专题01 角、三角函数概念与诱导公式（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一角的概念三角函数概念诱导公式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校角的概念三角函数概念诱导公式易错题精选 题组二：名校角的概念三角函数概念诱导公式培优压轴试题精选 题组三：名校角的概念三角函数概念诱导公式新定义试题精选 题组四：角的概念三角函数概念诱导公式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校角的概念三角函数概念诱导公式易错题精选 1．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 4．若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 5．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 6．已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 8．设，．若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 10．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ） A． B． C． D． 11．（多选题）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 12．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    14．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 15．已知角，的终边关于直线对称，且，则，的一组取值可以是 ． 16．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是 . 17．把，，，由小到大排列为 ． 18．点与，关于轴对称，写出一个符合题意的值 . 19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 20．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. (1)求的值； (2)若，求的坐标. 题组二：名校角的概念三角函数概念诱导公式培优压轴试题精选 1．已知定义在上的函数，对任意的且，都有，且函数为奇函数．若锐角的三个内角为，则（    ） A． B． C． D．的符号无法确定 2．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（   ） A．2π B． C． D． 3．已知三个锐角满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知长方形的四个顶点是，，，，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的后，依次反射到，和上的，，和（入射角等于反射角）.设的坐标是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 6．（多选题）如图，在平面直角坐标系中，点为直径为2的圆上的一定点，初始时，边长为的正六边形的顶点，在圆上，且在点处，将正六边形沿圆逆时针滚动，则滚动过程中（    ） A．点与顶点，，重合 B．的最小值为 C．点在圆上的落点满足 D．点再次与点重合时点的轨迹长为 7．摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式 ；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式 ．    8．如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 . 9．用表示不超过实数的最大整数，则 . 10．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则 . 11．设、是非零实数，，若，则 12．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为 ．参考数据：；；） 13．已知，那么 14．已知函数，若（），则= ． 15．已知函数且. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 题组三：名校角的概念三角函数概念诱导公式新定义试题精选 1．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ） A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（　　） A． B． C． D． 3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（    ） A．11π B．12π C．15π D．16π 4．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 5．如图，《周髀算经》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为 （参考数据：，，，） A． B． C． D． 8．计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56 9．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 10．0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 12．圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为 ． 13．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在处测得处的仰角为37度，在处测得处的仰角为45度，在处测得C处的仰角为53度，点所在等高线值为20米，若管道长为50米，则点所在等高线值为 .（参考数据） 题组四：角的概念三角函数概念诱导公式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2015高一下·广东潮州·竞赛）已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2012高一·全国·竞赛）已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2013高一·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．（2014高一下·湖北武汉·竞赛）已知，则的值为 A． B．－ C． D．－ 5．（16-17高三·北京·强基计划）已知，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．前三个答案都不对 6．