高一数学期末模拟卷01（新高考地区专用，集合与逻辑+不等式+函数+指对函数+三角函数）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑+不等式+函数概念及其性质+指对函数+三角函数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．命题 p ：  1 5x x x    ， 2 4 5x x  ，则命题 p 的否定是（ ） A．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  B．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  C．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  D．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  【答案】B 【详解】 p ：  1 5x x x    ， 2 4 5x x  ，否定是  1 5x x x    ， 2 4 5x x  ， 故选：B 2．已知集合    | 2 10 |1 1A x x B x m x m        ， .若 RB A ， 则实数 m 的取值范围为（ ） A． 3m  B． 9m  C． 3m  或 9m  D．3 9m  【答案】A 【详解】 R { | 2 10}A x x x   或 . 因为 RB A  ，所以B A . 由于 { |1 1 }B x m x m     ，要满足B A ， 当B ，即1 1m m   ，解得 0m  . 当B  ，则有 0 1 2 1 10 m m m         .解得：0 3m  . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 综上，m 的取值范围为 3m  . 故选：A. 3．已知函数  f x 的图象如图所示，则  f x 可以为（ ） A．   3 2 x x f x  B．   2 2x x x f x   C．   2x x f x  D．   2 xf x x  【答案】A 【详解】由图可知，函数  f x 的定义域为R ，该函数为奇函数，且函数  f x 在  0,  上不单调， 对于 A 选项，函数   3 2 x f x x  的定义域为R ，    3 3 2 2x x x x f x f x         ，则函数   3 2 x f x x  为奇函数， 因为 3 1 3 22 2 42 f        ，   31 2 f  ，   93 8 f  ， 所以，    1 2f f ，    2 3f f ，则函数  f x 在  0,  上不单调，合乎要求； 对于 B 选项，对于函数   2 2x x x f x   ，有2 2 0x x  ，即2 2x x ，即 x x  ， 解得 0x  ，即函数   2 2x x x f x   的定义域为 0x x  ，不合乎要求； 对于 C 选项，函数   2x x f x  的定义域为R ，    2 2 x x x f x x f x        ，即函数   2x x f x  不是奇函数，不合乎题意； 对于 D 选项，函数   2 xf x x  的定义域为R ，    2 2x xf x x x f x        ，则函数   2 xf x x  为奇函数， 任取 1x 、  2 0,x   ，且 1 2x x ，则 1 21 22 2 2 2 0x xx x    ， 所以， 1 21 22 2 x xx x   ，即    1 2f x f x ，则函数   2 xf x x  在  0,  上为增函数， 不合乎要求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：A. 4．已知 2log 3a  ， 4log 5b  ， 2c  ，则a，b ，c的大小关系为（ ） A．a b c  B．b a c  C．b c a  D．c a b  【答案】C 【详解】依题意， 4 2log 5 log 5b   ， 22 2 2 2 1 log 5 log 6 log 5 log 6 4 b     2 2 22 2 2 2 log 5 log 61 1 1 25 ( ) (log 30) (log 32) 4 2 16 16 16      ， 因此 2 2 5 3 2 log 2 2 log 3 4 2 b a      ，所以b c a  . 故选：C 5．已知实数 0x y  ，则 2 2 3x x y xy y   的最小值为（ ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【详解】 2 2 2 3 3 , 1 x yx x x xy xy y y y           设 1 x t y   ， 0x y  ，故 0t  ，     22 2 13 1 1 3 1 4 5 2 4 5 9 tx x t t t y xy y t t t              ， 当且仅当 1 4t t  ，即 1 2 t  时，等号成立. 故选：B 6．已知关于 x的方程2sin cos 1x x  在 0, 2π 内有 2 个不同的解 ， ，则  cos   （ ） A．1 B． 1 C． 3 5 D． 3 5  【答案】D 【详解】因为  2sin cos 5sin 1x x x     ，取为锐角且 5sin 5   ， 2 5cos 5   ， 所以   5sin 5 x   ，由题意可得    5 5sin ,sin 5 5        . 因为    , 0,2π , 0, 2π      ，不妨设  ， 由     5sin sin sin 5          ，有 0  ，   π     ，即 π 2   ， 所以 2 π        ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4     2 3cos cos 2 π cos2 2sin 1 5              . 故选：D. 7．设函数    2 2 3 7f x x k x    ，  kR ，已知对于任意的  0, 2k ，若 1x ， 2x 满足  1 ,x k k a  ，  2 2 , 4x k a k a   ，有    1 2f x f x ，则正实数a的最大值为（ ） A． 2 5 B．2 C． 5 2 D．1 【答案】A 【详解】由题意得 1x ， 2x 满足  1 ,x k k a  ，  2 2 , 4x k a k a   ，有    1 2f x f x ， 则    2 2 2 21 1 2 23 7 3 7x k x x k x       ， 化简得    21 2 1 2 3 0x x x x k       ， 又因为 k a k  ，则𝑎 > 0，所以 1 2x x ， 所以  21 2 3 0x x k    ，即 21 2 3x x k   ， 又因为 1 2 2 5x x k a   ， 所以 2 3 2 5k k a   恒成立，即  2 min 5 2 3a k k   ，  0, 2k ， 对于函数    22 2 3 1 2g k k k k      ，  0, 2k ， 当𝑘 = 1时，  g k 有最小值  1 2g  ，即5 2a  ，则 2 5 a  ，故 A 正确. 故选：A. 8．