专题09 平行线的判定与性质的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题09 平行线的判定与性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 1 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 6 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 14 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 22 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 29 压轴能力测评（10题） 37 解题知识必备 1. 平行线的判定 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. 2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. 3.两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 2. 平行线的性质 1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等. 2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等. 3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补. 压轴题型讲练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 【变式训练2】（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【变式训练3】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【变式训练1】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【变式训练3】（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 例题：（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，求的度数； (2)如图2，当点P在点A左侧运动时，若平分，交直线于点D．的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由． 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图，当点在点左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点． ①如图，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知，直线与直线分别交于点E、F. (1)如图1，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由. 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25八年级上·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形三个内角的度数和是，如图所示是两个三角板不同位置的摆放，其中，，． (1)当时，如图1所示，求的度数． (2)当与重合时，如图2所示，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图3所示，当等于多少度时，？ 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，其中点在同一直线上，，，． (1)若相交于点，求的度数； (2)将图中的绕点以每秒的速度顺时针旋转得，设运动时间为秒．当为何值时，与第一次平行； (3)绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转得，旋转过程中若射线、、中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，请求出满足条件的值． 【变式训练3】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践 如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视． 【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数； 【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数； 【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 二、填空题 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 三、解答题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，试回答下列问题： (1)如图①，判断是否平行． (2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数． (3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图 1， ， 平分 ，点 E 在射线 上， ，垂足为点 D ， 平分 ，交射线 于点 F ，点 P 是射线上一点，连结 ． (1)如图 1，若 平分 ，则． (2)如图 2，若 ，求的度数． (3)如图 3，若 ，则 (4)若，直接写出的度数 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 10．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线上，且，与相交于点G，其中，，，，．    (1)______度； (2)若三角板绕F点按顺时针方向旋转，如图2，当时，此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕F点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请在备用图上画出大致图形，并求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平行线的判定与性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 1 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 6 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 14 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 22 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 29 压轴能力测评（10题） 37 解题知识必备 1. 平行线的判定 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. 2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. 3.两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 2. 平行线的性质 1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等. 2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等. 3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补. 压轴题型讲练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质． （1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证； （2）根据，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键． （1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①， 又∵②， ∴①②联立可得， ∴． 【变式训练3】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得； （2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系； （3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：如图3所示： 由（2）的结论得：， ∵， ∴①， ∵， ∴， 由（2）的结论得：， ∴②， 得：． 【变式训练1】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等； （1）过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （2）过点P作，同理可得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （3）延长交于点H，过点G，作，同理可得：，由平行线的性质得，，，由角的和差得 ，由三角形内角和及邻补角的定义得，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， 又，， ， ， ； 故答案：； （2）解：； 理由如下： 过点P作， 同理可得：， ， ， ， ； （3）解：延长交于点H，过点G，作， 同理可得：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴； 【变式训练3】（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 【答案】（1）①；②；（2）不变，；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； ②根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解； （3）由得，当时有，得，根据角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即可得出答案． 【详解】（1）①∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）与之间的数量关系保持不变；理由如下， ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴； ∴与之间的数量关系保持不变，关系为； （3）∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 例题：（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，求的度数； (2)如图2，当点P在点A左侧运动时，若平分，交直线于点D．的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的度数不发生变化，，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的知识点是平分线的性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）延长到点，根据平行线性质及角平分线定义即可求解； （2）延长到点，设，根据平行线性质及角平分线定义分别表示、、，由即可得到． 【详解】（1）解：延长到，如图所示： ，， ， ， 平分， ， ， ． （2）点在点左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， 平分， ， ， 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图，当点在点左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点． ①如图，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①的度数不发生变化，，理由见解答过程；②或，理由见解答过程 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）延长到点，根据平行线性质及角平分线定义即可求解； （2）①延长到点，设，根据平行线性质及角平分线定义分别表示、、，由即可得到； ②分两种情况讨论：当点在点左侧运动时、当点在点右侧运动时，设，根据平行线性质及角平分线定义即可得解． 【详解】（1）解：延长到，如图所示： ，， ， ， 平分， ， ， ． （2）①点在点左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， 平分， ， ， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： 当点在点的左侧时，延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； 当点在点的右侧时，延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 【点睛】本题考查的知识点是平分线的性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 【变式训练2】（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知，直线与直线分别交于点E、F. (1)如图1，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的大小不变，. 