（22-23高二上·北京·强基计划）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）如图，在菱形ABCD中，已知，以为直径的⊙O与菱形相交，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）在周长为定值的扇形中，扇形的面积最大时半径是 . 9．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 . 10．（2013高一·全国·竞赛）已知，则 ． 11．（2010高二·全国·竞赛）中，边为最大边，且，则的最大值是 ． 12．（2014高一下·湖北武汉·竞赛）已知，若，化简 ． 13．（20-21高三·江苏·强基计划）已知，求 ． 14．（2007高一·全国·竞赛）已知，，且，，求的值. 15．（2007高一·全国·竞赛）已知集合，集合，且，求实数和的值. 16．（2023高一上·河北保定·竞赛）化简 (1)； (2)已知是第三象限角，化简 17．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）已知，且满足． (1)求的值； (2)若角的终边与角的终边关于y轴对称，求的值． 18．（17-18高三·北京·强基计划）已知，其中，求和的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一角的概念三角函数概念诱导公式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校角的概念三角函数概念诱导公式易错题精选 题组二：名校角的概念三角函数概念诱导公式培优压轴试题精选 题组三：名校角的概念三角函数概念诱导公式新定义试题精选 题组四：角的概念三角函数概念诱导公式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校角的概念三角函数概念诱导公式易错题精选 1．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：C 2．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 3．下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 【答案】D 【分析】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D. 【详解】A错，是第二象限角，但不是钝角； B错，是第二象限角，是第一象限角，但； C错，，则，但二者终边重合； D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍， 故. 故选：D. 4．若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理可得，，进而可得，进而切化弦即可得结果. 【详解】因为是方程的两根， 则，， 且，则， 可得 ， 所以. 故选：D. 5．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 6．已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义得到，再逐一分析各弧度对应的坐标情况即可得解. 【详解】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确. 故选：D. 8．设，．若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得有序实数对即可． 【详解】因为对于任意实数都有， 则函数的周期相同，， 若，此时， 因为，此时. 若，则方程, 因为，则， 综上满足条件的有序实数组为，共有2组. 故选：B. 9．已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得或， 因为，可得，， 所以得，可得，可得， 所以． 故选：A． 10．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意， ，进而根据诱导公式求解即可. 【分析】解：如图，在中，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，， 所以 所以. 故选：A. 11．（多选题）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断. 【详解】，，A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 12．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由条件，根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 所以， 解得，所以，， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为：. 13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得. 【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.    则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 14．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】根据定义，构造出分母和为定值，根据指数构成分子，利用公式求得最小值. 【详解】， 当且仅当时，即时，取等号. 故答案为：8 15．已知角，的终边关于直线对称，且，则，的一组取值可以是 ． 【答案】，（答案不唯一，符合，，或，，即可） 【分析】由条件角的终边关于直线对称可得，由可得或，，解方程求，即可. 【详解】因为角，的终边关于直线对称，所以，， 又，所以或，， 所以，， 或，， 取，时，可得，或， 所以，的一组取值可以是，. 故答案为：，. 16．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用角的正切函数依次表示，，，，，，，再建立不等式求解即可. 【详解】由题可知 所以有，， ，， ，， 解得， 故答案为： 17．把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小. 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： 18．点与，关于轴对称，写出一个符合题意的值 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据两点关于轴对称，得出两角的对应关系，即可求解. 【详解】因为与关于轴对称，所以有且， 所以可以有，此时解得，所以的值可以为， 故答案为： 19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以由三角函数的定义可得：， . 故答案为： 20．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得， 即， 由三角函数定义知，， 故原式. （2）由题意， 故. 题组二：名校角的概念三角函数概念诱导公式培优压轴试题精选 1．已知定义在上的函数，对任意的且，都有，且函数为奇函数．