高二数学期末模拟卷01（新高考地区专用，空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 2．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线方程可得， 由于倾斜角为，则直线的斜率， 故. 故选：B． 3．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误. ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线； 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误. 所以正确的有0个. 故选：A 4．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 5．已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【详解】直线过定点，直线，即过定点， 又，即直线与直线垂直， 因此，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为5. 故选：C 6．已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 【答案】A 【详解】由题意，，且， 所以，解得， 所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率. 故选：A. 7．如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（   ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．到直线的距离为 【答案】C 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，,2,， 对于A，，故，故， 即直线和所成的角为，故A正确； 对于B，易得四面体为正四面体，则，故B正确； 对于C，，设平面的法向量为， 则，有，令，则， 故点到平面的距离，故C错误； 对于D， 则到直线的距离为，故D正确． 故选：C 8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，根据双曲线性质可知，所以 ，，又因.所以为直角三角形，可得， 所以可得，解之可得或（舍），可求出， 在中根据余弦定理,， 解之可得，所以.故选：C 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线与圆相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 【答案】BCD 【详解】对于A，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A错误； 对于B，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B正确； 对于C，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C正确； 对于D，依题意，在上， 而可理解为圆上的点与点的距离， 由图知，故D正确. 故选：BCD. 10．已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AB 【详解】由题意知，，解得， 所以双曲线方程为， 所以焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，故A项正确，B项正确； 对于C项，因为，所以点不在双曲线上，故C项错误； 对于D项，由整理得，所以直线恒过点， 又因为，所以点在双曲线内， 所以当时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故D项错误. 故选：AB. 11．无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项 D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项 【答案】ACD 【详解】A选项，为等差数列，且，则， 所以，则当时，，所以单调递增，A正确； B选项，为等比数列，且，则，解得，所以为摆动数列， 当为奇数时，，当为偶数时，， 其中当时，，故不单调，B错误； C选项，为等差数列，且对任意，均有，当时，， 若公差，存在且，使得，故，所以与矛盾，舍去，当公差时，，满足，此时的最小值为，满足要求， 当公差时，，满足，此时的最小值为，满足要求，故C正确； D选项，当时，，，若公比，此时，满足，存在最小值， 若，则有，即，若，此时，需满足， 若，当为偶数时，，不合要求，若，当为偶数时，，不合要求， 若，满足，，当为偶数时，，当为奇数时，， 此时,当为偶数时，，即，当为奇数时，，即， 故，又，故，每四项分为一组，进行研究，可得，且， ……，且，故存在最小值，若，此时，，故存在最小值， 若，此时，，故存在最小值， 综上，若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】116 【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为2，公差为6的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：116 13．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为， 所以，得到，又正三棱柱的高为2， 所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心， 又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为， 则， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当与（或）重合时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于，则， 此时，得到. 故答案为： 14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得， 连接，则，则点为上靠近点的三等分点，所以， 所以，设，则，由椭圆定义可知：，即， 所以，所以，，,故点与上顶点重合， 在中，由余弦定理得：， 在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点．.............................6分 （2）由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为..............................13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是， 又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD， 平面ABCD， 是四棱锥的高， 设，则，矩形的面积， ，，.............................2分 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则即， 令，则，，. 同理可得平面SCD的一个法向量为. ，平面平面SCD..............................7分 （2）存在. 设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则， 令，则，， ，.............................11分 易知平面SAD的一个法向量为， . ，， 存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点..............................15分 17．（15分）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，.............................4分 （2）因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，.............................9分 （3）因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立， 所以，，即实数的取值范围为．.............................15分 18．