1)中，我们把1~10之间的每一个偶数作为一个元素，这些元素的全体就是一个集合； 例(2)中，把济钢高中今年人学的每一位高一学生作为一个元素，这些元素的全体也是一个集合. 探索新知 思考1：看下面的例4——例6，研究对象分别是什么？它们可以组成集合吗？ 所有的正方形，可以. 1和2，可以. （4）所有的正方形； （5）在平面中，到直线的距离等于定长的所有点； （6）方程的所有实数根； 探索新知 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 一、集合的概念 “对象” 集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、 “总体” 集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。 思考2： 已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(9)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(9)班的一位同学，b表示高一(10)班的一位同学. 那么a，b与集合A分别有什么关系? 探索新知 a是集合A中的元素, b不是集合A中的元素. 二、元素与集合的关系 探索新知 (1) 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2) 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA. 说明： 属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。 思考4：（1）学校超市一天内进了两次货,第一次进的矿泉水、面包,第二次进的 矿泉水、方便面,把这天进的货物构成一个集合,集合中有哪几个元素? （2）1,2,1,3,4这五个数组成的集合中有几个元素？ 思考3：（1）1,3,5,7,9,…是“1~10之间的所有偶数”这一集合里面的元素吗？ （2）“较小的数”能组成一个集合吗？ 探索新知 不能；因为集合的元素具有确定性. 没有，因为集合的元素具有无序性. 4个，因为集合的元素具有互异性. 不是 矿泉水，面包，方便面 思考5：我们全班同学构成了一个集合,在班内调整一次座位,班级这个集合改变了吗? 集合中元素的三个特性： 确定性、无序性、互异性. 三、集合中元素的三大特性 探索新知 集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置. 一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同. 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. (1) 确定性： (2) 互异性： (3) 无序性： 探索新知 只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 比如集合和集合是相等的. 特殊地 : 集合相等 理解辨析 辨析 下面各组对象能否构成集合？并说明理由． （1）所有的好人； （2）小于8的正整数； （3）和2003非常接近的数； （4）参加数学比赛的年龄较小的同学； （5）亚洲所有的国家； （6）立方根等于自身的数； （7）西湖里的漂亮的鱼； （8）较大的数． 否，不确定性 能 否，不确定性 否，不确定性 能 能 否，不确定性 否，不确定性 探索新知 思考6：前面例题（2）我们判断出“小于8的正整数”能构成集合，那我们怎么来表示集合呢？ 特殊的：常用数集的符号表示 数集 符号 含义 实数集 R 全体实数 自然数集 N 非负整数(含0) 正整数集 N*或N+ 大于0的整数(不含0) 整数集 Z 全体整数(正/负/0) 有理数集 Q 全体有理数(整数/分数) Real number Natural number zhěng 德Zahlen Quotient(商) 为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法： （1）1～10之间的所有偶数； （2）济钢高中今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有点； （5）方程x2－3x＋2＝0的所有实数根； （6）地球上的四大洋. 探索新知 思考6：前面例题（2）我们判断出“小于8的正整数”能构成集合，那我们怎么来表示集合呢？ 用自然语言描述一个集合。如： 1.自然语言 探索新知 思考6：前面例题（2）我们判断出“小于8的正整数”能构成集合，那我们怎么来表示集合呢？   题中“小于8的正整数”可以表示为： {1,2,3,4,5,6,7} 2.符号语言 ①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，用“,”隔开，并用“{ }”括起来表示集合的方法。 如：A={2,4,6,8,10} 注意：列举法适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. {1,2,3,…,1000} N={0,1,2,3,…} 典例分析 注：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如. 例1 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合； (2) 方程x2＝x的所有实数根组成的集合. 解：(1) 设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (2) 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0, 1}. 探索新知 思考7：（1）你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗? 思考8：（2）你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? “10以内能被3整除的所有自然数” 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举. 但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都小于10. （2） 集合中的元素都是实数． 所以，这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示 探索新知 注：(1)先看竖线前的代表元素，明确研究的对象；再看竖线后的共同特征; (2)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接； (3)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出取值范围. ②描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合 表示为{x∈A | P(x)} {x∈R|x<10}. 则 不等式x-7<3的解集可表示成 {x∈A | P(x)} 探索新知 你能用描述法表示偶数集和奇数集吗? 偶数集：{x∈Z | x=2k,k∈Z} 奇数集：{x∈Z | x=2k+1,k∈Z} 提示：偶数和奇数的共同特征是什么? 思考9 ▲约定： 偶数集{x|x=2k,k∈Z} x-7<3的解集为{x|x<10} 奇数集{x|x=2k+1,k∈Z} 典例分析 解：(1)设,则是一个实数，且.因此，用描述法表示为 方程有两个实数根，因此，用列举法表示为 (2)设,则是一个整数，即且因此，用描述法表 示为 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为 新知探索 思考10：用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自有什么特点. 四、集合的表示方法 1.自然语言 2.符号语言 ①列举法 ②描述法 新知探索 自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。 列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。   ｛1｝   表示集合的三种方法各有什么特点？ 本节课你学会了哪些主要内容？ 1．集合的概念; 2．元素与集合的关系； 3．集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性； 4. 数集及有关符号； 5. 集合的表示方法。　 课堂小结&作业 作业： 练习 例1.下列对象能构成集合的是（ ）. A.高一年级长得帅的学生 B C.全体很大的自然数 D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 题型一：集合的概念及特征 变1.由实数组成的集合中最多含有（ ）个元素. 答案：D.因为A没有一个确定的标准；B中，不符合元素的互异性；C不能构成集合. 答案：4.由题意知，，所以可分别化为.故有4个元素. 谢谢学习 Thank you for learning 练习 题型二：元素与集合的关系 例2.集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. A. B C.1 D. 变2.设集合是由满足的有序实数对构成的，则, (用符号或填空) 答案：D. 答案：. 练习 题型三：集合的表示法 例3.(1)用列举法表示下列集合： ①不大于10的非负偶数组成的集合A； ②小于8的质数组成的集合B； ③方程的实数根组成的集合C； ④一次函数与的图象的交点组成的集合D. 答案：;;; 练习 题型三：集合的表示法 例3.(2)用描述法表示下列集合： ①函数图象上的所有点组成的集合； ②不等式组成的集合； ③被3除余数等于1的正整数组成的集合； ④与的所有正的公倍数组成的集合. 答案：;; ; 变4.已知，，若集合,则的值为？ 练习 题型四：利用元素的互异性求参数 答案：-1 $$