已知函数    2 2 log 2 , 2 0 2 1, 0 x x f x x x x           ，若函数 2( ) [ ( ( ))] ( 1) ( ( ))g x f f x a f f x a    ( R)a 恰有 8 个不 同零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A．(0,1) B．[0,1) C． 1 (0, ) 4 D． (0,2) 【答案】A 【详解】由  2( ) ( ( )) ( 1) ( ( )) 0g x f f x a f f x a     ，得      1 0f f x f f x a         ， 解得    1f f x  或   f f x a ，作出  f x 的图象如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 则若   1f x  ，则 0x  或 2x  ，设  t f x ，由    1f f x  得   1f t  ，此时 0t  或 2t  ， 当 0t  时，   0f x t  ，有两根， 当 2t  时，   2f x t  ，有一个根，则必须有   f f x a ， 1a  有5个根， 设  t f x ，由   f f x a 得  f t a ，若 0a  ，由   0f t a  ，得 1t   或 1t  ，   1f x   有一个根，   1f x  有两个根，此时有3个根，不满足题意； 若 1a  ，由  f t a ，得 2t  ，  f x t 有一个根，不满足条件. 若 0a  ，由  f t a ，得 2 1t    ，  f x t 有一个根，不满足条件； 若0 1a  ，由  f t a ，得 11 0t   或 20 1t  或 31 2t  ， 当 11 0t   ，   1f x t 有一个根，当 20 1t  时，   2f x t 有3个根， 当 31 2t  时，   3f x t 有一个根，此时共有5个根，满足题意. 所以实数 a 的取值范围为 0,1 .故选：A. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．把函数 π sin 12 y x      图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 π 3 个单位长度， 得到函数  y f x 的图象，则（ ） A．  f x 的最小正周期为π B． 7π 3 6 2 f       C．  f x 在 π π, 12 12     上单调递增 D．  f x 关于直线 5π 6 x  对称 【答案】BCD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】易知   1 π π 1 πsin sin 2 3 12 2 12 f x x x                  ， 显然  f x 的最小正周期为 2π 4π 1 2 T   ，故 A 错误； 而 7π 7π π 2π 3 sin sin 6 12 12 3 2 f               ，故 B 正确； 当 π π , 12 12 x      时， 1 π π π , 2 12 24 8 x       ，显然此时  f x 单调递增，故 C 正确； 当 5π 6 x  时， 1 π π 2 12 2 x   ，此时  f x 取得最大值，即  f x 关于直线 5π 6 x  对称，故 D 正确. 故选：BCD. 10．下列说法正确的是（ ） A．“ 3x  ”是“ 3x  ”的必要不充分条件 B．“ 1 b a  ”的一个充分不必要条件是“ 0a b  ” C．设 Ra ，则方程 2 2 0x x a   有两个不等的负实数根的充要条件是0 1a  D．“𝑥 > 1”是“ 1 1 x  ”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【详解】对于 A，由“ 3x  ”能得出“ 3x  ”，反之不成立，故“ 3x  ”是“ 3x  ”的充分不必要条件，故 A 错误； 对于 B，由 1 b a  得 0a b a    或 0a b a    ，所以由“ 0a b  ”能得出“ 1 b a  ”，反之不成立， 故“ 1 b a  ”的一个充分不必要条件是“ 0a b  ”，故 B 正确； 对于 C，若方程 2 2 0x x a   有两个负实数根，则 22 4 0 0 2 0 a a       > ，解得：0 1a  ，故 C 正确； 对于 D， 1 1 x  等价于𝑥 > 1或 0x  ，所以“𝑥 > 1”是“ 1 1 x  ”的充分不必要条件，故 D 错误． 故选：BC. 11．已知实数 a，b，c 满足 2 2 2 1a b c   ，则下列选项正确的是（ ） A．a b c  的最大值为 3 B．bc ca 的最大值为 2 2 C．ab bc ca  的最小值为 1 D．当 a，b，  0,1c 时， 1 1 abc ab  的最小值为 8 【答案】ABD 【详解】对于 A， 2| | ( ) 1 2 2 2a b c a b c a b c ab bc ca            原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 2 2 2 2 2 21 3a b b c c a        ，当且仅当 3 3 a b c   时取等号，A 正确； 对于 B， 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 22 2 aa b c b c a bc cc        ，则 2 2 bc ca  ， 当且仅当 2 1 2 2 a b c   或 2 1 2 2 a b c    时取等号，B 正确； 对于 C，由 2 2 2 2( ) 2( ) 0a b c a b c ab bc ca         ，得 1 2 ab bc ca    ， 当且仅当 0a b c   时取等号，取 6 6, 3 6 a b c    ，则 1 2 ab bc ca    ，C 错误； 对于 D， , , (0,1)a b c ， 2 2 21 2c a b ab    ，则 2 1 2 1ab c   ，当且仅当a b 时取等号， 于是 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 ( 1) 8 11 (1 ) ( ) 2 c c cabc ab ab c c c c c             ，当且仅当 1 , 2 a b c  时取等号， 因此当 6 1 , 4 2 a b c   时， 1 1 abc ab  取得最小值 8，D 正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知幂函数      2 2 2 Raf x a a x a    在  0,  上单调递增，则实数a的值为 . 【答案】3 【详解】由题意可得 2 2 2 1 0 a a a       ，解得 3a  ， 故答案为：3 13．已知函数      sin 0f x x     满足   π 12 f x f       ，且  f x 在区间 π π, 3 3     上恰有两个最值，则实 数的取值范围为 ． 