专题12 概率初步、统计初步（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题12 概率初步、统计初步 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：样本空间、对立事件、互斥事件、独立事件 4 考点二：古典概型与概率计算 5 考点三：均值和方差的计算 7 考点四：抽样方法 8 考点五：统计图表 9 实战训练 11 明晰学考要求 概率初步与统计初步属于基础的考点，各占高考的3%左右。其中概率部分的重难点是概率的计算，事件的独立性、对立事件与互斥事件的判断；统计部分分层抽样，频率分布直方图、茎叶图与散点图，百分位数，方差是考察的重点。在最近的3年春考中，考察5次。 基础知识梳理 1.随机现象 具不确定性的现象称为随机现象. 2.样本空间与基本事件 定义一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间(samplespace),用表示,其中的元素称为基本事件(elementaryevent)或者样本点. 随机事件对应样本空间的一个子集. 3.必然事件、不可能事件 在一个随机试验中,有两个特别的事件.一个必然发生,称为必然事件,它对应的子集就是样本空间,即所有基本事件的集合;另外一个必然不发生,称为不可能事件,对应的子集是空集集,它们统称为确定事件,其余的称为不确定事件. 4.古典概率 古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验:（1）有限多结果;（2）等可能性. 古典概率 其中, 表示事件中的基本事件个数,而表示样本空间中的基本事件个数.上式 说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值. 5.互斥事件、对立事件 如果A与B没有共同的基本事件,即两个子集不相交:,那么这两个事件不可能同时发生,或者说互斥. “事件A发生”的否定就是“事件A不发生”,它也是一个事件,称为事件A的对立事件，简称为“非A”. 6.概率的性质 概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量. 7.频率 作伯努利试验,假设我们可以独立地重复一个伯努利试验n次,其中成功的次数记作, 那么就被称为(n次试验中)成功的频率(frequency).频率是一个数,依赖于试验次数n,它不是一个 确定的数,而是一个随机的数. 8.伯努利大数定律 9.事件的独立性 两个事件与(相互)独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积,即 10.常用结论 从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性:如果是个两两互斥的事件,那么 1.总体与样本 我们把研究对象的全体叫做总体,总体中的每一个对象叫做个体,总体中所含个体的数量,称为总体的容量.从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本,样本所含个体的数量称为样本量,也称样本容量. 2.数据的获取 (1)按照收集数据的不同方法,可以将数据分为观测数据和实验数据; (2)对总体的每个个体分别进行调查,我们称之为普查; (3)从总体中抽取样本的过程称为抽样,通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查. 3.抽样方法 (1)在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本,且总体的每一个个体都有同样的可能性被选人样本,这种抽样方法叫做简单随机抽样; （2）一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,先把总体分成若干个部分,然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本,这种抽样的方法称为分层随机抽样,简称分层抽样. 1.统计图表 （1）频率分布直方图; （2）茎叶图; （3）散点图. 2.总体的均值与方差 (1)如果总体有个数据,那么叫做总体的平均数; (2)如果总体有个数据,则叫做总体方差,而叫做总体标准差. 3.样本的均值与方差 （1）如果样本有个数据,则样本数据的平均值; (2)如果样本有个数据,则样本数据的方差. 4.估计总体的百分位数 当样本容量很大时,可以将数据分成100个部分,每一部分包含的数据.第百分位数记作(其中为1到100之间的整数),是将一组数据从小到大排列后,将数据分成两部分：小于或等于第百分位数的数据占,大于或等于第百分位数的数据占. 考点精讲讲练 考点一：样本空间、对立事件、互斥事件、独立事件 【典型例题】 例1．（2024·上海普陀·二模）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2023·上海闵行·三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 3．（2024·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ）． A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 考点二：古典概型与概率计算 【典型例题】 例1．（2024·上海·三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为 ． 例2．（2023·上海青浦·一模）2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ． 例3．（2023·上海崇明·一模）已知事件与事件相互独立，如果，，则 ． 例4．（2023·上海浦东新·模拟预测）如图是甲､乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 .    【即时演练】 1．（2023·上海闵行·二模）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 2（2023·上海静安·一模）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是 ． 3．从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 . 4．（2024·上海闵行·三模）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为 . 5．（2023·上海·模拟预测）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ． 6．（2024·上海崇明·二模）某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是 ．（默认每月天数相同，结果精确到0.001） 7．（2022·上海·模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ； 8．（2020·上海闵行·三模）通过手机验证码登录哈罗单车，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为 ． 9．（2023·上海虹口·一模）第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为 ．（结果用分数表示） 10．（2023·上海浦东新·一模）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是 . 11．（2023·上海宝山·一模）一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求； (2)若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (3)若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的． 考点三：均值和方差的计算 【典型例题】 例1．（2023·上海崇明·一模）如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得 分． 例2．