若锐角的三个内角为，则（    ） A． B． C． D．的符号无法确定 【答案】A 【分析】依题意有图象关于点对称，在上单调递增，锐角中，，则有． 【详解】由题可知，在区间上单调递增，且函数为奇函数， 则，故， 当时，有，即， 又因为图象关于原点对称，则图象关于点对称， 所以，在上单调递增． ，而为锐角三角形，故，则， 所以，即. 故选：A． 2．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（   ） A．2π B． C． D． 【答案】D 【分析】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知11次或12次滚动后A回到点P的位置，后结合题目数据可得答案. 【详解】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处， 则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈. 因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示， 设第i（）次滚动点A的路程为， 则， 又， 所以点A所走过的路程为． 故选：D 3．已知三个锐角满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意分别求出，再根据平方关系求出的关系，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为三个锐角满足， 所以， 则， 所以， 整理得， 又， 于是解得， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据求出，再根据平方关系求出的关系是解决本题的关键. 4．已知长方形的四个顶点是，，，，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的后，依次反射到，和上的，，和（入射角等于反射角）.设的坐标是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由，利用对称性得到角的关系为，，再利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标以及，求得的取值范围。 【详解】设， 则， 所以 又， 所以； 而                 所以； 又         所以 根据题设，即 所以 即 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数特别是正切函数定义的应用、解不等式等基本知识，以及对称法、解析法等基本数学方法的应用。 5．设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 6．（多选题）如图，在平面直角坐标系中，点为直径为2的圆上的一定点，初始时，边长为的正六边形的顶点，在圆上，且在点处，将正六边形沿圆逆时针滚动，则滚动过程中（    ） A．点与顶点，，重合 B．的最小值为 C．点在圆上的落点满足 D．点再次与点重合时点的轨迹长为 【答案】ACD 【分析】先由余弦定理计算出正六边形的每一条边所对的圆心角为，得出沿圆运动3圈，再根据长度关系依次得出每个选项的正误. 【详解】分别连接OA、OB， 由余弦定理得，， 则，即在圆内，正六边形的每一条边作为弦时，所对的圆心角为， 由此可得，将正六边形ABCDEF沿圆O逆时针滚动， 滚动条边时，正六边形回到P点， 而8与6的最小公倍数是24，即沿圆运动3圈，正六边形滚动4周时，点A再次与点P重合， 滚动时点依次如下图， 由图可得，点P与顶点ACE重合，选项A正确； ，而的最小值为-1，则的最小值也是-1，选项B错误； 因点A在圆上的落点两两关于原点对称，所以点在圆上的落点满足，选项C正确； 如图为正六边形ABCDEF滚动1次到正六边形时的图形， ，又因为图形关于直线OB轴对称，所以， 则每一次滚动时，正六边形旋转的角度为， 因此正六边形ABCDEF滚动1周时，点A先以B为圆心，BA为半径运动， 再以C为圆心，CA为半径运动， 再以D为圆心，DA为半径运动， 再以E为圆心，EA为半径运动， 再以F为圆心，FA为半径运动， 则一周内，点A的轨迹长为， 点A再次与点P重合时，正六边形ABCDEF滚动4周，则总轨迹长为，选项D正确. 故选：ACD. 7．摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式 ；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式 ．    【答案】 【分析】作辅助线，分析可知，根据图形结合直角三角函数分析求解. 【详解】设标记点为，圆心为，作，如图所示：    旋转时间，则，则， 可得， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是理解摆线的定义，分析可知：，结合几何图形分析求解. 8．如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 . 【答案】 【分析】根据题设条件可得的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得的周期和相邻零点间的图象与轴所围区域的面积. 【详解】设， 如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时， 开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时， 然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时， 当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到， 当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到， 点从开始到时是一个周期，故的周期为， 如图，为相邻两个零点， 在上的图像与轴围成的图形的面积为： . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在一个周期内讨论对应的函数性质即可. 9．用表示不超过实数的最大整数，则 . 【答案】 【分析】首先求得在的范围时的值，再根据三角函数的周期性，求得所求表达式的值. 【详解】由于，根据三角函数的周期性可知∴. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查三角函数的周期性，考查分析与解决问题的能力，属于基础题. 10．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则 . 【答案】 【解析】根据函数解析式,利用换元法表示出.结合函数的单调性,令代入后可求得的解析式.结合三角函数的化简求值及对数运算将化简,代入解析式即可求解. 【详解】对任意实数,都有 令 则 因为是定义域为的单调函数 所当时,函数值唯一,即代入 可得,即 化简可得,经检验可知为方程的解 而为单调递减函数,为单调递增函数 所以两个函数只有一个交点,即只有一个根为 所以 而 所以 故答案为: 【点睛】本题考查了复合函数解析式的求法,换元法求解析式的应用,三角函数化简及对数运算性质应用,属于难题. 11．设、是非零实数，，若，则 【答案】 【分析】由已知化简可得，，代入已知式子可得，即可求解. 