【答案】 12 , 4 5     【详解】因为   π 12 f x f       ，所以 π π sin 1 12 12 f                ， 所以 π 3π 2 π 12 2 k    ， k Z ，即 π 3π 2 π 12 2 k    ，k Z ， 所以   π 3π πsin 2 π cos 12 2 12 f x x k x                     ． 当 π π 3 3 x   时，  5π π π 0 12 12 4 x            ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 因为  f x 在区间 π π, 3 3     上恰有两个最值，且 5π π 12 4     ， 所以 0 5π 2π π 12 π 0 π 4                 ，解得 12 4 5   ．故答案为： 12 , 4 5     ． 14．设 0, 0, 2 5yx y x    ，则当 =x 时， 12 y yx  取到最大值． 【答案】 5 2 /2.5 【详解】设 12 y yM x  ，则 2 2log ( 1) logM y y x   ，设 2logz x ，则 2zx  ， 可知2 2 5z y  ， 2log ( 1) ( 1)( 1) 1M y y z y z       . 1 1 ( 1)( 1)1 1 210 2 2 2 2 2 2 z y z yz y            ，(当且仅当 z y ，即 5 2 2 yx   时取等号.) 所以 ( 1)( 1)5 2 z y  ，故 ( 1)( 1)y z  有最大值 2 2(log 5) ， 所以 2log M 就有最大值，即 12 y yM x  有最大值. 故答案为: 5 2 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，点  0, 1P  ， 7π ,0 12 Q       (1)求  f x 的解析式； (2)将  f x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再将所得图象向左平移 π 3 个单位长 度，得到  g x 的图象，求  g x 在区间 π ,0 2     上的最值. 【详解】（1）由图象知 2A  .因为  f x 的图象过点  0, 1P  ，所以2sin 1  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 又 π 2   ，所以 π 6    ， 所以   π2sin 6 f x x      . 又  f x 的图象过点 7 0π , 12 Q       ，由“五点作图法”可得 π 7 12 6 π π   ， 所以 2  . 所以   π 2sin 2 6 f x x      ....................................6 分 （2）由题意知   π π2sin 2sin 3 6 6 π g x x x                  ， 当 π ,0 2 x      时， , 6 π 6 π 3 π x       ， 所以 3 1 sin , 6 2 π 2 x            ，则2sin 3, π 1 6 x           ， 所以  g x 在区间 π ,0 2     上的最小值为 3 ，最大值为 1.....................................13 分 16．（15 分）已知函数  f x 对于任意实数 x， yR，都有      2f x y f x f y    ，且  2 4f  . (1)求  0f ，𝑓(1)的值； (2)证明：点 0,2（ ）是曲线  g f x 的一个对称中心； (3)求                2024 2023 2022 1 0 1 2022 2023f f f f f f f               2024f 的值. 【详解】（1）令 0x y  ，有      0 2 0 0f f f   ，得  0 2f  ； 令 1x y  有      2 2 1 1f f f   ， 又  2 4f  ，所以  1 3f  ；....................................5 分 （2）令 y x  ，则有      0 2f f x f x    即     4f x f x   ， 所以曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)是中心对称图形，对称中心为 0,2（ ）；....................................10 分 （3）由（2）知     4f x f x   ， 所以            2024 2023 2022 1 0 1f f f f f f                  2022 2023 2024 4 2024 2 8098f f f      .....................................15 分 17．（15 分）已知函数   3 1 3 x x f x a    为奇函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 (1)求实数a的值并判断  f x 的单调性（无需证明）； (2)若    1 3 2f n f n   ，求n 的取值范围； (3)设函数   3 3log log3 9 x x g x m   ，若对任意的  1 3,27x  ，总存在  2 0,1x  ，使得    1 2g x f x 成立，求 实数m 的取值范围. 【详解】（1）函数   3 1 3 x x f x a    中，3 0x a  ， 因为  f x 为奇函数，所以    f x f x   ，即 3 1 3 1 3 3 x x x xa a         ， 整理得   1 3 1 0xa    ，所以 1a   ，即   3 1 21 3 1 3 1 x x x f x       ， 其定义域为    , 0 0,  ， 由复合函数的单调性可知，  f x 在  ,0 和  0,  上单调递减；....................................4 分 （2）因为  f x 在  ,0 和  0,  上单调递减，并且    1 3 2f n f n   ， 所以①0 1 3 2n n    ，解得 2 1 3 n   ， ② 1 3 2 0n n    ，无解 ③ 1 0 3 2 0 n n      ，解得 3 2 n  综上所述，n 的取值范围为 2 3 1, , 3 2              ；...................................9 分 （3）   21 3 1x f x    ，当0 1x  时，0 3 1 2x   ，故 2 1 2 3 1x    ， 所以   21 3 1x f x    在  0,1 上值域为 2, ， 又     3 3 3 3log log log 1 log 23 9 x x g x m x x m        23log 3log 2x x m    ，  3, 27x ， 令 3log x t ，   1,3t ，则 2 2 3 13 2 2 4 y t t m t m            ， 所以当 3 2 t  时， min 1 4 y m   ，当 3t  时， max 2y m  ， 所以函数  g x 在 3, 27 上值域为 1 , 2 4 m m      ， 因为对任意的  1 3,27x  ，总存在  2 0,1x  ，使得    1 2g x f x 成立， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 所以  1 , 2 2, 4 m m        ，所以 1 2 4 m   ，解得 9 4 m  ， 所以实数m 的取值范围为 9 , 4    .....................................15 分 18．