（2024·上海奉贤·三模）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则下列说法正确的是（    ） A．的中位数一定等于的中位数； B．的平均数一定等于的平均数； C．的标准差一定不小于的标准差； D．的30百分位数一定不等于的30百分位数． 例3．（2024·上海长宁·二模）某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 例4．（2024·上海·三模）样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的第25百分位数为 .. 【即时演练】 1．（2023·上海杨浦·二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分 2．（2024·上海·模拟预测）已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为 . 3．（2024·上海嘉定·二模）数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则 ． 考点四：抽样方法 【典型例题】 例1．（2023·上海黄浦·三模）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01、02、、40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为 ． 0627  4313  2636  1547  0941  2512  6317  6323  2616  8045  6011 1410  9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607 5124  5179  3014  2310  2118  2191  3726  3890  0140  0523  2617 【即时演练】 1．（2023·上海宝山·一模）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人. A．16 B．18 C．20 D．24 2．（2020·上海闵行·模拟预测）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格: 潜伏期 （单位：天） 人数 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过天为标准进行分层抽样，若从上述名患者中抽取人，得到如下联表. 潜伏期天 潜伏期天 总计 岁以上（含岁） ① ② 岁以下 ③ 则表格中的位置分别应填入数字是（    ） A．①；②；③ B．①；②；③ C．①；②；③ D．①；②；③ 3．（2023·上海闵行·一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（    ） A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低 C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级 4．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为（    ） A．①②③④ B．①③④② C．③②①④ D．④③①② 5．（2022·上海黄浦·二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生 名． 考点五：统计图表 【典型例题】 例1．（2023·上海杨浦·一模）在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【即时演练】 1．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·上海徐汇·一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ． 3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 实战能力训练 1．（2023·上海普陀·一模）已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 2．为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（    ） A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大 C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小 3.（2023年春考14）如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（ ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大; B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大; C．从2018年开始后，进口总额逐年增大; D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 4．（2024年春考15）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 5．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（    ） A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数 6．（2023·上海普陀·三模）已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 7.（2023年春考7）某校抽取名学生测身高，其中身高最大值为，最小值，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为，且第一组下限为，则组数为 8．（2022·上海闵行·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为 ． 9．（2024·上海·模拟预测）某同学高三以来成绩依次为110，93，92，93，88，86，则这组数据的第40百分位数为 ． 10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为 ． 11．（2023·上海·模拟预测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率 ． 12．（2022·上海虹口·二模）在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 . 13．（23-24高三上·上海·期中）现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 ． 14．（2024·上海普陀·模拟预测）下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 15．（2023·上海闵行·一模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． (1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 16．（2024年春考19）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 概率初步、统计初步 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：样本空间、对立事件、互斥事件、独立事件 4 考点二：古典概型与概率计算 6 考点三：均值和方差的计算 13 考点四：抽样方法 16 考点五：统计图表 19 实战训练 22 明晰学考要求 概率初步与统计初步属于基础的考点，各占高考的3%左右。其中概率部分的重难点是概率的计算，事件的独立性、对立事件与互斥事件的判断；统计部分分层抽样，频率分布直方图、茎叶图与散点图，百分位数，方差是考察的重点。在最近的3年春考中，考察5次。 基础知识梳理 1.随机现象 具不确定性的现象称为随机现象. 