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． （1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （2）过点P作，根据与的角平分线交于点，可得，进而证明； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： ，，， ， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：的大小不变，. 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 平分， ∴， ∴． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25八年级上·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，图见解析，的度数为或或或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与余角、补角有关的计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）由题意知，，，则，然后作答即可； （3）①当时，如图1，作，则，，，根据，求解作答即可；②由题意知，分，，，四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：由题意知，，， ∴， 故答案为：； （3）①解：当时，如图1，作， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②解：由题意知，分，，，四种情况求解； 当时，如图2， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， ∴； 当时，如图4， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴； 综上所述，存在，的度数为或或或． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形三个内角的度数和是，如图所示是两个三角板不同位置的摆放，其中，，． (1)当时，如图1所示，求的度数． (2)当与重合时，如图2所示，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图3所示，当等于多少度时，？ 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3)时， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果； （2）根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （3）根据内错角相等，两直线平行，以及角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵与重合，且， ∴； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故当时，． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)所有满足条件的t的值为10或40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角的和差求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q，      ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T，    ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 根据题意得：， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40． 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ， 平分， ， 平分， ， ； （3）解：如图，过点作， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点逆时针以每秒的速度进行旋转， ∴， 综上，时，第一次与平行，此时． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，其中点在同一直线上，，，． (1)若相交于点，求的度数； (2)将图中的绕点以每秒的速度顺时针旋转得，设运动时间为秒．当为何值时，与第一次平行； (3)绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转得，旋转过程中若射线、、中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，请求出满足条件的值． 【答案】(1)； (2)秒； (3)值为或或秒． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（）根据三角板的特点，及三角形的外角性质即可求解； （）根据平行线的性质即可求解； （）分如图，当射线为平分线时，如图，当射线为平分线时，如图，当为平分线线时，三种情况讨论即可； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和旋转的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，，， ∴； （2）如图，， ∴， ∴（秒）， （3）分情况讨论， 如图，当射线为平分线时， ∴， 解得：； 如图，当射线为平分线时， ∴， 解得：； 如图，当为平分线线时， ∴， 解得：， 综上可知：满足条件的值为或或秒． 【变式训练3】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践 如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视． 【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数； 【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数； 【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行． 【答案】，，15或82.5秒 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质以及解一元一次方程， 根据角平分的性质得，则，结合平行线的性质得，即可求得； 过点G作，则，有，结合即可； 求得灯光线第一次转到所用时间，在分三种情况：①当与相遇前，设灯的光线转动秒；②当与相遇后， 灯光线转动秒，未到达前， 灯光线未到达前；③当与相遇后，灯的光线转动秒， 未到达，灯光线到达后，分别求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点G作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∵灯光线转动速度是每秒，灯光线先转动30秒，在灯光线第一次转到之前， ∴，解得， ①当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； ②当与相遇后， 灯光线转动秒，未到达前， 灯光线未到达前，两灯的光线， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； 若时，灯光线转动角度为， 灯的光线转动角度为，此时两灯为相遇，故舍去； ③当与相遇后，灯的光线转动秒， 未到达前的光线，灯光线到达后，两灯的光线， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； 故答案为：15或82.5秒． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是含有角的三角板， ∴，，， ∵是含有的三角板， ∴，， ∵在旋转的过程中(转动角度小于)，与的一边平行， ∴有以下三种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为的平分线，即， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】/105度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 【答案】 15 或或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． （1）画出图形，并根据平行线的性质求解即可； （2）分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时， ， ， ， 点与点重合， 三点共线，即如图， ； 故答案为：15； （2）如图，当时，； 如图，当时， ， ， ； 当时，如图， ， ， ． 符合条件的度数为或或， 故答案为：或或 三、解答题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案； （3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：过作，如图， ， ， ，， ， 即； （3）解：设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，试回答下列问题： (1)如图①，判断是否平行． (2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数． (3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2) (3)与的度数之比不发生变化，与的度数之比是，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】贝泰妮主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质得到，进而得到，则； （2）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，再由，可得； （3）由平行线的性质得到，则可得到，则与的度数之比是． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （3）解：与的度数之比不发生变化，为，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴与的度数之比是． 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图 1， ， 平分 ，点 E 在射线 上， ，垂足为点 D ， 平分 ，交射线 于点 F ，点 P 是射线上一点，连结 ． (1)如图 1，若 平分 ，则． (2)如图 2，若 ，求的度数． (3)如图 3，若 ，则 (4)若，直接写出的度数 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）先求解，，再求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）证明，结合，从而可得答案； （3）证明，可得； （4）分两种情况讨论：在的外部，在的内部，再求解，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解： ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， 平分 ， ， ， ， （4）解：如图，当在的外部时， ，， ， ； 如图，当在的内部时， 同理，， ； 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 10．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线上，且，与相交于点G，其中，，，，．    (1)______度； (2)若三角板绕F点按顺时针方向旋转，如图2，当时，此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕F点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请在备用图上画出大致图形，并求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；画图见解析；15秒或45秒或60秒 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点， （1）过G作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过F作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案； 熟练掌握平行线的性质，合理作出辅助线是解此题的关键． 【详解】（1）如图1，过G作，    ∴，， ∴， 故答案：； （2）如图2，过F作，    ∵， ∴． ∴，， ∴； （3）如图3，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：，    如图4，当时， ∵，， ∴， ∴，解得：，    如图5，当时，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴，解得：，    综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 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