（17 分）已知函数    2 1log 2 2 xf x t ax   . (1)当 0a  ， 2t  时，求函数  f x 的值域； (2)当 2a  时，若方程  f x x 有两个不相等的实根 1x ， 2x ，且 1 2x x . ①求 t 的取值范围； ②证明：    1 21 1 1f x f x     . 【详解】（1）当 0a  ， 2t  时，    2log 2 2xf x   ， 令 2 2xu   ，则 2u  ， 则   2log 2f x  ，即   1f x  ， 故函数  f x 的值域为(1,+∞)；....................................3 分 （2）当 2a  时，    2log 2xf x t x   ， ①因为  f x x 有两个不相等的实根，即  2log 2 2x t x  有两个不相等的实根，     22 2 2log 2 2 log 2 log 2x x xt x t     ， 即  22 2x x t  ， 设  2 0,xm    ，即 y t 与 2y m m  有两个不同的交点， 其中当 1 0, 2 m      时， 2y m m  单调递减， 当 1 , 2 m       时， 2y m m  单调递增，其中 min 1 4 y   ， 当 0m  时， 0y  ，结合图像可知 1 ,0 4 t       ；....................................9 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ②由①可知  22 2 0x x t   ，所以 1 22 2 1x x  ， 1 2 1 22 2 2x x x x t    ， 且满足 1 ,0 4 t       ， 1 2 1 0 2 2 1 2 x x    ，即 1 21 0x x    .....................................11 分              1 21 11 2 2 1 2 21 1 log 2 1 log 2 1x xf x f x t x t x               1 22 1 21log 2 2 22 x xt t x x               1 2 1 2 22 2 1 log 2 2 2 2 2 log 2 x x x xt t t                 2 222 2 2 3 3 log 1 2 log log 2 1 2 2 x xt t t t                       .................................14 分 .又  2 222 2x x t  ， 所以     2 2 221 2 2 3 1 1 log 2 1 2 2 2 x x xf x f x             2 2 2 2 2 2 2 5 5 9 log 2 2 1 log 2 2 4 16 x x x                        ， 因为 2 1 2 1 2 x  ，所以 2 3 5 1 4 4 4 2x    ， 2 2 1 5 9 2 16 4 16 x       ， 故 2 2 2 2 5 9 1 log 2 log 1 4 16 2 x               .即证出    1 21 1 1f x f x     ....................................17 分 19．（17 分）对于正整数n ，如果  *Nk k  个整数 1 2, , ka a a 满足 1 21 ka a a n     ，且 1 2 ka a a n    ， 则称数组  1 2, , ka a a 为 n 的一个“正整数分拆”.记 1 2, , ka a a 均为偶数的“正整数分拆”个数为 1 2, , ,n kf a a a 均 为奇数的“正整数分拆”个数为 ng . (1)写出整数 4 的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数  4n n  ，设  1 2, , ka a a 是n 的一个“正整数分拆”，且 1 2a  ，求 k 的最大值； (3)对所有的正整数n ，证明： n nf g ；并求出使得等号成立的 n 的值. 【详解】（1）整数 4 的所有“正整数分拆”为：          1,1,1,1 , 1,1,2 , 1,3 , 2,2 , 4 .....................................3 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （2）当n 为偶数时， 1 2 3 2ka a a a     时， k 最大为 2 n k  ； 当 n 为奇数时， 1 2 3 1 2, 3k ka a a a a      时， k 最大为 1 2 n k   ； 综上所述：n 为偶数， k 最大为 , 2 n k n 为奇数时，k 最大为 1 2 n k   .....................................9 分 （3）当n 为奇数时， 0nf  ，至少存在一个全为 1 的拆分，故 n nf g ； 当 n 为偶数时，设  1 2, , , ka a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了  1,1, ,1 和  1 21,1, , 1, 1, , 1ka a a    的均为奇数的“正整数分拆”， 故 n nf g .综上所述： n nf g . 当 2n  时，偶数“正整数分拆”为（2），奇数“正整数分拆”为   2 21,1 , 1f g  ； 当 4n  时，偶数“正整数分拆”为    2,2 , 4 ，奇数“正整数分拆”为    1,1,1,1 , 1,3 ，故 4 4 2f g  ； 当 6n  时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为 1 的奇数拆分外， 至少多出一项各项均为 1 的“正整数分拆”，故 n nf g . 综上所述：使 n nf g 成立的n 为： 2n  或 4n  .....................................17 分 2024-2025学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑+不等式+函数概念及其性质+指对函数+三角函数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题：，，则命题的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．已知函数的图象如图所示，则可以为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（    ） A．1 B． C． D． 7．