【详解】 化简得， 即， ∴， ∴. 故答案为: 【点睛】本题考查三角指数幂的运算，合理利用已知条件，以及平方关系是解题的关键，属于较难题. 12．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为 ．参考数据：；；） 【答案】 【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和. 将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 因为，且由诱导公式可得， 所以最短距离为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题. 13．已知，那么 【答案】 【分析】将利用诱导公式转变为的形式，然后根据函数解析式直接计算的值即为的值. 【详解】因为且， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难. 14．已知函数，若（），则= ． 【答案】 【分析】构造并判断奇偶性，根据及的奇偶性即可求. 【详解】令， 则且定义域为， 所以为奇函数，且， 又， 所以，即， 所以． 故答案为： 15．已知函数且. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）先求出的定义域，再由奇函数定义证明即可； （2）利用奇函数和分类讨论单调性，先将条件转化为不等式组恒成立问题，再转化为分离参数转化为最值问题求解a的范围即可. 【详解】（1）要使有意义，需满足，解得， 故定义域为. 判断是奇函数. 证明：定义域为，关于原点对称； 又 ， 所以为奇函数； （2）由，得． 由（1）知为奇函数，则， 所以， 因为， 令，则在上单调递增， 当时，单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递减， 则要使恒成立， 即恒成立， 即要使①，②，③均恒成立. 由，不等式①②显然恒成立， 由， 且当时，， 故不等式③也恒成立， 故当时，即对于任意的，恒成立. 当时，单调递增，则在上单调递增， 则恒成立， 由， 即①，②，③均恒成立 当时， 要使①恒成立，则，则； 不等式②显然恒成立； 要使不等式③恒成立得，， 由解得； 故当时，要使①②③均恒成立，则 综上所述，实数a的取值范围为. 【点睛】易错点睛：求解或转化抽象（或复合）同构型函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但首先要使不等式各部分有意义，不能忽视函数定义域的研究. 题组三：名校角的概念三角函数概念诱导公式新定义试题精选 1．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形三角形面积公式，利用整体减去部分即可. 【详解】根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积：， ，，则， 即S． 故“窗花”面积为． 故选：A． 3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（    ） A．11π B．12π C．15π D．16π 【答案】B 【分析】根据斐波那契螺旋线的特点，首先求出正方形的边长，再由弧长公式求题图中斐波那契螺旋线的长度. 【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得， 所以图中斐波那契螺旋线的长度为． 故选：B． 4．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 5．如图，《周髀算经》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一、设正方形边长，再利用的三角函数表示弦图中的对应边，化简计算即可； 法二、直接设边，计算其比例即可. 【详解】法一、设，则，同理， 所以， 平方得， 同除得，解得. 法二、设直角三角形的斜边为，两直角边为，显然. 则由题意可得：， 解之得：，而，故 故选：D 6．如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，由题意得，，由此可解出，由题意得，，，代入数据即可求出答案． 【详解】解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形， ∵每个顶点都是三个面的公共点， ∴，又，解得， ∴共有20个六边形； 又由题意得，，， ∴，解得， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系的应用，考查三角函数的实际应用，考查分析能力与计算能力，属于中档题． 7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为 （参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，求得的长，进而得到，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得晷影长，且顶距时，晷影长． 所以， 当晷影长度，则， 所以． 故选B 【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理应用三角函数的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 8．计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56 【答案】C 【分析】将化为，根据新定义，取代入公式中，直接计算取近似值即可． 【详解】由题意可得，， 故 ， 故选：． 9．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意， ，进而根据诱导公式求解即可. 【详解】解：如图，在中，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，， 所以 所以. 故选：A 10．0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由诱导公式求解． 【详解】在中，由正弦定理可得， ∴， . 故选：B.． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查诱导公式．本题考查关键是利用正弦定理把三角函数值与黄金分割比联系起来，得． 11．（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【答案】ACD 【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可. 【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 12．圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作，在中，表示出.然后在中，根据勾股定理，得出.进而根据已知，结合三角形的面积公式，即可得出答案. 【详解】 如图，过点作，设所在圆的半径为，则， 在中，，， 所以，， 所以，. 在中，有， 即， 整理可得，. 