（17分）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为..............................4分 （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为；.............................9分 （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或，.............................14分 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点..............................17分 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为..............................4分 （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则，.............................7分 所以 .② 由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以，.............................10分 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 所以，当且仅当，即时取得等号， 所以，即，综上所述，的取值范围是..............................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 ,x yR ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 2,2c   ，且a c ， / /b  c  ，则 x y 的值为（ ） A． 1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 2,2c   ， 由a c   ，则2 2 2 0x    ，解得 0x  ， 由 / /b  c  ，则 1 1 2 2 2 y    ，解得 1y   ，则 1x y   ． 故选：A． 2．直线  2 32sin 1 1 0 3 x y     的倾斜角 的取值范围为（ ） A． π 0, 3      B． π 2π 0, , π 3 3            C． π 2π π 0, , π 3 3 2                D． 2π , π 3     【答案】B 【详解】由直线方程 2 32sin 1 1 0 3 x y     可得 22sin 1 3 3 3 y x      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 由于倾斜角为 ，则直线的斜率   2 22sin 1tan 3 2sin 1 3cos2 3, 3 3 3             ， 故 π 2π 0, , π 3 3             . 故选：B． 3．下列说法正确的个数是（ ） ①动点 ( , )P x y 满足 2 2 2 2( 2) ( 2) 4x y x y      ，则 P的轨迹是椭圆 ②动点 ( , )P x y 满足 2 2 2 2( 2) ( 2) 5x y x y      ，则 P的轨迹是双曲线 ③动点 ( , )P x y 满足到 y轴的距离比到 (1,0)F 的距离小 1，则 P的轨迹是抛物线 ④动点 ( , )P x y 满足 2 2( 2) 5 0x x y    ，则 P的轨迹是圆和一条直线（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①， 2 2 2 2( 2) ( 2) 4x y x y      表示点  ,x y 与点    0, 2 , 0, 2 的距离和为4 ， 而    0, 2 , 0, 2 两点的距离为4 ，所以 P点轨迹是    0, 2 , 0, 2 两点间的线段，①错误. ②， 2 2 2 2( 2) ( 2) 5x y x y      表示点  ,x y 与点    0, 2 , 0, 2 的距离和为5， 而    0, 2 , 0, 2 两点的距离为4 ，5 3 ，所以 P点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点 ( , )P x y 满足到 y轴的距离比到 (1,0)F 的距离小 1， 当点 ( , )P x y 在 y轴左侧或在 y轴上时则动点 ( , )P x y 满足到直线 1x   的距离和到 (1,0)F 的距离相等，则 P 的轨迹是抛物线； 当点 ( , )P x y 在 y轴右侧时，此时 P的轨迹是射线  0 0y x  ，③不正确. ④，动点 ( , )P x y 满足 2 2( 2) 5 0x x y    ， 则 2 2 2 0 5 x x y      或 2 2 5x y  ， 2 2 2 0 5 x x y      表示的是直线 2 0x   在 2 2 5x y  圆外和圆上的部分； 2 2 5x y  表示一个圆，所以 P的轨迹是圆和两条射线，④错误. 所以正确的有 0 个. 故选：A 4．已知 nS 为数列 na 的前n项和，且 2 2n nS a  ，若 22log 3n na a   对任意正整数n恒成立，则实数的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 最小值为（ ） A．4 B． 7 2 C．3 D． 5 2 【答案】D 【详解】由 2 2n nS a  ，令 1n  ，解得 1 2a  ， 当 2n  时，由 1 1 2 2 2 2 n n n n S a S a       ，得 1 12 2n n n n na S S a a     ，即 1 2( 2)n n a n a    ， 所以数列 na 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 2nna  ， 由 22log 3n na a   ，即 2 3 2n n  恒成立，令 nc  2 3 2n n  ，则  maxnc  ， 而 1 1 1 2 0 2n n n n c c       ，所以 1n nc c  ，即数列 nc 单调递减，故   1max 5 2n c c  ， 所以 5 2   ，所以的最小值为 5 2 . 故选：D 5．已知 Rm ，过定点A 的动直线 0mx y  和过定点 B的动直线 3 0x my m    交于点 P，则 PA PB 的 最大值为（ ） A． 5 B． 10 C．5 D．10 【答案】C 【详解】直线 0mx y  过定点 (0,0)A ，直线 3 0x my m    ，即 ( 3) ( 1) 0x m y    过定点 ( 3, 1)B   ， 又 1 1 ( ) 0m m     ，即直线 0mx y  与直线 3 0x my m    垂直， 因此 2 2 2| | | | | | 10PA PB AB   ，则 2 2 5 | 2 | | | PA P PA PB B     ， 当且仅当 | | | |PA PB 时取等号，所以 PA PB 的最大值为 5. 故选：C 6．已知  5, , 5a m ， 1, ,1 2 b n        ，且 //a b  ，则m和 n可分别作为（ ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 【答案】A 【详解】由题意  5, , 5a m ， 1, ,1 2 b n        ，且 //a b  ， 所以 5 5 1 1 2 m n   ，解得 5 1 2 m n   ， 所以m和 n可分别作为双曲线和抛物线的离心率. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 7．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为2， AD的中点为E，则下列说法不正确的是（ ） A．直线 1DC和 1BC 所成的角为 π 3 B．四面体 1 1BDC A 的体积是 8 3 C．点 1A到平面 1BEC 的距离为 4 3 3 D． 