设函数，，已知对于任意的，若，满足，，有，则正实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 11．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 13．已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ． 14．设，则当 时，取到最大值． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 16．（15分）已知函数对于任意实数，，都有，且. (1)求，的值； (2)证明：点是曲线的一个对称中心； (3)求的值. 17．（15分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 19．（17分）对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为. (1)写出整数4的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值； (3)对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑+不等式+函数概念及其性质+指对函数+三角函数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．命题 p：  1 5x x x    ， 2 4 5x x  ，则命题 p的否定是（ ） A．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  B．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  C．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  D．  1 5x x x    ， 2 4 5x x  2．已知集合    | 2 10 |1 1A x x B x m x m        ， .若 RB A ， 则实数 m的取值范围为（ ） A． 3m  B． 9m  C． 3m  或 9m  D．3 9m  3．已知函数  f x 的图象如图所示，则  f x 可以为（ ） A．   3 2 x x f x  B．   2 2x x x f x   C．   2x x f x  D．   2 xf x x  4．已知 2log 3a  ， 4log 5b  ， 2c  ，则a，b，c的大小关系为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．a b c  B．b a c  C．b c a  D．c a b  5．已知实数 0x y  ，则 2 2 3x x y xy y   的最小值为（ ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．已知关于 x的方程2sin cos 1x x  在 0, 2π 内有 2 个不同的解 ， ，则  cos   （ ） A．1 B． 1 C． 3 5 D． 3 5  7．设函数    2 2 3 7f x x k x    ，  kR ，已知对于任意的  0, 2k ，若 1x ， 2x 满足  1 ,x k k a  ，  2 2 , 4x k a k a   ，有    1 2f x f x ，则正实数a的最大值为（ ） A． 2 5 B．2 C． 5 2 D．1 8．已知函数    2 2 log 2 , 2 0 2 1, 0 x x f x x x x           ，若函数 2( ) [ ( ( ))] ( 1) ( ( ))g x f f x a f f x a    ( R)a 恰有 8 个不 同零点，则实数 a的取值范围是（ ） A．(0,1) B．[0,1) C． 1 (0, ) 4 D． (0,2) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．把函数 π sin 12 y x      图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 π 3 个单位长度， 得到函数  y f x 的图象，则（ ） A．  f x 的最小正周期为π B． 7π 3 6 2 f       C．  f x 在 π π, 12 12     上单调递增 D．  f x 关于直线 5π 6 x  对称 10．下列说法正确的是（ ） A．“ 3x  ”是“ 3x  ”的必要不充分条件 B．“ 1 b a  ”的一个充分不必要条件是“ 0a b  ” C．设 Ra ，则方程 2 2 0x x a   有两个不等的负实数根的充要条件是0 1a  D．“𝑥 > 1”是“ 1 1 x  ”的既不充分又不必要条件 11．已知实数 a，b，c满足 2 2 2 1a b c   ，则下列选项正确的是（ ） A．a b c  的最大值为 3 B．bc ca 的最大值为 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．ab bc ca  的最小值为 1 D．当 a，b，  0,1c 时， 1 1 abc ab  的最小值为 8 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知幂函数      2 2 2 Raf x a a x a    在  0,  上单调递增，则实数a的值为 . 13．已知函数      sin 0f x x     满足   π 12 f x f       ，且  f x 在区间 π π, 3 3     上恰有两个最值，则实 数的取值范围为 ． 14．设 0, 0, 2 5yx y x    ，则当 =x 时， 12 y yx  取到最大值． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，点  0, 1P  ， 7π ,0 12 Q       (1)求  f x 的解析式； (2)将  f x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再将所得图象向左平移 π 3 个单位长 度，得到  g x 的图象，求  g x 在区间 π ,0 2     上的最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分）已知函数  f x 对于任意实数 x， yR，都有      2f x y f x f y    ，且  2 4f  . (1)求  0f ，𝑓(1)的值； (2)证明：点 0,2（ ）是曲线  g f x 的一个对称中心； (3)求                2024 2023 2022 1 0 1 2022 2023f f f f f f f               2024f 的值. 17．（15 分）已知函数   3 1 3 x x f x a    为奇函数. (1)求实数a的值并判断  f x 的单调性（无需证明）； (2)若    1 3 2f n f n   ，求n的取值范围； (3)设函数   3 3log log3 9 x x g x m   ，若对任意的  1 3,27x  ，总存在  2 0,1x  ，使得    1 2g x f x 成立，求 实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（17 分）已知函数    2 1log 2 2 xf x t ax   . (1)当 0a  ， 2t  时，求函数  f x 的值域； (2)当 2a  时，若方程  f x x 有两个不相等的实根 1x ， 2x ，且 1 2x x . ①求 t的取值范围； ②证明：    1 21 1 1f x f x     . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 19．（17 分）对于正整数n，如果  *Nk k 个整数 1 2, , ka a a 满足 1 21 ka a a n     ，且 1 2 ka a a n    ， 则称数组  1 2, , ka a a 为 n的一个“正整数分拆”.记 1 2, , ka a a 均为偶数的“正整数分拆”个数为 1 2, , ,n kf a a a 均 为奇数的“正整数分拆”个数为 ng . (1)写出整数 4 的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数  4n n  ，设  1 2, , ka a a 是n的一个“正整数分拆”，且 1 2a  ，求 k的最大值； (3)对所有的正整数n，证明： n nf g ；并求出使得等号成立的 n的值. 2024-2025学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑+不等式+函数概念及其性质+指对函数+三角函数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题：，，则命题的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】：，，否定是，， 故选：B 2．已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数的图象如图所示，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，函数的定义域为，该函数为奇函数，且函数在上不单调， 对于A选项，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 因为，，， 所以，，，则函数在上不单调，合乎要求； 对于B选项，对于函数，有，即，即， 解得，即函数的定义域为，不合乎要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数不是奇函数，不合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以，，即，则函数在上为增函数， 不合乎要求. 故选：A. 4．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 5．已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【详解】 设，，故， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 6．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，取为锐角且，， 所以，由题意可得. 因为，不妨设， 由，有，，即， 所以， . 故选：D. 7．设函数，，已知对于任意的，若，满足，，有，则正实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由题意得，满足，，有， 则， 化简得， 又因为，则，所以， 所以，即， 又因为， 所以恒成立，即，， 对于函数，， 当时，有最小值，即，则，故A正确. 故选：A. 8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 解得或，作出的图象如图， 则若，则或，设，由得，此时或， 当时，，有两根， 当时，，有一个根，则必须有，有个根， 设，由得，若，由，得或， 有一个根，有两个根，此时有个根，不满足题意； 若，由，得，有一个根，不满足条件. 若，由，得，有一个根，不满足条件； 若，由，得或或 ， 当，有一个根，当时，有个根， 当时，有一个根，此时共有个根，满足题意. 所以实数a的取值范围为.故选：A. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 【答案】BCD 【详解】易知， 显然的最小正周期为，故A错误； 而，故B正确； 当时，，显然此时单调递增，故C正确； 当时，，此时取得最大值，即关于直线对称，故D正确. 故选：BCD. 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 11．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 【答案】ABD 【详解】对于A， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则， 当且仅当或时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，取，则，C错误； 对于D，，，则，当且仅当时取等号， 于是，当且仅当时取等号， 因此当时，取得最小值8，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 【答案】3 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：3 13．已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，即，， 所以． 当时，． 因为在区间上恰有两个最值，且， 所以，解得．故答案为：． 14．设，则当 时，取到最大值． 【答案】/2.5 【详解】设，则，设 ，则， 可知，. ，(当且仅当，即时取等号.) 所以，故有最大值， 所以就有最大值，即有最大值. 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 【详解】（1）由图象知.因为的图象过点，所以 又，所以， 所以. 又的图象过点，由“五点作图法”可得， 所以. 所以....................................6分 （2）由题意知， 当时，， 所以，则， 所以在区间上的最小值为，最大值为1.....................................13分 16．（15分）已知函数对于任意实数，，都有，且. (1)求，的值； (2)证明：点是曲线的一个对称中心； (3)求的值. 【详解】（1）令，有，得； 令有， 又，所以；....................................5分 （2）令，则有即， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为；....................................10分 （3）由（2）知， 所以 .....................................15分 17．