2.4 第1课时 两点间的距离（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 C　解析：由|AB|＝＝5，可知(a＋2)2＝9.∴a＝1或－5. 2．已知点M(－1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是(　　) A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0 C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0 D　解析：由|PM|＝|PN|，得(x＋1)2＋(y－3)2＝(x－5)2＋(y－1)2， 化简得3x－y－4＝0. 3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　) A. B． C． D． C　解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B(－1，)， 由两点间的距离公式，得|AB|＝. 4．已知直线l：kx－y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A． B． C． D．3 B　解析：由题易得直线l：kx－y＋2－k＝0，即k(x－1)－y＋2＝0，过定点M(1，2).∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴y＝1－2x，∴|MP|＝＝＝，故当x＝－时，|MP|取得最小值，故选B. 5．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C(，a)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 C　解析：∵|AC|＝ ＝|a|， |BC|＝＝|a|，|AB|＝|a＋a|＝2|a|， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形． 6．已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(5，0) C．(－5，0) D．(－4，0) B　解析：∵A(1，4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)， ∴A′B所在的直线方程为y＝x－5，令y＝0得x＝5. ∴P(5，0). 7．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． 5　解析：易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直， 即△APB为直角三角形， ∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5， 当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立． 8．直线y＝kx＋b上的两点的横坐标分别为x1，x2，则两点间的距离为________；直线y＝kx＋b上的两点的纵坐标分别为y1，y2，则两点间的距离为________． |x1－x2|　|y1－y2|　解析：分别把x1，x2代入到y＝kx＋b中得：y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，所以两点间的距离为 ＝＝|x1－x2|. 分别把y1，y2代入到y＝kx＋b中得：x1＝，x2＝， 所以两点间的距离为 ＝＝|y1－y2|. 9．已知点A(1，1)，B(2，2)，C(4，0)，D(，)，点P在线段CD垂直平分线上，求： (1)线段CD垂直平分线方程； (2)|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标． 解：(1)由C(4，0)，D(，)， 得线段CD的中点M(，)， kCD＝＝－2， ∴线段CD的垂直平分线的斜率为， ∴线段CD垂直平分线方程为y－＝(x－)， 即x－2y＝0. (2)设P(2t，t)， 则|PA|2＋|PB|2＝(1－2t)2＋(1－t)2＋(2－2t)2＋(2－t)2＝10t2－18t＋10. 当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，即P(，). 10．已知两定点A(－3，5)，B(2，8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．5 B． C．5 D．2 D　解析：由题意知，两定点A(－3，5)，B(2，8)在直线x－y＋1＝0同侧，动点P在直线x－y＋1＝0上． 设点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为C(a，b)， 则解得， ∴C(4，－2)， ∴|PA|＋|PB|的最小值为|BC|＝＝2. 11．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上分别找一点M和N，使△AMN的周长最短，则最短周长为(　　) A．4 B．2 C．2 D．2 B　解析：设点A关于直线y＝x的对称点为B(x1，y1)，依题意可得解得即B(1，3)，同样可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示，连接BC，就得到点M，N，则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B，M，N，C共线时，△AMN的周长最短， 即|BC|＝＝2. 12．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D． B　解析：S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 13.如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O顺时针旋转30°(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标(x，y)用如下方式定义：过P作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox于点M，Oy于点N，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.在斜坐标系中，若A，B两点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，则线段AB的长为________________． 　解析：如图， ∵在斜坐标系中，A(1，2)，∴过A作AE⊥x轴， ∵|OF|＝1，|AF|＝2，∠EAF＝30°，∴|EF|＝1，|AE|＝， ∴在平面直角坐标系中，A(2，). ∵在斜坐标系中，B(－2，3)，∴过B作BQ⊥x轴， ∵|OP|＝2，|PB|＝3，∠PBQ＝30°， ∴|PQ|＝，|BQ|＝， ∴在平面直角坐标系中，B(－，). ∴线段AB的长|AB|＝＝. 14．已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P(x，y)满足方程x2＋y2＝4，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值． 解：已知P(x，y)，则x2＋y2＝4. |PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2 ＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y. ∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88. 即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72. 学科网（北京）股份有限公司 $$