因为，所以， 所以，扇形OAC的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：作，得到两个直角三角形.表示出各边关系，进而求得扇形的半径. 13．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在处测得处的仰角为37度，在处测得处的仰角为45度，在处测得C处的仰角为53度，点所在等高线值为20米，若管道长为50米，则点所在等高线值为 .（参考数据） 【答案】50 【分析】根据垂直投影图画出水平投影图，利用三个直角三角形可求出B的高度. 【详解】根据垂直投影图，画出水平投影图如下： 由，，得，设， 则，得 由，得， 解得，所以点所在等高线值为20+30=50. 故答案为：50. 【点睛】新文化类题目，先仔细读懂题意，再转化为数学模型，利用相关数学知识可解； 此题的关键是由俯视图（垂直投影）画出正视图（水平投影），利用三角函数可解. 题组四：角的概念三角函数概念诱导公式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2015高一下·广东潮州·竞赛）已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用终边相同表示出角，从而表示出讨论可得. 【详解】由题知， 所以， 当时，，终边落在第一象限； 当时，，终边落在第二象限； 当时，，终边落在第四象限. 故选：C 2．（2012高一·全国·竞赛）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和立方和公式即可得出答案. 【详解】， ． 故选: A. 3．（2013高一·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子和分母同时除以，即可求解. 【详解】，解得． 故选：A 4．（2014高一下·湖北武汉·竞赛）已知，则的值为 A． B．－ C． D．－ 【答案】A 【详解】试题分析： ，=====. 考点：诱导公式. 5．（16-17高三·北京·强基计划）已知，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式化简题设条件可得，或利用不等式的性质得到，从而得解. 【详解】由题意可得,的取值范围均是， 所以， 解法一： 记，，则，， 于是等式可化为，即， 整理得，解得或或． 若，则，不符合题意； 因此或，此时． 解法二： 令，， 则，， 于是等式可化为， 故或，进而有． 故选：A. 6．（22-23高二上·北京·强基计划）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解. 【详解】由以及扇形的面积公式可得: , 故选：D 7．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）如图，在菱形ABCD中，已知，以为直径的⊙O与菱形相交，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，即可利用三角形面积以及扇形面积公式求解. 【详解】在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交， ，，， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为： 8．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）在周长为定值的扇形中，扇形的面积最大时半径是 . 【答案】 【分析】设扇形的半径为，弧长为，得到，得到扇形的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形的所在圆的半径为，弧长为，可得，则 则扇形的面积为， 根据二次函数的性质，可得时，面积取得最大值. 故答案为：. 9．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 . 【答案】 【分析】设扇形的半径为，扇形圆心角为，根据面积得到，从而求出，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】设扇形的半径为，扇形圆心角为，则扇形弧长为， 故，故， 所以扇形的周长为， 由基本不等式得， 当且仅当，即，此时，满足要求. 故答案为： 10．（2013高一·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】 【分析】将目标式化为齐次式，结合同角三角函数关系，即可求得结果. 【详解】 ． 故答案为：. 11．（2010高二·全国·竞赛）中，边为最大边，且，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据重要不等式，结合同角三角函数的关系式，可得答案. 【详解】． 当且仅当时，两个等号同时成立. 故答案为：. 12．（2014高一下·湖北武汉·竞赛）已知，若，化简 ． 【答案】 【详解】试题分析：，，又，则，所以 考点：三角恒等变形，三角函数的性质. 13．（20-21高三·江苏·强基计划）已知，求 ． 【答案】或/或 【分析】由题意可知，把式子化简成，求出的值，进而求出的值即可. 【详解】解：由题意可知， 即，解得或， 若，则； 若，则 故答案为：或. 14．（2007高一·全国·竞赛）已知，，且，，求的值. 【答案】 【分析】根据题意切化弦可得，，进一步整理得，，即可得结果. 【详解】因为，则， 且，则， 两式相除得，即， 两式平方和得， 整理得， 又，可知，可得， 所以. 15．（2007高一·全国·竞赛）已知集合，集合，且，求实数和的值. 【答案】或 【分析】根据集合相等得到方程组，再解方程即可. 【详解】由可得①或②， 显然. 所以由①可得，或，②无解. 所以或. 16．（2023高一上·河北保定·竞赛）化简 (1)； (2)已知是第三象限角，化简 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解； （2）根据题意，得到，，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】（1）解：由. （2）解：因为是第三象限角，可得，， 则. 17．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）已知，且满足． (1)求的值； (2)若角的终边与角的终边关于y轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用同角的基本关系式，联立条件求得，从而求得，由此得解； （2）利用角终边对称得到角与角的关系，再利用三角函数的诱导公式或基本关系式，结合齐次式法即可得解. 【详解】（1）因为，则， 联立，解得， 则， 所以． （2）法1：由于角的终边与角的终边关于y轴对称，则， 则， ， 从而有， 所以． 法2：由于角的终边与角的终边关于y轴对称，则． 则， 所以． 18．（17-18高三·北京·强基计划）已知，其中，求和的值． 【答案】,. 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可求三角函数式的值. 【详解】因为，所以， 故，故. 从而． 由于，故， 因此，进而． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$