（15分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减；....................................4分 （2）因为在和上单调递减，并且， 所以①，解得， ②，无解 ③，解得 综上所述，的取值范围为；...................................9分 （3），当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为.....................................15分 18．（17分）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 【详解】（1）当，时，， 令，则， 则，即， 故函数的值域为；....................................3分 （2）当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即， 设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知；....................................9分    ②由①可知，所以，， 且满足，，即.....................................11分 .................................14分 .又， 所以， 因为，所以，， 故.即证出....................................17分 19．（17分）对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为. (1)写出整数4的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值； (3)对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. 【详解】（1）整数4的所有“正整数分拆”为：.....................................3分 （2）当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：为偶数，最大为为奇数时，最大为.....................................9分 （3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故.综上所述：. 当时，偶数“正整数分拆”为（2），奇数“正整数分拆”为； 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外， 至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故. 综上所述：使成立的为：或.....................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … 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 B．   2 2x x x f x   C．   2x x f x  D．   2 xf x x  4．已知 2log 3a  ， 4log 5b  ， 2c  ，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a b c  B．b a c  C．b c a  D．c a b  5．已知实数 0x y  ，则 2 2 3x x y xy y   的最小值为（ ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．已知关于 x的方程2sin cos 1x x  在 0, 2π 内有 2 个不同的解 ， ，则  cos   （ ） A．1 B． 1 C． 3 5 D． 3 5  7．设函数    2 2 3 7f x x k x    ，  kR ，已知对于任意的  0, 2k ，若 1x ， 2x 满足  1 ,x k k a  ，  2 2 , 4x k a k a   ，有    1 2f x f x ，则正实数a的最大值为（ ） A． 2 5 B．2 C． 5 2 D．1 8．已知函数    2 2 log 2 , 2 0 2 1, 0 x x f x x x x           ，若函数 2( ) [ ( ( ))] ( 1) ( ( ))g x f f x a f f x a    ( R)a 恰有 8 个不 同零点，则实数 a的取值范围是（ ） A．(0,1) B．[0,1) C． 1 (0, ) 4 D． (0,2) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．把函数 π sin 12 y x      图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 π 3 个单位长度， 得到函数  y f x 的图象，则（ ） A．  f x 的最小正周期为π B． 7π 3 6 2 f       C．  f x 在 π π, 12 12     上单调递增 D．  f x 关于直线 5π 6 x  对称 10．下列说法正确的是（ ） A．“ 3x  ”是“ 3x  ”的必要不充分条件 B．“ 1 b a  ”的一个充分不必要条件是“ 0a b  ” C．设 Ra ，则方程 2 2 0x x a   有两个不等的负实数根的充要条件是0 1a  D．“𝑥 > 1”是“ 1 1 x  ”的既不充分又不必要条件 11．已知实数 a，b，c满足 2 2 2 1a b c   ，则下列选项正确的是（ ） A．a b c  的最大值为 3 B．bc ca 的最大值为 2 2 C．ab bc ca  的最小值为 1 D．当 a，b，  0,1c 时， 1 1 abc ab  的最小值为 8 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知幂函数      2 2 2 Raf x a a x a    在  0,  上单调递增，则实数a的值为 . 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．已知函数      sin 0f x x     满足   π 12 f x f       ，且  f x 在区间 π π, 3 3     上恰有两个最值，则 实数的取值范围为 ． 14．设 0, 0, 2 5yx y x    ，则当 =x 时， 12 y yx  取到最大值． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，点  0, 1P  ， 7π ,0 12 Q       (1)求  f x 的解析式； (2)将  f x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再将所得图象向左平移 π 3 个单位 长度，得到  g x 的图象，求  g x 在区间 π ,0 2     上的最值. 16．（15 分）已知函数  f x 对于任意实数 x， yR，都有      2f x y f x f y    ，且  2 4f  . (1)求  0f ，𝑓(1)的值； (2)证明：点 0,2（ ）是曲线  g f x 的一个对称中心； (3)求                2024 2023 2022 1 0 1 2022 2023f f f f f f f               2024f 的值. 17．