精品解析：山东省德州市天衢新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

山东省德州市天衢新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 （120分钟 150分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 关于二次函数的叙述中，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当与时，函数的值相等 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向下，和对称轴为，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】、∵， ∴图象的开口方向向上，此选项正确，不符合题意； 、由二次函数，顶点坐标为，此选项正确，不符合题意； 、由可知，对称轴为直线，当与时关于直线对称，则函数的值相等，此选项正确，不符合题意； 、当时，随的增大而增大，此选项错误，符合题意； 故选：． 3. 若关于x的方程两个相等的实数根，则k的值是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据题意，运用根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ， ∴， 解得，， 故选：B． 4. 在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，， ∴， 对于反比例函数，在第四象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围． 先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数与一次函数的图象经过的象限即可． 【详解】解：由二次函数图象可知，， 由对称轴，可知， 所以反比例函数的图象在一、三象限， 一次函数经过一、二、四象限． 故选：D． 6. 若一元二次方程的解为，，在函数上有两点，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解求得对称轴，再根据开口方向得出距离对称轴越远函数值越大，根据，到对称轴的距离即可比较其函数值的大小． 【详解】解：∵一元二次方程的解为，， ∴，开口向上，对称轴为， ∴距离对称轴越远函数值越大； ∵，，距离对称轴的距离依次为2和4， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质．能正确求出函数的对称轴，并理解函数开口向上，距离对称轴越远函数值越大是解题关键． 7. 最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ） A. 米 B. 米 C. 3米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可． 【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为， 设二次函数的解析式为：， 由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系， ∴， 把代入可得出：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 当时， 即 解得：，（舍去）， 则此瓜农从点O沿向左最多能走． 故选：A． 8. 已知有且仅有一个正实数满足关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）＝k，则k不可能为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题可以看作抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点问题来解答，根据题意作出图形，结合图形可以直接得到答案． 【详解】解：如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0）． 又因为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， 则该抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），顶点坐标是（2，﹣1）． 所以当抛物线＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点横坐标是正数时，k的取值范围是k≥3或k＝﹣1． 观察选项，只有选项B符合题意． 故选B． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，判断出交点所在的位置是解题的关键． 9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 10. 如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 已知点 M（1，2）在反比例函数的图象上，则 k＝____． 【答案】2 【解析】 【分析】把点M（1，2）代入反比例函数中求出k的值即可． 【详解】解：把点M（1，2）代入得：xy=1×2=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 12. 请写出一个二次函数，其图像同时满足开口向下、对称轴为直线且经过原点：______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线开口方向可确定二次项系数，结合对称轴可确定一次项系数，经过原点可确定常数项，则可求得答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， ∵抛物线开口向下， ∴可取， ∵对称轴为， ， 解得， 经过原点， ， ∴满足条件的函数解析式可以是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与a的符号与关、对称轴公式为是解题的关键． 13. 如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为：4 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 15. 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c的取值范围是 ． 【答案】﹣2＜a+b+c＜0 【解析】 【分析】根据函数的图象与两坐标轴的交点可以得到当x=1是a+b+c的取值范围即可． 【详解】解：∵函数y=ax2+bx+c， ∴当x=1时，y=a+b+c， ∵函数图象与两坐标轴交于点（﹣1，0）和（0，﹣1）， ∴另一个交点位于点（1，0）的右侧，则当x=1是时，函数值一定小于0且a-b+c=0，c=-1 ∴当x=1时的函数值一定小于0， 故a+b+c＜0， ∵a=b-c=b+1＞0 ∴a+b+c=2b＞﹣2 故答案为﹣2＜a+b+c＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象与两坐标轴的交点求得另一个交点的位置． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； （2）对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； 能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【答案】（1） （2）先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 将化成的形式为； 【小问2详解】 解：由（1）中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 19. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【小问1详解】 解：设，由题意知 ，即； 【小问2详解】 当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 20. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2）不存在； 假设存在，设方程的两根分别为、，则，， ， ， ∵且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于k的方程； （1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 【小问2详解】 略 21. 金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，设每箱猕猴桃降价x元． （1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值． 【答案】（1）6 （2）x为2时w最大，最大值为1960 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意，列出方程与函数解析式是解题的关键； （1）每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱，根据每箱的利润与箱数的乘积等于总利润，列出一元二次方程，解之即可； （2）根据题意得w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）； 答：x为6时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． 【小问2详解】 解：由题意得：， 即， 配方得：， 由于二次项系数为负数，则当时，利润最大，最大利润为1960元； 答：x为2时w最大，最大值为1960． 22. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案． 【小问1详解】 解：该抛物线经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 对称轴为，函数图象开口向上， ， ，， 当时，取最大值4， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∴当，即时，， ∴抛物线过定点，且该点在x轴的上方， 由抛物线的对称轴的不同位置，分三种情况： 第一种，当抛物线的对称轴在点的左侧，即时， ∵，抛物线的对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 第二种，当抛物线的对称轴在线段上，即时， ∵抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点， 由抛物线的增减性可知，该交点为顶点，则当时，， 解得，，均不满足的前提条件，故舍去； 第三种，当抛物线的对称轴在点的右侧，即时， ∵，抛物线的对称轴左侧的部分，y随x的增大而减小， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省德州市天衢新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 （120分钟 150分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的叙述中，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当与时，函数的值相等 D. 当时，随的增大而增大 3. 若关于x的方程两个相等的实数根，则k的值是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 4. 在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的解为，，在函数上有两点，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ） A. 米 B. 米 C. 3米 D. 6米 8. 已知有且仅有一个正实数满足关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）＝k，则k不可能为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 5 9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 已知点 M（1，2）在反比例函数的图象上，则 k＝____． 12. 请写出一个二次函数，其图像同时满足开口向下、对称轴为直线且经过原点：______． 13. 如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 15. 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是______． 16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解方程 （1） （2）． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 19. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 20. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 21. 金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，设每箱猕猴桃降价x元． （1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值． 22. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $