专题06 一次函数（考点清单，知识导图+9考点清单&12题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

清单06 一次函数（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【清单02】函数的关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【清单03】函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【清单04】函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【清单05】函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【清单06】一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【清单07】一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 【清单08】待定系数法求一次函数的表达式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 【清单09】一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【考点题型一】函数的概念 【例1】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应判断即可，掌握函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 【详解】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； B选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； C选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故该选项符合题意； D选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列各图能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：解：A、C、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，B选项符合函数的概念， 故选：B． 【变式1-3】下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-4】探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 【考点题型二】求自变量的取值范围或函数值 【例2】函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式2-1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 【变式2-2】已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查的是求函数值，先判断出时，所符合的关系式，然后将代入对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式2-3】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 【变式2-4】我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，先求出，，当时，，即，代入计算即可得解． 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 【变式2-5】点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列函数关系式，坐标与图形； （1）直接运用面积公式即可求解； （2）运用面积公式，将，代入即可，运用第一象限上点的特征，求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ， （2）点在第一象限， ，， ， 综上，， 【考点题型三】从函数图象获取信息 【例3】如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别和判断，小亮在上散步时，随着时间的变化，离出发点的距离是不变的，那么此时这段函数图象应与x轴平行，进而根据在半径和上所用时间及在上所用时间的大小可得正确选项，根据图象的对应关系进行判断是解决本题的关键． 【详解】分析题意和图象可知：当点M在上时，y随x的增大而增大， 当点M在半圆上时，y不变，等于半径， 当点M在上时，y随x的增大而减小， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式3-1】晴晴和晶晶两名同学从A地出发，一起骑自行车到25千米外B地，她们骑行距离和所用时间的关系如图．根据图中提供的信息，下面说法正确的有（    ）个． 说法1：晴晴和晶晶两人都在途中停留了小时； 说法2：晴晴比晶晶早出发小时； 说法3：相遇后，晴晴的速度小于晶晶的速度； 说法4：晶晶比晴晴早到达B地． A．1. B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题，是解题的关键．根据图象可知：晶晶在途中没有停留，即可判断说法1；由图可知，晴晴比晶晶早出发小时，即可判断说法2；图象中相遇后，晶晶速度大于晴晴的速度，可判断说法3；由图得出晶晶早到达B地，即可判断4． 【详解】解：根据图象可知，晶晶在途中没有停留，故说法1错误； 晴晴比晶晶早出发小时，故说法2正确； 相遇后，晴晴的速度小于晶晶的速度，故说法3正确； 晶晶比晴晴早到达B地，故说法4正确； 综上分析可知：正确的有3个． 故选：C． 【变式3-2】甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发小时后到达 地，求出两地的距离即可判断③，据此即可求解，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴根据函数图象可知，甲车先出发， ∵根据函数图象可知，甲出发后，乙追上甲， ∴甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； ∴ 乙车的速度为，故②正确； 根据图可知，乙出发后到达点， ∴两地相距，故③正确； ∴正确的说法有个， 故选：． 【变式3-3】科创爱好者徐艺同学研制了一架模型飞机，该模型飞机在某内飞行的高度与飞行时间之间的函数图象如图所示，由图象可知，在这内飞机飞行的最大高度与最小高度的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，由函数图象可知，最大高度为米，最低高度为米，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，最大高度为米，最低高度为米， ∴在这内飞机飞行的最大高度与最小高度的差为 故选：B． 【变式3-4】甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息；根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以小时，求出甲车出发时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度时间总路程，即可判断出乙车出发后经过或，两车相距的距离，从而判断出④正确． 【详解】解：①甲车的速度为，故本选项正确，符合题意； ②乙车到达城用的时间为：，故本选项正确，符合题意； ③甲车出发，所走路程是：，甲车出发时，乙走的路程是：，则乙车追上甲车，故本选项正确，符合题意； ④当乙车出发时，两车相距：，当乙车出发时，两车相距：，故本选项正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【变式3-5】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)甲车的速度是； (2)求乙车出发后多少时间追上甲车？ (3)求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)1.5 (3)相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，甲车的速度是：． 故答案为：； （2）解：乙车的速度为：， 设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得： ， 解得， 答：乙车出发后1.5小时追上甲车； （3）解：设甲车出发小时，两车相距50千米，根据题意得： 或， 解得3.75或． 乙车比甲车晚出发1小时， 此时乙车出发的时间为2.75小时或小时 答：相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 【考点题型四】函数的三种表示方法 【例4】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 【变式4-1】某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 【变式4-2】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式4-3】某校生物小组学生准备在校内一空地围一个长方形苗圃．苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米；苗圃的另一边与墙垂直，长为米．试写出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域．画出这个函数的图像． 【答案】函数解析式为，函数的定义域为，图见解析 【分析】本题考查了函数的实际应用，理解题意、正确得出函数解析式以及函数的定义域、掌握描点法画函数图像是解题的关键． 根据“长方形苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米，苗圃的另一边与墙垂直，长为米”，得出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域，根据函数解析式以及函数的定义域，取点（实际取不到）、、、、、、、、，顺次连接画出函数的图像即可． 【详解】解：∵长方形苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米，苗圃的另一边与墙垂直，长为米， ∴苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式为，函数的定义域为， 如图，画出函数的图像， ． 【变式4-4】一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【答案】(1) (2)厘米 (3)当拉力是千克时，弹簧长度是厘米 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据表格数据得出函数解析式、正确求函数值和自变量的值是解题的关键． （1）由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米，得出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式即可； （2）把代入（1）所求函数解析式，求出弹簧长度即可； （3）把代入（1）所求函数解析式，求出此时的拉力即可． 【详解】（1）解：由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米， ∴弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 答：如果拉力是千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：把代入得：， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是厘米． 【变式4-5】在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【考点题型五】正比例函数的定义 【例5】若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的定义，，即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：B． 【变式5-1】下列函数中，属于正比例函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正确理解正比例函数的定义是解题的关键，函数（k为常数，）叫做正比例函数．选项A符合正比例函数的定义，选项B、C、D均不符合，由此即可得出答案． 【详解】选项A，是正比例函数，符合题意； 选项B，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意； 选项C，不是正比例函数，不符合题意； 选项D， 不是正比例函数，不符合题意； 故选：A． 【变式5-2】下列函数中，是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是． 此题可以根据正比例函数的定义进行解答． 【详解】解：A. 是正比例函数，故正确； B. 不是正比例函数，故错误； C. 不是正比例函数，故错误； D. 不是正比例函数，故错误； 故选：A． 【变式5-3】下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．的自变量的次数是，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B．的分母中含有自变量，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C．是正比例函数，故此选项符合题意； D．不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的识别，一般地，形如（是常数且）的函数叫做正比例函数，注意条件：是常数且，自变量次数为．掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【变式5-4】下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数 【分析】根据正比例函数的概念：形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，判断即可． 【详解】解：由正比例函数的概念可知：（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数． 【点睛】本题考查了正比例函数、比例系数，解题的关键是掌握正比例函数的概念． 【考点题型六】求一次函数自变量或函数值 【例6】下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知在一次函数图象上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式是解题的关键．分别计算自变量为，，，所对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：A、当时，，故点不在函数的图象上； B、当时，，故点在函数的图象上； C、当时，，故点不在函数的图象上； D、当时，，故点不在函数的图象上； 故选：B． 【变式6-1】已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特点，根据点，都在函数的图象上，得到，，两式相减得到，即可解答． 【详解】解：∵，都在函数的图象上， ∴①， ，即②， ∴①－②，得． 故选：B 【变式6-2】在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 【答案】 0 或． 【分析】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知关联点的定义． （1）由关联点的定义可知，由可得出，再代入代数式计算即可． （2）由关联点的定义可知点P的坐标为或，分情况分别把和代入一次函数解析式，求出a的值，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）由“关联点”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． （2）∵点是一次函数图象上点的“关联点”， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为； 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为∶ 或． 【变式6-3】点在一次函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求一次函数自变量的值，将代入即可求解． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， 解得， 故答案为：1． 【变式6-4】直线的图象如图所示，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的点，将点的坐标代入关系式，再整理即可得出答案． 【详解】∵点在直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-5】无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．将一次函数解析式化简为，从而可得当时，的取值与值无关，进而求解． 【详解】解：，令，则，此时 直线（为常数，）所过的定点坐标为． 故答案为：． 【变式6-6】已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 【考点题型七】正比例函数的图象与性质 【例7】根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则 ． 下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】解：①当时，是正比例函数，原说法错误； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的只有1个， 故选：D． 