1C 到直线 BE 的距离为 6 5 5 【答案】C 【详解】建立如图所示空间直角坐标系Dxyz， 则 (0D ,0, 0) ， (2B ,2, 0) ， (0C ,2, 0) ， 1(0D ,0, 2) ， 1(2A ,0, 2) ， 1(2B ,2, 2) ， 1(0C ,2, 2) ，  1,0,0E 对于 A， 1 1(0,2, 2), ( 2,0,2)DC BC      ，故 1 1 4 1 cos , 22 2 2 2 DC BC         ，故 1 1 2π , 3 DC BC    ， 即直线 1DC和 1BC 所成的角为 π 3 ，故 A 正确； 对于 B，易得四面体 1 1BDC A 为正四面体，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 4 8 4 2 2 2 3 2 3BDC A ABCD A B C D B A B C V V V           ，故 B 正确； 对于 C， 1 1(0, 2, 2), (1,2,0), ( 2,0,2)BA EB BC        ，设平面 1BEC 的法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 1 n EB n BC       ，有 1 2 0 2 2 0 n EB x y n BC x z              ，令 2x  ，则 (2, 1,2)n    ， 故点 1A到平面 1BEC 的距离 1| | | 2 4 | 2 | | 3 BA n d n         ，故 C 错误； 对于 D， 1(1,2,0), ( 2,0,2)EB BC     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 则 1C 到直线 BE 的距离为   2 2 2 1 1 2 0 0 6 5 8 55 BE BC BC BE                      ，故 D 正确． 故选：C 8．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，点A 在C上，点 B在 y 轴上， 1 1F A FB   ， 2 2 2 3 F A F B    ，则C的离心率为（ ） A． 5 2 B． 6 C． 3 5 5 D． 6 2 【答案】C 【详解】设 2 2 , 0F A m m   ， 2 2 2 3 F A F B    ，则 21 3F B F B m    ，根据双曲线性质可知 21 2F A aAF    ， 所以 1 2 2F A a m   ， 2 2 5mAB F A F B      ，又因 1 1F A FB   .所以 1ABF 为直角三角形，可得 2 2 2 1 1F A BBF A     ， 所以可得      2 2 22 2 3 5a m m m   ，解之可得a m 或 3a m  （舍），可求出 1 2 1 4 cos 5A F AF F A B      ， 在 1 2AF F△ 中根据余弦定理, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 21 16 4 4 4 cos 16 52 F A F FF F A F A m m c F AF mA               ， 解之可得 3 5 3 5 5 5 c m a  ，所以 3 5 5 c e a   .故选：C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．若一个以 (2, 4) 为圆心，4 为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A．直线 0x  与圆相切 B．圆关于直线 2y x  对称 C．对 Ra  ，直线 2 1 0ax y a    与圆都相交 D． ( , )P x y 为圆上任意一点，则 2 2( 1)x y  的最大值为 9 【答案】BCD 【详解】对于 A，因圆心 4(2, )C  到直线 0x  的距离为 2，小于半径 4，即直线 0x  与圆相交，故 A 错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 对于 B，因圆心 (2, 4) 在直线 2y x  上，故圆关于直线 2y x  对称，即 B 正确； 对于 C，对 Ra  ，直线 2 1 0ax y a    即 ( 2) 1 0a x y    ，则直线经过定点 (2, 1) ， 而该点在圆 2 2( 2) ( 4) 16x y    内，故 Ra  ，直线 2 1 0ax y a    与圆都相交，即 C 正确； 对于 D，依题意， ( , )P x y 在 2 2: ( 2) ( 4) 16C x y    上， 而 2 2( 1)x y  可理解为圆上的点 ( , )P x y 与点 ( 1,0)A  的距离d， 由图知 2 2max | | (2 1) ( 4) 4 9d CA r        ，故 D 正确. 故选：BCD. 10．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的离心率 3e  ，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为 3 1 ， 则（ ） A．双曲线 C的焦点坐标为 ( 3,0) B．双曲线 C的渐近线方程为 2y x  C．点 (2, 2)在双曲线 C上 D．直线 2 0( R)mx y m m    与双曲线 C恒有两个交点 【答案】AB 【详解】由题意知， 2 2 2 3 3 1 c e a c a c a b            ，解得 1 2 3 a b c      ， 所以双曲线方程为 2 2 1 2 y x   ， 所以焦点坐标为 ( 3,0) ，双曲线渐近线方程为 2y x  ，故 A 项正确，B 项正确； 对于 C 项，因为 2 2 ( 2)2 1 2   ，所以点 (2, 2)不在双曲线上，故 C 项错误； 对于 D 项，由 2 0mx y m   整理得 ( 2) 0m x y   ，所以直线 2 0mx y m   恒过点 (2,0)， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 又因为 2 2 02 1 2   ，所以点 (2,0)在双曲线内， 所以当 2m   时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故 D 项错误. 故选：AB. 11．无穷项数列 na 它的前 n项和为 nS ，则下列说法正确的是（ ） A．若 na 为等差数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 nS 单调递增 B．若 na 为等比数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 nS 单调递增 C．若 na 为等差数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小项 D．若 na 为等比数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小项 【答案】ACD 【详解】A 选项， na 为等差数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 2 1 0a a   ， 所以 2 1 0d a a   ，则当 2n  时， 1 0n n nS S a   ，所以 nS 单调递增，A 正确； B 选项， na 为等比数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 2 1 1 0a a q a    ，解得 1q   ，所以 na 为摆动数列， 当 n为奇数时， 0na  ，当n为偶数时， 0na  ， 其中当 2n  时， 1n n nS S a  ，故 nS 不单调，B 错误； C 选项， na 为等差数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，当 1n  时， 1 1 0a S  ， 若公差 0d  ，存在 1 2 1 a m d   且 *mN ，使得  1 12 1 0ma a a m d     ，故  1 0 2 m m m a a S    ，所以与 0nS  矛盾，舍去，当公差 0d  时， 1 0na a  ，满足 0nS  ，此时 nS 的最小值为 1S ，满足要求， 当公差 0d  时，  1 1 0na a n d    ，满足 0nS  ，此时 nS 的最小值为 1S ，满足要求，故 C 正确； D 选项，当 1n  时， 1 1 0a S  ， 0nS  ，若公比 1q  ，此时 1 1 0a S  ，满足 0nS  ， nS 存在最小值 1S ， 若 1q  ，则有  1 1 0 1 na q q    ，即 1 0 1 nq q    ，若 0q  ，此时1 0q  ，需满足1 0nq  ， 若 1q   ，当n为偶数时，1 0nq  ，不合要求，若 1q   ，当n为偶数时，1 0nq  ，不合要求， 若 1 0q   ，满足1 0nq  ， 1 0 1 nq q    ，当n为偶数时， 11 0 n na a q   ，当n为奇数时， 11 0 n na a q   ， 此时 1 1 n nn qSS a   ,当n为偶数时， 1 1 0 n n nS S a q    ，即 1n nS S  ，当 n为奇数时， 11 0n n nS S a q   ，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 1n nS S  ， 故 1 2 3S S S  ，又  3 4 3 1 0a a a q    ，故 4 2S S ，每四项分为一组，进行研究，可得 5 6 7S S S  ，且 8 6S S ， ……，且 2 6 10S S S  ，故 nS 存在最小值 2S ，若 1q  ，此时 1 0 1 nq q    ， 1 1 0 n n nS S a q    ，故 nS 存在 最小值 1S ， 若0 1q  ，此时 1 0 1 nq q    ， 1 1 0 n n nS S a q    ，故 nS 存在最小值 1S ， 综上，若 na 为等比数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小，D 正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．