2.样本空间与基本事件 定义一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间(samplespace),用表示,其中的元素称为基本事件(elementaryevent)或者样本点. 随机事件对应样本空间的一个子集. 3.必然事件、不可能事件 在一个随机试验中,有两个特别的事件.一个必然发生,称为必然事件,它对应的子集就是样本空间,即所有基本事件的集合;另外一个必然不发生,称为不可能事件,对应的子集是空集集,它们统称为确定事件,其余的称为不确定事件. 4.古典概率 古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验:（1）有限多结果;（2）等可能性. 古典概率 其中, 表示事件中的基本事件个数,而表示样本空间中的基本事件个数.上式 说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值. 5.互斥事件、对立事件 如果A与B没有共同的基本事件,即两个子集不相交:,那么这两个事件不可能同时发生,或者说互斥. “事件A发生”的否定就是“事件A不发生”,它也是一个事件,称为事件A的对立事件，简称为“非A”. 6.概率的性质 概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量. 7.频率 作伯努利试验,假设我们可以独立地重复一个伯努利试验n次,其中成功的次数记作, 那么就被称为(n次试验中)成功的频率(frequency).频率是一个数,依赖于试验次数n,它不是一个 确定的数,而是一个随机的数. 8.伯努利大数定律 9.事件的独立性 两个事件与(相互)独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积,即 10.常用结论 从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性:如果是个两两互斥的事件,那么 1.总体与样本 我们把研究对象的全体叫做总体,总体中的每一个对象叫做个体,总体中所含个体的数量,称为总体的容量.从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本,样本所含个体的数量称为样本量,也称样本容量. 2.数据的获取 (1)按照收集数据的不同方法,可以将数据分为观测数据和实验数据; (2)对总体的每个个体分别进行调查,我们称之为普查; (3)从总体中抽取样本的过程称为抽样,通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查. 3.抽样方法 (1)在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本,且总体的每一个个体都有同样的可能性被选人样本,这种抽样方法叫做简单随机抽样; （2）一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,先把总体分成若干个部分,然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本,这种抽样的方法称为分层随机抽样,简称分层抽样. 1.统计图表 （1）频率分布直方图; （2）茎叶图; （3）散点图. 2.总体的均值与方差 (1)如果总体有个数据,那么叫做总体的平均数; (2)如果总体有个数据,则叫做总体方差,而叫做总体标准差. 3.样本的均值与方差 （1）如果样本有个数据,则样本数据的平均值; (2)如果样本有个数据,则样本数据的方差. 4.估计总体的百分位数 当样本容量很大时,可以将数据分成100个部分,每一部分包含的数据.第百分位数记作(其中为1到100之间的整数),是将一组数据从小到大排列后,将数据分成两部分：小于或等于第百分位数的数据占,大于或等于第百分位数的数据占. 考点精讲讲练 考点一：样本空间、对立事件、互斥事件、独立事件 【典型例题】 例1．（2024·上海普陀·二模）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据样本空间的定义即可求解. 【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为， 所以它的一个样本空间为. 故选：B. 【即时演练】 1．（2023·上海闵行·三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ． 【答案】8 【分析】根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑3枚硬币的所有情况数． 【解析】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面， 则分别抛掷3枚硬币，（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）， 所有， 故答案为：8． 2．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】D 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【解析】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 3．（2024·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ）． A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】A 【分析】根据题意分别求出事件的概率，再根据相互独立满足的概率公式判断即可. 【解析】由题意得，甲，乙，丙， 丁. 对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确； 对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确； 对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确. 故选：A. 考点二：古典概型与概率计算 【典型例题】 例1．（2024·上海·三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为 ． 【答案】/ 【分析】这6个点数的中位数为从小往大排列后的第3个和第4个数的平均数，，得到，求相应的概率即可. 【解析】当且仅当时，这6个点数的中位数为4，的概率为， 所以这6个点数的中位数为4的概率为. 故答案为：. 例2．（2023·上海青浦·一模）2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为，进而求出甲没有拿到橙色菊花的概率. 【解析】设事件甲拿到橙色菊花， 根据题意有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆， 甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为， 所以，则甲没有拿到橙色菊花的概率. 故答案为： 例3．（2023·上海崇明·一模）已知事件与事件相互独立，如果，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案 【解析】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则 故答案为：． 例4．（2023·上海浦东新·模拟预测）如图是甲､乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 .    【答案】/ 【分析】识别茎叶图，利用平均数和古典概型求概率公式求解即可. 【解析】设被污损的数字为，则，且， 甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 因为，解得， 故的可能值有个， 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为. 故答案为： 【即时演练】 1．（2023·上海闵行·二模）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 【答案】0.2/ 【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算． 