【变式7-1】直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据k的符号判定正比例函数和一次函数图象所在的象限． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，直线经过第一、三象限， 满足条件的只有B选项， 故选：B． 【变式7-2】点和点在正比例函数，的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键在于熟练掌握相关知识点． 根据函数的增减性然后判断即可． 【详解】解∶正比例函数，y随x的增大而减小， ， ． 故选∶C． 【变式7-3】若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 【答案】1（均可） 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式7-4】若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据自变量和函数值的变化关系可得，将代入进而得到2，再解方程即可． 【详解】解：函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2， ， 将代入中， 解得： 故答案为：． 【变式7-5】已知正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，点，都在一次函数的图象上，若，则的值可能是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象与性质，对于一次函数，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小，熟练知识点是解题的关键．根据正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限得到，继而，则能判断一次函数随着x的增大而增大，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数，随着x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-6】已知是的正比例函数，且当时，． (1)求该函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在反比例函数图象上 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 把，代入得： 解得 ∴； （2）解：把代入， 得 ， ∴点在反比例函数图象上． 【考点题型八】一次函数图象与坐标轴交点问题 【例8】关于一次函数，下列说法正确的是(   ) A．图象与轴交于点 B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：一次函数，， 当时，，当时， A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意； C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意； D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意； 【变式8-1】已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中， ， 即， 解得：， ． 故选：B． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，则下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标是 C．因变量y随自变量x的减小而减小 D．原点到该图象的最短距离是 【答案】D 【分析】设一次函数的的解析式为，一次函数的图象与x轴的交点为D，点为点A，过点A作轴于B，过点A作轴于C．根据一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，可得一次函数的图象经过第二、三、四象限，可判定A；根据，可求得，则，所以图象与x轴的交点坐标是，可判定B；根据，则一次函数，因变量y随自变量x的减小而增大，可判定C；过点O作于E，根据等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理可求得，由垂线段最短可判定D． 【详解】解：设一次函数的的解析式为，一次函数的图象与x轴的交点为D，点为点A，过点A作轴于B，过点A作轴于C，如图， A、∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项不符合题意； B、∵，轴于B，轴于C， ∴，， ∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图象与x轴的交点坐标是，故此选项不符合题意； C、∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∴一次函数，因变量y随自变量x的减小而增大，故此选项不符合题意； D、过点O作于E，则， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 根据垂线段最短，可得原点到该图象的最短距离是，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式8-3】若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 【变式8-4】已知关于的方程的解是，则直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．根据方程可知时，，与x轴的交点坐标为． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴当，， ∴直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 【变式8-5】如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点是直线上一点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）分别把、代入函数解析式计算即可求解； （）求出点坐标，再利用两点间距离公式计算即可求解； 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型九】判断一次函数的增减性 【例9】在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，依据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到正确结论． 【详解】解：当，，即y随x的增大而减小，故甲的说法错误； 在中，当时，， 即无论k取何值，函数必定经过定点，故乙的说法正确． 故选：B． 【变式9-1】下列一次函数中，y的值随着x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，据此即可判断求解． 【详解】解：观察四个选项，只有选项D中，， ∴随的增大而减小，该选项符合题意； 其他三个都不符合题意． 故选：D． 【变式9-2】关于函数，下列说法不正确的是（　　） A．它的图象过点 B．随的增大而增大 C．它的图象不经过第三象限 D．它的图象与轴交于点 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据函数图象上点的坐标特征可判断A；根据一次函数的增减性可判断B；根据一次函数的解析式可判断C；求出当时对应的的值可判断D．熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象如图所示， A．将代入得：， ∴它的图象过点，故此选项不符合题意； B．由函数图象可知：随的增大而减小，故此选项符合题意； C．由函数图象可知：它的图象不经过第三象限，故此选项不符合题意； D．将代入得：， ∴它的图象与轴交于点，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式9-3】已知点，是一次函数图像上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．根据，可得出随的增大而增大，结合，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数中， 随的增大而增大 又点，是一次函数的图像上，且 故答案为：． 【变式9-4】若点和点都在直线上，则 （选填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据即可得出一次函数y随着x的增大而减小，进而根据即可得出． 【详解】解：∵中，， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型十】确定一次函数的表达式 【例10】已知一次函数的自变量与函数值之间的部分对应值如下表，根据表中信息，得出下列结论：①；②该函数的表达式为；③该函数的图象不经过第三象限；④使的值为0的值在2和3之间．