数列 2n 与 3 1n 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 na ，则 20a  . 【答案】116 【详解】 2n 与 3 1n 的所有公共项由小到大构成一个新的数列为2,8,14,， 故 na 为首项为 2，公差为 6 的等差数列， 所以   46 62 1na n n   ， 所以 20 120 4 116a    . 故答案为：116 13．已知正三棱柱 ABC A B C   的底面边长为2 3，高为 2，点 P是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条 直径是MN ，则PM PN   的取值范围是 . 【答案】 0,4 【详解】因为正三棱柱的底边长为2 3，如图，设 ABC 内切圆的半径为 r ， 所以 2 3 1 (2 3) 2 3 3 4 2 r   ，得到 1r  ，又正三棱柱的高为 2， 所以棱柱的内切球的半径为 1R  ，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心， 又MN 是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为 ,M N ， 则      2 2· 1PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO                        ， 又点 P是正三棱柱表面上的动点， 当 P与M （或N ）重合时， PO  的值最小，此时 1PO   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 由对称性知，当 P为正三棱柱的顶点时， PO  的值最大， 连接 1A N ，并延长交 1 1BC 于H ，则 2 2 1 1 2 2 (2 3) ( 3) 2 3 3 A N AH     ， 此时 2 2 1 max 1 2 5PO AO     ，得到 2 0 1 4PO    . 故答案为：[0, 4] 14．已知椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左､右焦点分别为 1F ､ 2F ，经过 1F 的直线交椭圆于A ， B， 2ABF 的内 切圆的圆心为 I ，若 23 4 5 0       IB IA IF ，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 5 5 【详解】因为 23 4 5 0       IB IA IF ，所以 2 3 5 1 8 8 2 IB IF IA      ，如图，在 2BF 上取一点M，使得 2: 5 :3BM MF  ， 连接 IM ，则 1 2 IM IA    ，则点 I 为 AM 上靠近点M 的三等分点，所以 2 2 : : 3 : 4 : 5IAF IBF IBAS S S    ， 所以 2 2: : 3 : 4 : 5AF BF AB  ，设 2 3AF x ，则 2 4 , 5BF x AB x  ，由椭圆定义可知： 2 2 4AF BF AB a   ， 即12 4x a ， 所以 3 a x  ，所以|𝐴𝐹 | = 𝑎， 2 4 5 , 3 3 BF a AB a  ，|𝐴𝐹 | = 𝑎,故点A 与上顶点重合， 在 2ABF△ 中，由余弦定理得： 2 2 22 2 2 2 2 2 22 25 16 39 9cos 52 52 3 a a aAB F A F B BAF AB F A a          ， 在 1 2AF F△ 中， 2 2 2 2 2 4 3 cos 2 5 a a c BAF a      ，解得： 5 5 c a  ，所以椭圆离心率为 5 5 .故答案为： 5 5 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知直线 l的方程为    2 1 1 7 4 0     m x m y m ． (1)求证：不论m为何值，直线 l必过定点  3,1M ； (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于A ， B两点，当 AOB 面积最小时，求 AOB 的周长． 【详解】（1）由    2 1 1 7 4 0m x m y m      可得：  2 7 4 0m x y x y      ， 令 2 7 0 4 0 x y x y        ，解得 3 1 x y    ， 经检验， 3 1 x y    满足    2 1 1 7 4 0m x m y m      ， 所以直线 l过定点  3,1M ．.............................6 分 （2）由题意可设直线 1l 的方程为   1 3 0y k x k    ，设直线 1l 与 x轴， y 轴正半轴交点分别为 ,A B， 令𝑥 = 0，得 1 3By k  ；令 0y  ，得 1 3Ax k   ， 所以 AOB 面积    1 1 1 11 3 3 9 6 2 2 S k k k k                    1 12 9 6 6 2 k k             ， 当且仅当 1 9k k    ，即 1 3 k   时， AOB 面积最小， 此时  6,0A ，  0,2B ， 2 26 2 2 10AB    ， 所以 AOB 的周长为6 2 2 10 8 2 10    . 所以当 AOB 面积最小时， AOB 的周长为8 2 10 . .............................13 分 16．（15分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形ABCD是矩形， SAD 是等边三角形，平面 SAD 平面 ABCD， 1AB  ，E为棱 SA上一点，P为棱 AD的中点，四棱锥 S ABCD 的体积为 2 3 3 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 (1)若 E为棱 SA的中点，F是 SB的中点，求证：平面 //PEF 平面 SCD； (2)是否存在点 E，使得平面 PEB与平面 SAD的夹角的余弦值为 30 10 ？若存在，确定点 E的位置；若不存在， 请说明理由. 【详解】（1）在等边三角形 SAD中，P为 AD的中点，于是 SP AD ， 又平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD AD ， SP 平面 SAD， SP 平面 ABCD， SP 是四棱锥 S ABCD 的高， 设 AD m ，则 3 2 SP m ，矩形 ABCD的面积 S m ， 1 1 3 2 3 3 3 2 3S ABCD V S SP m m      ， 2m  ，.............................2 分 如图，以点 P为坐标原点，PA所在直线为 x轴，过点 P且与 AB平行的直线为 y轴，PS所在直线为 z轴， 建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0)P ， (1,0,0)A ， (1,1,0)B ，  0,0, 3S ， 1 3,0, 2 2 E        ， 1 1 3 , , 2 2 2 F        ， 1 3 ,0, 2 2 PE           ， 1 1 3 , , 2 2 2 PF          ， 设  1 1 1 1, ,n x y z  是平面PEF的一个法向量， 则 1 1 0, 0, n PE n PF           即 1 1 1 1 1 1 3 0 2 2 1 1 3 0 2 2 2 x z x y z         ， 令 1 1z  ，则 1 3x   ， 1 0y  ， 1 ( 3,0,1)n    . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 同理可得平面 SCD的一个法向量为 2 ( 3,0,1)n    . 1 2n n    ，平面 //PEF 平面 SCD..............................7 分 （2）存在. 设 ( 1,0, 3) ( ,0, 3 )(0 1)AE AS             ， 则 (1,0,0) ( ,0, 3 ) (1 ,0, 3 )PE PA AE              ， (1,1,0)PB   ， 设平面 PEB的一个法向量为 ( , , )m x y z  ， 则  1 3 0 0 m PE x z m PB x y               ， 令 3x  ，则 3y   ， 1z   ， ( 3 , 3 , 1)m        ，.............................11 分 易知平面 SAD的一个法向量为 (0,1,0)AB   ， 2 3 30 cos , 107 2 1 AB m AB m AB m                . 0 1  ， 1 3   ， 存在点 E，且 E为 AS上靠近 A点的三等分点..............................15 分 17．（15 分）已知 na 是首项为1的等差数列，其前n项和为 nS ， 7 70S  ， nb 为等比数列， 2 6b a ，2 3 80b b  ． (1)求 na 和 nb 的通项公式； (2)求数列   21 n na 的前n项和 nT ； (3)记 2 1 n n n c b b   ，若 2 2 4n n n a c c    对任意 *nN 恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）设等差数列 na 的公差为d， 因为 1 1a  ， 7 1 7 6 7 7 21 70 2 S a d d       ，解得 3d  ， 所以，    1 1 1 3 1 3 2na a n d n n        . 设 nb 的公比为q，因为 2 6 3 6 2 16b a     ，    2 3 2 1 16 1 80b b b q q      ， 解得 4q  ，所以， 2 22 16 4 4 n n n nb b q      .............................4 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （2）因为     2 21 1 1 13n n n n n n n na a a a a a a a         ， 当 n为偶数时，        2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 1n n nT a a a a a a a a               2 1 1 2 3 3 1 9 3 3 3 3 2 2 2 n n a a n n n a a a a n n              ． 当 n为奇数时，       2 2 22 1 9 1 3 1 9 3 4 3 2 2 2n n n n n n n T T a n             ． 所以， 2 2 9 3 , 2 9 3 4 , 2 n n n n T n n n         为偶数 为奇数 .............................9 分 （3）因为 2 2 14 4 1 n n n n nb c b   ， 2 2 2 4 2 2 1 1 4 4 2 4 4 4 n n n n n n n c c                  ． 令 2 2 4 3 6 2 4 n n n n n a n d c c       ， 则   1 1 3 6 4 3 93 6 3 9 30 9 2 4 2 4 2 4 2 4n n n n n n n nn n n d d                 ， 当2 3n  时， 1n nd d  ，即 1 2 3d d d  ， 当 3n  时， 1n nd d  ，即 3 4 5d d d  ， 所以，数列 nd 的最大项为 3 3 128 d  ， 因为 2 2 4n n n a c c    恒成立， 所以， 3 3 128 d   ，即实数的取值范围为 3 , 128    ．.............................15 分 18．（17 分）若圆 1C 与圆 2C 相交于 P，Q两点， ( 0)PQ m m  ，且 2C 为线段 PQ的中点，则称 2C 是 1C 的 m 等距共轭圆.已知点 (3,5)A ， (6, 4)B 均在圆 1C 上，圆心 1C 在直线 4 3 0x y   上. (1)求圆 1C 的标准方程. (2)若圆 2C 是圆 1C 的 8 等距共轭圆，设圆心 2C 的轨迹为 . （i）求的方程. （ii）已知点 (3,3)H ，直线 l与曲线交于异于点 H的 E，F两点，若直线 HE与 HF的斜率之积为 3，试问 直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】（1）因为圆心 1C 在直线 4 3 0x y   上，设  1 4 3,C a a ， 且点 (3,5)A ， (6, 4)B 均在圆 1C 上，则 1 1C A C B ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 可得      2 2 2216 5 4 3 4a a a a      ，解得 0a  ， 即圆心为  1 3,0C ，半径 1 5r C A  ， 所以圆 1C 的标准方程为  2 23 25x y   ..............................4 分 （2）（i）因为 8PQ  ，由题意可得： 2 2 1 2 1 3 2 C C r PQ        ， 可知圆心 2C 的轨迹为是以  1 3,0C 为圆心，半径 2 3r  的圆， 所以的方程为  2 23 9x y   ；.............................9 分 （ⅱ）若直线 l的斜率存在，设直线 l： y kx b  ，    1 1 2 2, , ,E x y F x y ， 联立方程  2 23 9 y kx b x y       ，消去 y可得    2 2 21 2 3 0k x kb x b     ， 则 0  ，且   2 1 2 1 22 2 2 3 , 1 1 kb b x x x x k k       ， 因为 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3HE HF y y kx b kx b k k x x x x                 ， 整理可得      2 21 2 1 23 3 9 6 18 0k x x k b x x b b           ， 则      2 2 2 2 2 3 2 3 9 3 6 18 0 1 1 b k k b kb b b k k             可得   3 6 3 3 0b k b k     ，即 3 6b k   或 3 3b k   ，.............................14 分 当 3 6b k   ，直线  3 6y k x   过定点  3, 6 ； 当 3 3b k   ，直线  3 3y k x   过定点  3,3 ，不合题意； 可知直线 l过定点  3, 6 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 若直线 l的斜率不存在，设    0 0 0 0 0, , , , 3E x y F x y x  ， 则   2 0 0 0 2 0 0 0 3 3 9 3 3 3 3 HE HF y y y k k x x x             ，即  220 09 3 3y x   ， 且  0 0,E x y 在圆  2 23 25x y   上，则  2 20 03 25x y   ， 即    2 20 03 9 3 3 9x x     ，解得 0 3x  ，不合题意； 综上所述：直线 l过定点  3, 6 ..............................17 分 19．（17 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的短轴长为2 3，离心率为 1 2 ． (1)求C的方程； (2)如图，过点O的直线 l（异于 y 轴）与C交于点 P，Q，过左焦点F 作直线 PQ的垂线交圆 2 2 2x y a  于 点 M，N，垂足为T . ①若点 ( 4,0)A  ，设直线 AM，AN的斜率分别为 1 2,k k ，证明： 1 2 k k 为定值； ②记 ,PTN QTM  的面积分别为 1 2,S S ，求 1 2 S S 的取值范围. 【详解】（1）依题意， 2 2 2 2 2 3 1 2 b c a a b c         ，解得 2, 3, 1a b c   ， 所以C的方程为 2 2 1 4 3 x y   ..............................4 分 （2）①设直线MN 的方程为 1x ty  ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 由 2 2 1 4 x ty x y      ，消去 x并化简得  2 21 2 3 0t y ty    ， 则  2 2 2Δ 4 12 1 16 12 0t t t      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 t y y t y y t          ，则  1 2 1 2 3 2 ty y y y   ，.............................7 分 所以         1 1 2 1 21 1 1 2 1 22 2 1 2 1 1 2 2 2 4 34 3 4 3 3 4 y y x y tyk x ty y y yk y x y ty ty y y x                1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 3 2 2 2 1 3 3 3 3 2 2 2 y y y y y y y y y y              .② 由题得 1 1 | | | | 2 S PT TN  ， 2 1 | | | | 2 S QT TM  ， 又 TM TN ，所以 1 2 | | | | S PT S QT  ， 由椭圆的对称性可知 | | | |OP OQ ， 所以 1 2 2 2 1 1 1 PT OP OT OTS OPS QT OP OT OP OT OT           ，.............................10 分 因为直线MN 的方程为 1x ty  ，所以 2 1 1 OT t   ， 因为PQ MN ，所以直线 PQ的方程为 y tx  ， 将其代入 2 2 1 4 3 x y   ，解得 2 2 2 2 2 12 12 3 4 3 4 , t x y t t     ， 所以  22 2 2 12 1 3 4 t OP x y t      ， 所以  22 2 1 2 3 3 4 tOP OT t    ， 令 23 4 , 3t m m   ，则 2 1 1 4 m t    ， 所以 2 2 1 3 1 2 3 2 16 2 OP m m m OT m m       ，函数 1 y x x   在 3, 上单调递增， 所以 3 1 3 1 2 3 2 2 2 2 3 OP m OT m        ，当且仅当 3m  ，即 0t  时取得等号， 所以 1 2 1 1 3 1 OP OT     ，即 1 2 1 1 3 S S   ，综上所述， 1 2 S S 的取值范围是 1 ,1 3     ..............................17 分 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 6．已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 7．如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（   ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．到直线的距离为 8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线与圆相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 10．已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 11．无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项 D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 13．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 17．（15分）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 ,x yR ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 2,2c   ，且a c ， / /b  c  ，则 x y 的值为（ ） A． 1 B．1 C．2 D．3 2．直线  2 32sin 1 1 0 3 x y     的倾斜角 的取值范围为（ ） A． π 0, 3      B． π 2π 0, , π 3 3            C． π 2π π 0, , π 3 3 2                D． 2π , π 3     3．下列说法正确的个数是（ ） ①动点 ( , )P x y 满足 2 2 2 2( 2) ( 2) 4x y x y      ，则 P的轨迹是椭圆 ②动点 ( , )P x y 满足 2 2 2 2( 2) ( 2) 5x y x y      ，则 P的轨迹是双曲线 ③动点 ( , )P x y 满足到 y轴的距离比到 (1,0)F 的距离小 1，则 P的轨迹是抛物线 ④动点 ( , )P x y 满足 2 2( 2) 5 0x x y    ，则 P的轨迹是圆和一条直线（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知 nS 为数列 na 的前n项和，且 2 2n nS a  ，若 22log 3n na a   对任意正整数n恒成立，则实数的 最小值为（ ） A．4 B． 7 2 C．3 D． 5 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．已知 Rm ，过定点A 的动直线 0mx y  和过定点 B的动直线 3 0x my m    交于点 P，则 PA PB 的 最大值为（ ） A． 5 B． 10 C．5 D．10 6．已知  5, , 5a m ， 1, ,1 2 b n        ，且 //a b  ，则m和 n可分别作为（ ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 7．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为2， AD的中点为E，则下列说法不正确的是（ ） A．直线 1DC和 1BC 所成的角为 π 3 B．四面体 1 1BDC A 的体积是 8 3 C．点 1A到平面 1BEC 的距离为 4 3 3 D． 1C 到直线 BE 的距离为 6 5 5 8．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，点A 在C上，点 B在 y 轴上， 1 1F A FB   ， 2 2 2 3 F A F B    ，则C的离心率为（ ） A． 5 2 B． 6 C． 3 5 5 D． 6 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．若一个以 (2, 4) 为圆心，4 为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A．直线 0x  与圆相切 B．圆关于直线 2y x  对称 C．对 Ra  ，直线 2 1 0ax y a    与圆都相交 D． ( , )P x y 为圆上任意一点，则 2 2( 1)x y  的最大值为 9 10．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的离心率 3e  ，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为 3 1 ， 则（ ） A．双曲线 C的焦点坐标为 ( 3,0) B．双曲线 C的渐近线方程为 2y x  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．点 (2, 2)在双曲线 C上 D．直线 2 0( R)mx y m m    与双曲线 C恒有两个交点 11．无穷项数列 na 它的前 n项和为 nS ，则下列说法正确的是（ ） A．若 na 为等差数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 nS 单调递增 B．若 na 为等比数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 nS 单调递增 C．若 na 为等差数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小项 D．