【解析】由题意． 故答案为：0.2. 2（2023·上海静安·一模）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是 ． 【答案】0.3/ 【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可. 【解析】从5根木棍中任取3个共有 种，符合条件有 3种， 能搭成一个三角形的概率 ； 故答案为： . 3．从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 . 【答案】 【分析】根据正六棱柱的特征分类讨论结合古典概型计算即可. 【解析】 选择任意一条对角线， 若第二条对角线与其在同一个侧面上，则显然与之共面，6个侧面有6组选法； 若第二条对角线与其相交且交点为棱柱的顶点，则12个顶点有12组选法； 若第二条对角线与其相交，但交点在延长线上，比如， （因为由正六棱柱的特征可知，即共面）， 即此类对角线位于间隔一个侧面的两个侧面上，即有6对侧面；； ；每组侧面上都有有2组相应对角线符合题意，共有12组选法； 若第二条对角线与其平行，如，即此类对角线位于平行的两个侧面上， 3对相应平行侧面，每个相对侧面2组平行对角线，共有6组选法， 所以共面的概率为. 故答案为：. 4．（2024·上海闵行·三模）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】利用插空法求出女生互不相邻的排法，进而得到概率. 【解析】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法， 故女生互不相邻的排法的概率为. 故答案为：. 5．（2023·上海·模拟预测）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【解析】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 6．（2024·上海崇明·二模）某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是 ．（默认每月天数相同，结果精确到0.001） 【答案】0.996 【分析】利用对立事件的概率关系可得答案. 【解析】设事件“至少有2名学生在同一月份的出生的”， ， 故答案为：0.996 7．（2022·上海·模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ； 【答案】 【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果． 【解析】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝， 故答案为：． 8．（2020·上海闵行·三模）通过手机验证码登录哈罗单车，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为 ． 【答案】/0.0035 【分析】由题意可得验证码共有10000种，首位为2的递增型验证码只要确定后三位，共有种，即可得到答案 【解析】解：∵，∴从3,4,5,6,7,8,9中选， 只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排有种， 又验证码共有10×10×10×10＝10000种， 所以首位为2的递增型验证码的概率为， 故答案为： 9．（2023·上海虹口·一模）第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为 ．（结果用分数表示） 【答案】/ 【分析】 根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解. 【解析】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能， “甲同学参加连续两天活动”共有种可能， 故甲同学参加连续两天活动的概率. 故答案为：. 10．（2023·上海浦东新·一模）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是 . 【答案】 【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率. 【解析】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率. 故答案为： 11．（2023·上海宝山·一模）一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求； (2)若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (3)若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的． 【答案】(1) (2) (3)事件与事件是独立 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）利用古典概型的概率求解；    （3）利用古典概型的概率分别求得，，判断. 【解析】（1）解：若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件. 其中事件包含个基本事件   所以； （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件   所以 （3）一次抽取张卡片,共包含个基本事件， 事件， 所以 事件，所以   当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法， 所以   因为，                                所以事件与事件是独立的． 考点三：均值和方差的计算 【典型例题】 例1．（2023·上海崇明·一模）如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得 分． 【答案】 【分析】根据平均数的求法求得平均数. 【解析】平均数为. 故答案为： 例2．（2024·上海奉贤·三模）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则下列说法正确的是（    ） A．的中位数一定等于的中位数； B．的平均数一定等于的平均数； C．的标准差一定不小于的标准差； D．的30百分位数一定不等于的30百分位数． 【答案】A 【分析】根据中位数、百分位数、平均数及标准差的定义一一判断即可. 【解析】对于A：因为的中位数为从小到大排列的第个数，设为； 又的中位数从小到大排列的第个数恰为， 所以的中位数一定等于的中位数，故A正确； 对于B：因为与不一定相等， 故的平均数与的平均数不一定相等，故B错误； 对于C：因为的极差不大于的极差， 所以的标准差不大于的标准差，故C错误； 对于D：因为，， 则的百分位数为从小到大排列的第个数，设为； 的百分位数为从小到大排列的第个数恰为， 故的百分位数一定等于的百分位数，故D正确. 故选：A 例3．（2024·上海长宁·二模）某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【分析】先利用古典概型分析的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解. 【解析】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列： 、、、、、、、， 因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为， 一共有8个数，所以比大的数有两个，则， 对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意； 对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意； 对于C，因为， 所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意； 对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意. 故选：D. 例4．