其中正确的有（   ） … 1 2 3 … … 9 7 3 1 … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格数据，利用待定系数法求出一次函数的解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格数据可知，每增加1，减小2， ∴当时，， ∴；故①正确； 把代入，得： ，解得：， ∴，故②错误； ∴直线经过一，二，四象限，不经过第三象限，故③正确； ∵时，，时，， ∴使的值为0的值在2和3之间；故④正确； 故选C． 【变式10-1】函数的图象，经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的点的特征，熟练一次函数知识点是解题的关键．将点代入，再解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式10-2】拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得， 时间应，用油量不能超过原有油量， ∴，解得， ∴， 故答案为：，． 【变式10-3】已知与成正比例，且时， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例的关系是解决此题的关键， （1）根据题意设函数解析式，再把一组值代入求出k值即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式中，求出m即可． 【详解】（1）解：根据题意可设：， 把时，代入得：， 解得：， ∴， 即． （2）解：把代入， 得：， 解得：． 【变式10-4】已知一次函数的图象过点． (1)求的值． (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将点代入到一次函数可得的值； （2）由（1）可得一次函数解析式为，根据可得，从而可知的最大值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点 解得 （2）解：由（1）可得，故一次函数解析式为 当时，，得 故的最大值为0 【点睛】此题考查了一次函数的性质，确定的值是解题的关键． 【变式10-5】如图所示的是购买某种商品的数量与付款金额之间的关系． (1)根据图形完成下列表格． 购买商品的数量(个) 2 4 6 付款金额(元) (2)请写出付款金额y(元)与购买这种商品的数量x(个)之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象上获取信息、求一次函数解析等知识点，从图中获取所需信息是解题的关键． （1）直接根据函数图象获取信息即可解答； （2）设函数关系式为，再运用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：由函数图象可得： 当购买商品个数为2个时，付款数为4元； 当购买商品个数为4个时，付款数为8元； 当购买商品个数为6个时，付款数为12元； 故答案为：4，8，12． （2）解：设付款数y（元）与购买这种商品的个数x（个）之间的关系式为， 根据题意得：，解得， ∴付款数y（元）与购买这种商品的个数x（个）之间的关系式为． 【考点题型十一】一次函数的几何应用 【例11】如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)2或6 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，代值求解即可得到答案； （3）根据点C的横坐标求出纵坐标，得到和面积，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，，，则． （2）解：当时，，则， ∴． （3）解：∵点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或2． 【变式11-1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)6 (3)的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）分别求出和的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：直线经过定点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：；4；2； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴的面积为； （3）解：存在， 动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ， ， ， 点的运动时间为秒， ， 分两种情况：点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； 点在线段的延长线上， 和的面积比为， ， ， ， ， 综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向右平移6个单位得到直线，直线与轴交于点． (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出A、D所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的函数表达式，再利用平移的性质得到直线的函数表达式为，据此即可求解； （2）由题意得，求得，分情况讨论，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入，得 ，解得， 所以直线的函数表达式为； 将直线向右平移6个单位，得到， 即直线的函数表达式为， 令，得，即； （2）解：因为， 所以，，，即， 所以，即， 所以，所以或； 在中， ①，得，所以此时点的坐标为； 设此时A、D所在直线的函数表达式为． 将点代入，得 ，解得， 所以此时、所在直线的函数表达式为； ②，得，所以此时点的坐标为． 设此时A、D所在直线的函数表达式为． 将点代入，得 ，解得， 所以此时A、D所在直线的函数表达式为． 综上可知，直线的函数表达式为或． 【变式11-3】如图，一次函数与x轴交于点A，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与x，y轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，以及一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）由一次函数解析式，得到与x轴，y轴的交点A，B两点的坐标，由点C与点A关于y轴对称，得到C点坐标； （2）由B，C两点坐标，利用待定系数法，求出直线的函数解析式； （3）由M点坐标，得到的长，由直线与，相交，得到P，Q两点坐标，得到的长，利用三角形面积，求出m的值． 【详解】（1）解：对于一次函数， ∵当时，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴； （2）解：∵，， ∴设直线的函数解析式为， ∴， ∴解得， ∴直线的函数解析式为 ； （3）解：设点， ∴P，Q两点的横坐标均是m， ∴点，点， ∴， 过点B作 于点D， ∴， ∴的面积 ， ∴解得 ， ∴点M的坐标为 或． 【变式11-4】已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)该函数图像与轴交于点，与轴交于点，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，函数图像与x轴，y轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，准确进行计算． （1）设，把时，代入求出k的值即可得出答案； （2）当时，代入求解即可； （3）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得， 解得， ∴， ∴y与x的函数解析式为； （2）当时，； （3）解：当时，，解得，则， 当时，，则， 如图所示： ∴的面积为：． 【考点题型十二】一次函数的实际应用 【例12】某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，现这家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍副，乒乓球盒（不少于盒）．则应付款（元）与乒乓球盒数（盒）的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道销售问题的试题，赋予了现实的生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．考查了一次函数的解析式解实际问题的运用及自变量的取值范围．根据商店规定每买副乒乓球拍赠盒乒乓球，所以从而就可以求出结论． 【详解】解：由题意得， 故选C． 