（15 分）已知函数   3 1 3 x x f x a    为奇函数. (1)求实数a的值并判断  f x 的单调性（无需证明）； (2)若    1 3 2f n f n   ，求n的取值范围； (3)设函数   3 3log log3 9 x x g x m   ，若对任意的  1 3,27x  ，总存在  2 0,1x  ，使得    1 2g x f x 成立，求 实数m的取值范围. 18．（17 分）已知函数    2 1log 2 2 xf x t ax   . (1)当 0a  ， 2t  时，求函数  f x 的值域； (2)当 2a  时，若方程  f x x 有两个不相等的实根 1x ， 2x ，且 1 2x x . ①求 t的取值范围； ②证明：    1 21 1 1f x f x     . 19．（17 分）对于正整数n，如果  *Nk k 个整数 1 2, , ka a a 满足 1 21 ka a a n     ，且 1 2 ka a a n    ， 则称数组  1 2, , ka a a 为 n的一个“正整数分拆”.记 1 2, , ka a a 均为偶数的“正整数分拆”个数为 1 2, , ,n kf a a a 均为奇数的“正整数分拆”个数为 ng . (1)写出整数 4 的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数  4n n  ，设  1 2, , ka a a 是n的一个“正整数分拆”，且 1 2a  ，求 k的最大值； (3)对所有的正整数n，证明： n nf g ；并求出使得等号成立的 n的值. 2024-2025学年高一数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A C B D A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．3 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由图象知.因为的图象过点，所以 又，所以， 所以. 又的图象过点，由“五点作图法”可得， 所以. 所以....................................6分 （2）由题意知， 当时，， 所以，则， 所以在区间上的最小值为，最大值为1.....................................13分 16．（15分） 【详解】（1）令，有，得； 令有， 又，所以；....................................5分 （2）令，则有即， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为；....................................10分 （3）由（2）知， 所以 .....................................15分 17．（15分） 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减；....................................4分 （2）因为在和上单调递减，并且， 所以①，解得， ②，无解 ③，解得 综上所述，的取值范围为；...................................9分 （3），当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为.....................................15分 18．（17分） 【详解】（1）当，时，， 令，则， 则，即， 故函数的值域为；....................................3分 （2）当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即， 设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知；....................................9分    ②由①可知，所以，， 且满足，，即.....................................11分 .................................14分 .又， 所以， 因为，所以，， 故.即证出....................................17分 19．（17分） 【详解】（1）整数4的所有“正整数分拆”为：.....................................3分 （2）当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：为偶数，最大为为奇数时，最大为.....................................9分 （3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故.综上所述：. 当时，偶数“正整数分拆”为（2），奇数“正整数分拆”为； 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外， 至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故. 综上所述：使成立的为：或.....................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑+不等式+函数概念及其性质+指对函数+三角函数。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题：，，则命题的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．已知函数的图象如图所示，则可以为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（    ） A．1 B． C． D． 7．设函数，，已知对于任意的，若，满足，，有，则正实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 11．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 13．已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ． 14．设，则当 时，取到最大值． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 16．（15分）已知函数对于任意实数，，都有，且. (1)求，的值； (2)证明：点是曲线的一个对称中心； (3)求的值. 17．（15分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 19．（17分）对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为. (1)写出整数4的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值； (3)对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！