精品解析：北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

通州区2024-2025学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 2024年11月 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 当时，函数的值是（ ） A. B. C. D. 3 2. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 4. 如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（ ） A. B. C. D. 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果，那么的值是________． 10. 抛物线的对称轴是直线______． 11. 如图，如果，，，那么度数是________． 12. 在二次函数的图象中，当时，y随x的增大而________．（填增大，减小或不变） 13. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于________． 14. 如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是__________． 15. “准、绳、规、矩”是我国古代使用测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为________米． 16. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为________米． 三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知二次函数的图像经过点，，求二次函数的表达式． 18. 如图，在平行四边形中，E为边上一点．若，，．求证：． 19. 如图，在中，，． （1）利用尺规作图在边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，直接写出函数值y的取值范围． 21. 如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 22. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． （1）求此二次函数图象对称轴（用含m的代数式表示）； （2）请判断，的大小关系并说明理由． 23. 某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一直线上． 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者与旗杆的距离 标杆的长 观测者的眼睛离地面的距离 问题解决 如图，过点作于点，交于点． 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度． 24. 某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； （3）求出y关于x的函数关系式； （4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 25. 如图，在中，D是边上一点，且，延长到点E，使，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：点C是的中点； （2）若，求的长． 26. 已知抛物线，当时，x的取值范围是． （1）该抛物线的开口方向________； （2）若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围． 27. 如图，在中，，为中线，过点C作于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 通州区2024-2025学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 2024年11月 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 当时，函数的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，将代入解析式，进行计算即可． 【详解】解：当时，； 故选B． 2. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线， 故选：D． 4. 如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 5. 已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出图象与轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，当时，，解得：或， ∴当或时，， ∵二次函数的图象经过点，， ∴或； 故选C． 6. 如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，先求出，再证明，最后根据相似比即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点（）， ∴； 故选A． 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给表格，利用待定系数法求出次二次函数的表达式，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：由表格得，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵, ∴开口向上，故①正确 ∵， ∴顶点为：，故②错误， 当时，，故③正确， ∵对称轴为直线，且开口向上， ∴抛物线上距离对称轴越远的点，其函数值越大， ∵，且， ∴，故④正确， ∴正确的为①③④， 故选：C． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果，那么的值是________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用比例的性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 10. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据抛物线解析式是顶点式直接得其对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 故答案为：． 11. 如图，如果，，，那么的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 在二次函数的图象中，当时，y随x的增大而________．（填增大，减小或不变） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小． 13. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查网格中的相似三角形，根据网格特点，证明，得到即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知，得到，则可以再添加从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解：添加条件是， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 15. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为________米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．由矩形的性质可得出，，利用相似三角形的判定和性质，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴(米)， 故答案为：3． 16. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为________米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故答案为：8． 三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知二次函数的图像经过点，，求二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，只需将已知点代入二次函数表达式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为． 18. 如图，在平行四边形中，E为边上一点．若，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．利用平行四边形的性质求得，再证明，利用两角对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，判断，据此即可证明结论成立． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，． （1）利用尺规作图在边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定，三角形内角和定理与性质及作角平分线的方法，解题的关键是根据题意得到相似的条件是作角平分线． （1）作的角平分线，交边于点D； （2）根据两角对应相等三角形相似作等角即可得到答案． 【小问1详解】 解：点D，如图所示， ； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 20 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【小问1详解】 解：列表， 0 1 0 3 4 3 0 描点，连线，函数图象，如下图： ； 【小问2详解】 解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 21. 如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 22. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． （1）求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； （2）请判断，的大小关系并说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线 （2），理由见解析 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小． 【小问1详解】 解：∵二次函数（m为常数） ∴二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点到对称轴的距离比到对称轴的距离远． ∵抛物线开口向上， ∴． 23. 某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一直线上． 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者与旗杆距离 标杆的长 观测者的眼睛离地面的距离 问题解决 如图，过点作于点，交于点． 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、矩形的性质，可证得，得到，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于点，交于点． 根据题意，可得四边形与四边形是矩形． ，，， ，，． ， ． 根据题题意，得， ． 又， ． ，即． ． ． 答：旗杆的高度为． 24. 某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； （3）求出y关于x的函数关系式； （4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【答案】（1）图见解析 （2）3.2米 （3） （4）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象获取信息作答即可； （3）待定系数法求出函数解析式即可； （4）求出时的函数值即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 由图可知：当时，水柱最高点距离地面的垂直高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ∴； 【小问4详解】 当时，； 故答案为：． 25. 如图，在中，D是边上一点，且，延长到点E，使，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：点C是的中点； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似： （1）证明，利用相似比即可得出结论； （2）证明，列出比例式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C是的中点； 【小问2详解】 由（1）知：，点C是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 已知抛物线，当时，x的取值范围是． （1）该抛物线的开口方向________； （2）若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围． 【答案】（1）向上 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据时，x的取值范围是，可知抛物线的开口向上； （2）根据题意，可知，当时，或，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，x的取值范围是， ∴抛物线的开口向上； 故答案为：向上； 【小问2详解】 ∵时，x的取值范围是， ∴当时，或， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线经过点，两点，且， ∴， ∴． 27. 如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等，求得，即可证明； （2）由得到，利用勾股定理求得，，过点B作，交的延长线于H，证明，求得，，证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中线， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）令，求出函数值，进而得到点的坐标即可； （2）令，求出自变量的值，即可得出结果； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 当时， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； 【小问3详解】 当时，则：， ∴在轴的正半轴上， ∵， ∴点在点的下方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时函数值小于等于2， ∴， ∴； 当时，在轴的负半轴上，， ∴点在点上方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值大于等于2， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$