若 na 为等比数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小项 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．数列 2n 与 3 1n 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 na ，则 20a  . 13．已知正三棱柱 ABC A B C   的底面边长为2 3，高为 2，点 P是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条 直径是MN，则PM PN   的取值范围是 . 14．已知椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左､右焦点分别为 1F ､ 2F ，经过 1F 的直线交椭圆于A ， B， 2ABF 的内 切圆的圆心为 I ，若 23 4 5 0       IB IA IF ，则该椭圆的离心率是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知直线 l的方程为    2 1 1 7 4 0     m x m y m ． (1)求证：不论m为何值，直线 l必过定点  3,1M ； (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于A ， B两点，当 AOB 面积最小时，求 AOB 的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形ABCD是矩形， SAD 是等边三角形，平面 SAD 平面 ABCD， 1AB  ，E为棱 SA上一点，P为棱 AD的中点，四棱锥 S ABCD 的体积为 2 3 3 . (1)若 E为棱 SA的中点，F是 SB的中点，求证：平面 //PEF 平面 SCD； (2)是否存在点 E，使得平面 PEB与平面 SAD的夹角的余弦值为 30 10 ？若存在，确定点 E的位置；若不存在， 请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（15 分）已知 na 是首项为1的等差数列，其前n项和为 nS ， 7 70S  ， nb 为等比数列， 2 6b a ，2 3 80b b  ． (1)求 na 和 nb 的通项公式； (2)求数列   21 n na 的前n项和 nT ； (3)记 2 1 n n n c b b   ，若 2 2 4n n n a c c    对任意 *nN 恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 18．（17 分）若圆 1C 与圆 2C 相交于 P，Q两点， ( 0)PQ m m  ，且 2C 为线段 PQ的中点，则称 2C 是 1C 的 m 等距共轭圆.已知点 (3,5)A ， (6, 4)B 均在圆 1C 上，圆心 1C 在直线 4 3 0x y   上. (1)求圆 1C 的标准方程. (2)若圆 2C 是圆 1C 的 8 等距共轭圆，设圆心 2C 的轨迹为 . （i）求的方程. （ii）已知点 (3,3)H ，直线 l与曲线交于异于点 H的 E，F两点，若直线 HE与 HF的斜率之积为 3，试问 直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 19．（17 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的短轴长为2 3，离心率为 1 2 ． (1)求C的方程； (2)如图，过点O的直线 l（异于 y 轴）与C交于点 P，Q，过左焦点F 作直线 PQ的垂线交圆 2 2 2x y a  于 点 M，N，垂足为T . ①若点 ( 4,0)A  ，设直线 AM，AN的斜率分别为 1 2,k k ，证明： 1 2 k k 为定值； ②记 ,PTN QTM  的面积分别为 1 2,S S ，求 1 2 S S 的取值范围. 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．116 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点．.............................6分 （2）由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为..............................13分 16．（15分） 【详解】（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是， 又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD， 平面ABCD， 是四棱锥的高， 设，则，矩形的面积， ，，.............................2分 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则即， 令，则，，. 同理可得平面SCD的一个法向量为. ，平面平面SCD..............................7分 （2）存在. 设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则， 令，则，， ，.............................11分 易知平面SAD的一个法向量为， . ，， 存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点..............................15分 17．（15分） 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，.............................4分 （2）因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，.............................9分 （3）因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立， 所以，，即实数的取值范围为．.............................15分 18．（17分） 【详解】（1）因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为..............................4分 （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为；.............................9分 （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或，.............................14分 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点..............................17分 19．（17分） 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为..............................4分 （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则，.............................7分 所以 .② 由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以，.............................10分 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 所以，当且仅当，即时取得等号， 所以，即，综上所述，的取值范围是..............................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 ,x yR ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 2,2c   ，且a c ， / /b  c  ，则 x y 的值为（ ） A． 1 B．1 C．2 D．3 2．直线  2 32sin 1 1 0 3 x y     的倾斜角 的取值范围为（ ） A． π 0, 3      B． π 2π 0, , π 3 3            C． π 2π π 0, , π 3 3 2                D． 2π , π 3     3．下列说法正确的个数是（ ） ①动点 ( , )P x y 满足 2 2 2 2( 2) ( 2) 4x y x y      ，则 P的轨迹是椭圆 ②动点 ( , )P x y 满足 2 2 2 2( 2) ( 2) 5x y x y      ，则 P的轨迹是双曲线 ③动点 ( , )P x y 满足到 y轴的距离比到 (1,0)F 的距离小 1，则 P的轨迹是抛物线 ④动点 ( , )P x y 满足 2 2( 2) 5 0x x y    ，则 P的轨迹是圆和一条直线（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知 nS 为数列 na 的前n项和，且 2 2n nS a  ，若 22log 3n na a   对任意正整数n恒成立，则实数的 最小值为（ ） A．4 B． 7 2 C．3 D． 5 2 5．已知 Rm ，过定点A 的动直线 0mx y  和过定点 B的动直线 3 0x my m    交于点 P，则 PA PB 的 最大值为（ ） A． 5 B． 10 C．5 D．10 6．已知  5, , 5a m ， 1, ,1 2 b n        ，且 //a b  ，则m和 n可分别作为（ ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 7．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为2， AD的中点为E，则下列说法不正确的是（ ） A．直线 1DC和 1BC 所成的角为 π 3 B．四面体 1 1BDC A 的体积是 8 3 C．点 1A到平面 1BEC 的距离为 4 3 3 D． 1C 到直线 BE 的距离为 6 5 5 8．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，点A 在C上，点 B在 y 轴上， 1 1F A FB   ， 2 2 2 3 F A F B    ，则C的离心率为（ ） A． 5 2 B． 6 C． 3 5 5 D． 6 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．若一个以 (2, 4) 为圆心，4 为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A．直线 0x  与圆相切 B．圆关于直线 2y x  对称 C．对 Ra  ，直线 2 1 0ax y a    与圆都相交 D． ( , )P x y 为圆上任意一点，则 2 2( 1)x y  的最大值为 9 10．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的离心率 3e  ，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为 3 1 ， 则（ ） A．双曲线 C的焦点坐标为 ( 3,0) B．双曲线 C的渐近线方程为 2y x  C．点 (2, 2)在双曲线 C上 D．直线 2 0( R)mx y m m    与双曲线 C恒有两个交点 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．无穷项数列 na 它的前 n项和为 nS ，则下列说法正确的是（ ） A．若 na 为等差数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 nS 单调递增 B．若 na 为等比数列，且 1 1 20, 0a a a   ，则 nS 单调递增 C．若 na 为等差数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小项 D．若 na 为等比数列，且对任意 *nN ，均有 0nS  ，则 nS 存在最小项 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．数列 2n 与 3 1n 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 na ，则 20a  . 13．已知正三棱柱 ABC A B C   的底面边长为2 3，高为 2，点 P是其表面上的动点，该棱柱内切球的一 条直径是MN，则PM PN   的取值范围是 . 14．已知椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左､右焦点分别为 1F ､ 2F ，经过 1F 的直线交椭圆于A ， B， 2ABF 的 内切圆的圆心为 I ，若 23 4 5 0       IB IA IF ，则该椭圆的离心率是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知直线 l的方程为    2 1 1 7 4 0     m x m y m ． (1)求证：不论m为何值，直线 l必过定点  3,1M ； (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于A ， B两点，当 AOB 面积最小时，求 AOB 的周长． 16．（15 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD是矩形， SAD 是等边三角形，平面 SAD 平面 ABCD， 1AB  ，E为棱 SA上一点，P为棱 AD的中点，四棱锥 S ABCD 的体积为 2 3 3 . (1)若 E为棱 SA的中点，F是 SB的中点，求证：平面 //PEF 平面 SCD； (2)是否存在点 E，使得平面 PEB与平面 SAD的夹角的余弦值为 30 10 ？若存在，确定点 E的位置；若不存 在，请说明理由. 17．（15 分）已知 na 是首项为1的等差数列，其前n项和为 nS ， 7 70S  ， nb 为等比数列， 2 6b a ， 2 3 80b b  ． (1)求 na 和 nb 的通项公式； (2)求数列   21 n na 的前n项和 nT ； (3)记 2 1 n n n c b b   ，若 2 2 4n n n a c c    对任意 *nN 恒成立，求实数的取值范围． 18．（17 分）若圆 1C 与圆 2C 相交于 P，Q两点， ( 0)PQ m m  ，且 2C 为线段 PQ的中点，则称 2C 是 1C 的 m等距共轭圆.已知点 (3,5)A ， (6, 4)B 均在圆 1C 上，圆心 1C 在直线 4 3 0x y   上. (1)求圆 1C 的标准方程. (2)若圆 2C 是圆 1C 的 8 等距共轭圆，设圆心 2C 的轨迹为 . （i）求的方程. （ii）已知点 (3,3)H ，直线 l与曲线交于异于点 H的 E，F两点，若直线 HE与 HF的斜率之积为 3，试 问直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19．（17 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的短轴长为2 3，离心率为 1 2 ． (1)求C的方程； (2)如图，过点O的直线 l（异于 y 轴）与C交于点 P，Q，过左焦点F 作直线 PQ的垂线交圆 2 2 2x y a  于 点 M，N，垂足为T . ①若点 ( 4,0)A  ，设直线 AM，AN的斜率分别为 1 2,k k ，证明： 1 2 k k 为定值； ②记 ,PTN QTM  的面积分别为 1 2,S S ，求 1 2 S S 的取值范围. 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 6．已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 7．如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（   ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．到直线的距离为 8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线与圆相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 10．已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 11．无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项 D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 13．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 17．（15分）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$