（2024·上海·三模）样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的第25百分位数为 .. 【答案】10 【分析】根据百分位数的求法计算即可求解. 【解析】将样本数据从小到大排列为，则， 所以第百分位数为第3个数，即10. 故答案为：10 【即时演练】 1．（2023·上海杨浦·二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分 【答案】 【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可. 【解析】由直方图知：平均成绩为分. 故答案为： 2．（2024·上海·模拟预测）已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的计算公式，准确运算，即可求解. 【解析】由题意，可得，所以， 又由， 即， 所以. 故答案为：. 3．（2024·上海嘉定·二模）数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则 ． 【答案】9 【分析】由两组数据满足的一次函数关系，得方差间的关系，即可得结果. 【解析】数据1、2、3、4、5依次记为，数据3、6、9、12、15依次记为， 则有，所以，即. 故答案为：9 考点四：抽样方法 【典型例题】 例1．（2023·上海黄浦·三模）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01、02、、40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为 ． 0627  4313  2636  1547  0941  2512  6317  6323  2616  8045  6011 1410  9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607 5124  5179  3014  2310  2118  2191  3726  3890  0140  0523  2617 【答案】25 【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码作答. 【解析】从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过40和重复的号码， 选取的号码依次为：27，13，26，36，15，09，25，12，17，23， 所以选出来的第7个号码所对应的学生编号为25. 故答案为：25 【即时演练】 1．（2023·上海宝山·一模）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人. A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】A 【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果. 【解析】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为. 所以，该高中共有学生数为，解得. 用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为， 所以，高三年级应该抽取人. 故选：A. 2．（2020·上海闵行·模拟预测）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格: 潜伏期 （单位：天） 人数 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过天为标准进行分层抽样，若从上述名患者中抽取人，得到如下联表. 潜伏期天 潜伏期天 总计 岁以上（含岁） ① ② 岁以下 ③ 则表格中的位置分别应填入数字是（    ） A．①；②；③ B．①；②；③ C．①；②；③ D．①；②；③ 【答案】C 【分析】计算出人中潜伏期天的人数，结合表格中的数据可计算出①②③处应填入的数字. 【解析】由分层抽样可知，从上述名患者中抽取人，其中潜伏期天的人数为， 所以，①处应填的数字为，②处应填的数字为，③处应填的数字为. 故选：C. 3．（2023·上海闵行·一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（    ） A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低 C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级 【答案】D 【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案. 【解析】对选项A：高二和高三年级获奖同学共，错误； 对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误； 对选项C：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为人， 故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误； 对选项D：高一年级人数为，金奖人数为，故获金奖的同学可能都在高一年级， 正确； 故选：D 4．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为（    ） A．①②③④ B．①③④② C．③②①④ D．④③①② 【答案】B 【分析】根据随机数表法进行抽样的定义分析判断. 【解析】根据随机数表法进行抽样步骤可知，第一步将总体中的个体编号 第二步选定开始的数字， 第三步选定读数的方向， 第四步获取样本号码， 所以先后顺序应为①③④②. 故选：B 5．（2022·上海黄浦·二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生 名． 【答案】 【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数； 【解析】解：依题意可得样本中高三年级抽取了名学生， 所以该高中共有学生名学生； 故答案为： 考点五：统计图表 【典型例题】 例1．（2023·上海杨浦·一模）在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【答案】B 【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案. 【解析】甲的平均值为：， 甲的方差为： 乙的平均值为：， 乙的方差为：. 故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 故选：B 【即时演练】 1．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【解析】根据频率分布条形图可知，，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即； 故选：C 3．（2023·上海徐汇·一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ． 【答案】 【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数. 【解析】图中成绩低于60分的频率为， 则该校成绩低于60分的学生人数为（人） 故答案为： 3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据古典型概念公式可得； (2)根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【解析】（1）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为： ， ，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以； （2）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 实战能力训练 1．（2023·上海普陀·一模）已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】B 【分析】根据平均数、方差、众数和中位数的概念，并通过举反例即可判断. 