【变式12-1】甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 【变式12-2】峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于x的函数解析式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量； (3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】(1) (2) (3)按方式一购买可以获得更多的茶叶 【分析】本题考查的是列函数关系式，一次函数的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键． （1）根据两种方式分别求出购买茶叶的总费用即可； （2）令求解即可； （3）令两种总费用为65000元，分别求出购买茶叶质量，再比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：当时，， 解得：， 若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为； （3）解：当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ， 按方式一购买可以获得更多的茶叶． 【变式12-3】某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积，的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积；满足函数关系式 （k为常数，且）． (1)求出甲工程队的费用元）与面积的函数关系式，并写明x的取值范围； (2)如果公园铺设广场砖的面积为 ，那么选择哪个工程队施工更合算？ 【答案】(1)； (2)当时，选择甲、乙工程队均可；当时，选择乙工程队施工合算；当时，选择甲工程队施工合算． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式、根据图象确定出图象经过的两个转折点是解题的关键． （1）分，两段，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题可得：当时，. ，然后分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题图可知，函数图象过点， 当时，设，则，解得：， ∴， 当时， 设，则 解得； ． 综上，甲工程队的费用元）与面积的函数关系式． （2）解：当时，. . 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 答：当时，选择甲、乙工程队均可，当时，选择乙工程队施工合算，当时，选择甲工程队施工合算． 【变式12-4】某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)与乙种产品进货量之间的函数表达式为： 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【变式12-5】已知A、B两地相距3600米，甲从A地出发步行到B地，40分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求，与x的函数关系式； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【答案】(1)（），（） (2)甲出发后45分钟两人相遇，相遇时乙离A地2700米 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与一元一次方程的实际应用，读懂题意和一次函数图象信息是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意可知两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，以此建立方程求解，进而得出答案． 【详解】（1）解：设与x的函数关系式为， ∵该函数图象过点， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）； 设与x的函数关系式为， ∵该函数图象过点， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）； （2）解：两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，即， ∴，解得． 当时，． 答：甲出发后45分钟两人相遇，相遇时乙离A地2700米． 【变式12-6】【问题背景】 我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为个（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 【探索发现】 （1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的． （2）求出与之间的函数关系式． 【结论应用】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 【答案】（1）图见解析，，这组数据错误；（2）；（3）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5千克． 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用描点法画出图形即可判断． （2）设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）将代入计算即可求解． 【详解】解：（1）作出图象如图， 观察图象可知：，这组数据错误． （2）设，把，，，代入可得： ， 解得， ； （3）当时， ， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5千克． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 一次函数（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【清单02】函数的关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【清单03】函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【清单04】函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【清单05】函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【清单06】一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【清单07】一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 【清单08】待定系数法求一次函数的表达式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 【清单09】一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【考点题型一】函数的概念 【例1】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各图能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【变式1-4】探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【考点题型二】求自变量的取值范围或函数值 【例2】函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式2-3】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【变式2-4】我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ． 【变式2-5】点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【考点题型三】从函数图象获取信息 【例3】如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　） A．B． C． D． 【变式3-1】晴晴和晶晶两名同学从A地出发，一起骑自行车到25千米外B地，她们骑行距离和所用时间的关系如图．根据图中提供的信息，下面说法正确的有（    ）个． 说法1：晴晴和晶晶两人都在途中停留了小时； 说法2：晴晴比晶晶早出发小时； 说法3：相遇后，晴晴的速度小于晶晶的速度； 说法4：晶晶比晴晴早到达B地． A．1. B．2 C．3 D．4 【变式3-2】甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】科创爱好者徐艺同学研制了一架模型飞机，该模型飞机在某内飞行的高度与飞行时间之间的函数图象如图所示，由图象可知，在这内飞机飞行的最大高度与最小高度的差为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 【变式3-5】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)甲车的速度是； (2)求乙车出发后多少时间追上甲车？ (3)求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 【考点题型四】函数的三种表示方法 【例4】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式4-3】某校生物小组学生准备在校内一空地围一个长方形苗圃．苗圃的一边靠墙，墙可利用部分的最大长度为米；苗圃的另一边与墙垂直，长为米．试写出苗圃的面积（平方米）与靠墙一边的长（米）的函数解析式以及函数的定义域．画出这个函数的图像． 【变式4-4】一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【变式4-5】在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【考点题型五】正比例函数的定义 【例5】若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列函数中，属于正比例函数的是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】下列函数中，是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 【考点题型六】求一次函数自变量或函数值 【例6】下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 【变式6-3】点在一次函数的图象上，则a的值为 ． 【变式6-4】直线的图象如图所示，则代数式的值为 ． 【变式6-5】无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ． 【变式6-6】已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【考点题型七】正比例函数的图象与性质 【例7】根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则 ． 下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-1】直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式7-2】点和点在正比例函数，的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 【变式7-4】若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 ． 【变式7-5】已知正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，点，都在一次函数的图象上，若，则的值可能是 （写出一个即可） 【变式7-6】已知是的正比例函数，且当时，． (1)求该函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上． 【考点题型八】一次函数图象与坐标轴交点问题 【例8】关于一次函数，下列说法正确的是(   ) A．图象与轴交于点 B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为 D．图象经过第一、二、四象限 【变式8-1】已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，则下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标是 C．因变量y随自变量x的减小而减小 D．原点到该图象的最短距离是 【变式8-3】若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【变式8-4】已知关于的方程的解是，则直线与轴的交点坐标是 ． 【变式8-5】如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点是直线上一点，求的长． 【考点题型九】判断一次函数的增减性 【例9】在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 【变式9-1】下列一次函数中，y的值随着x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】关于函数，下列说法不正确的是（　　） A．它的图象过点 B．随的增大而增大 C．它的图象不经过第三象限 D．它的图象与轴交于点 【变式9-3】已知点，是一次函数图像上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”或“”或“”）． 【变式9-4】若点和点都在直线上，则 （选填“>”“=”或“<”）． 【考点题型十】确定一次函数的表达式 【例10】已知一次函数的自变量与函数值之间的部分对应值如下表，根据表中信息，得出下列结论：①；②该函数的表达式为；③该函数的图象不经过第三象限；④使的值为0的值在2和3之间．其中正确的有（   ） … 1 2 3 … … 9 7 3 1 … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】函数的图象，经过点，则 ． 【变式10-2】拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 【变式10-3】已知与成正比例，且时， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【变式10-4】已知一次函数的图象过点． (1)求的值． (2)当时，求的最大值． 【变式10-5】如图所示的是购买某种商品的数量与付款金额之间的关系． (1)根据图形完成下列表格． 购买商品的数量(个) 2 4 6 付款金额(元) (2)请写出付款金额y(元)与购买这种商品的数量x(个)之间的关系式． 【考点题型十一】一次函数的几何应用 【例11】如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【变式11-1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向右平移6个单位得到直线，直线与轴交于点． (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出A、D所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】如图，一次函数与x轴交于点A，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，，求点M的坐标． 【变式11-4】已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)该函数图像与轴交于点，与轴交于点，求△的面积． 【考点题型十二】一次函数的实际应用 【例12】某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，现这家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍副，乒乓球盒（不少于盒）．则应付款（元）与乒乓球盒数（盒）的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【变式12-2】峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于x的函数解析式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量； (3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【变式12-3】某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积，的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积；满足函数关系式 （k为常数，且）． (1)求出甲工程队的费用元）与面积的函数关系式，并写明x的取值范围； (2)如果公园铺设广场砖的面积为 ，那么选择哪个工程队施工更合算？ 【变式12-4】某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【变式12-5】已知A、B两地相距3600米，甲从A地出发步行到B地，40分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求，与x的函数关系式； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【变式12-6】【问题背景】 我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为个（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 【探索发现】 （1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的． （2）求出与之间的函数关系式． 【结论应用】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$