【解析】对A，将原数据从小到大进行排序得1,2,3,3,5；其平均数为，众数为3，中位数为3， 若加入的数据为，则平均数，众数为3，中位数为3，平均数、众数和中位数均不变，故ACD错误； 对B，因为加入，两数后，极差变为，则数据波动程度变大，则方差一定变大，故B正确. 故选：B. 2．为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（    ） A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大 C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小 【答案】D 【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可. 【解析】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误； 甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误； 由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误； 甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确． 故选：D 3.（2023年春考14）如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（ ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大; B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大; C．从2018年开始后，进口总额逐年增大; D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【答案】C 【解析】2018年到2019年进口总额是降低的. 4．（2024年春考15）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 5．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（    ） A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数 【答案】D 【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【解析】由题意，事件为：两个点数都为奇数， 由概率指的是事件的对立事件的概率， 则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. 故选：D. 6．（2023·上海普陀·三模）已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 【答案】A 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断. 【解析】由，故选项A错误，选项B正确； 若A、独立，则，，故选项C正确； 若A、互斥，则，，故选项D正确. 故选：A. 7.（2023年春考7）某校抽取名学生测身高，其中身高最大值为，最小值，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为，且第一组下限为，则组数为 【答案】7 【解析】极差为186-154=32，组距为5，则32÷5=6.4，所以组数为7. 8．（2022·上海闵行·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为 ． 【答案】 【分析】列举出的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案. 【解析】解：因为的定义域为，关于原点对称，值域为， 所以有，或，或 或，或，或， 共6种情况； 而当和时，满足是偶函数，有2种情况， 所以是偶函数的概率． 故答案为： 9．（2024·上海·模拟预测）某同学高三以来成绩依次为110，93，92，93，88，86，则这组数据的第40百分位数为 ． 【答案】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分数的定义进行求解. 【解析】将数据从小到大排列，， ，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第40百分位数，即. 故答案为：92 10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为 ． 【答案】70 【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出. 【解析】由题意得，解得. 故答案为：70 11．（2023·上海·模拟预测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率 ． 【答案】/ 【分析】根据对立事件的知识求得正确答案. 【解析】依题意，. 故答案为： 12．（2022·上海虹口·二模）在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据古典概型的概率公式即可解出． 【解析】任意一个数，共有种可能，而这个数是奇数的可能有种，所以任取一个数，则取出的数是奇数的概率为． 故答案为：． 13．（23-24高三上·上海·期中）现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 ． 【答案】18 【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解. 【解析】依次选出的编号为： 则选出来的第6支水笔的编号为18， 故答案为：. 14．（2024·上海普陀·模拟预测）下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据古典概型求概率公式得到答案；对于②，根据平均数和方差的计算公式得到②错误；对于③，利用百分位数的定义得到答案；对于④，利用方差的性质和计算公式得到答案. 【解析】对于①，某个个体被抽到的概率为，故①正确； 对于②，，解得， 则方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30， 由于，其中第6个数为第70百分位数，即23，故③正确； 对于④，设数据的均值为， 则数据的均值为， 因为数据的方差为， 所以数据的方差为 ，故④正确； 故答案为：①③④ 15．（2023·上海闵行·一模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． (1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)，或，或，，均符合题意.理由见解析 【分析】 （1）求出从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有几种抽法，再求出抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法，根据古典概型的概率公式即可求得答案； （2）分别求出事件的概率的值或表达式，根据独立事件的乘法公式列式计算，即可求得答案. 【解析】（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有种抽法， 抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法有种， 故抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率为； （2）由题意得，，， 要使得事件A与B相互独立，则需满足, 即，即， 由于，故时，；时，； 时，，均符合题意，取其中一组即可. 16．（2024年春考19）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【难度】0.85 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$