2.4 点到直线的距离（第2课时 点到直线的距离）（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.4 点到直线的距离 第2课时　点到直线的距离 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点） 2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点） 3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点） 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 情景导入 如何求已知点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离？ 如图，过点P0作直线 l 的垂线P0P1，交 l 于点P1(x1，y1)，则P0到直线 l 的距离 d =|P0P1|． 由于两条线段P0P1和P0N都与 l 垂直，因此它 们共线，夹角为0或π，则它们表示的向量的数量 积的绝对值等于它们的长度的乘积，即 从P0出发作有向线段表示直线 l 的法向量P0N=(A，B)． 新知探究 5 由此得到 则 又点P1(x1，y1)在直线 l 上，则有Ax1＋By1 ＋C=0． 所以可以得到点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离公式： 6 例3 已知∆ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(3，4)． （1）求AB边上的高CD的长； 解： （1） 直线AB的一个方向向量 AB = (3，－1)， 因此直线AB的一个法向量 n = (1，3)． 故可设直线AB的一般式方程为 x＋3y＋C=0． 将点A的坐标(－1，1)代入上述方程，得： －1＋3×1＋C=0 ， 解得： C=－2．因此直线AB方程为：x＋3y－2=0． 高CD的长即为点C(3，4)到直线AB的距离，则有 7 例3 已知∆ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(3，4)． （2）求∆ABC的面积S∆ABC． 8 例4 （1）求证：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1=0 与l2：Ax＋By＋C2=0 的距离是 解：（1）在l1上任取一点P(x1，y1)，则Ax1＋By1 =－C1． 点P到l2的距离d就是平行直线l1与l2的距离，即 两平行线间的 距离可转化为点到直线的距离． 9 例4 （2）求平行直线l1：4x－3y＋6=0 与l2：4x－3y－8=0的距离． 解：（2）由（1）所得公式，得直线l1与l2的距离 10 题型1　点到直线的距离 典例剖析 B x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0 概念归纳 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立， 但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 题型2　两条平行线间的距离 典例剖析 C 2x－y＋1＝0 概念归纳 两条平行直线间距离的三种求法 (1)直接利用两条平行线间的距离公式． (2)在一条直线上任取一点，利用点到直线的距离公式求解 (一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②当两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 　已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程． 典例剖析 　题型3　距离公式的综合应用 概念归纳 距离公式综合应用的三种常见类型 (1)最值问题． ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． 概念归纳 (2)求参数问题． 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题． 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． 错因分析 易错警示　有关距离公式的综合应用 错解分析： 错误的根本原因是忽视直线过原点的情况造成漏解，以及距离公式的错用． 错因分析 错因分析 防范措施： 1．分类讨论思想的正确应用 解题时，分类讨论是常用的数学思想方法之一，正确把握分类讨论的标准是解题的关键，如本题直线过原点与不过原点时，直线方程的形式是不一样的，所以必须分情况讨论． 2．公式的正确应用 解题时，正确应用公式、性质是解题得分的前提，如本题中若距离公式不能正确应用，则解答无法继续或必然出现错误结果. 错因分析 A 分层练习-基础 D 27 分层练习-基础 3．若直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　) A．3x－4y＋5＝0 B．4x－3y＋2＝0 C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0 D．x＝1或3x－4y＋5＝0 4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　) A．[－11，－1] B．[－11,0] C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞) D C 5．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是 ． 6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为 ． 分层练习-基础 x＝1或 x－y－1＝0 3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 10．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 点到直线的距离公式： 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离公式： 两平行线间的距离公式： 直线l1：Ax＋By＋C1=0 与l2：Ax＋By＋C2=0的距离公式： 课堂小结 35 (1)点(0,5)到直线y＝2x的距离是 (　　) A．eq \f(5,2) B．eq \r(5) C．eq \f(3,2) D．eq \f(\r(5),2) (2)过点A(－1,2)，且与原点的距离等于eq \f(\r(2),2)的直线方程为__________． 【解析】(1)y＝2x化为一般式为2x－y＝0， 点(0,5)到直线y＝2x的距离d＝eq \f(|－5|,\r(－12＋22))＝eq \f(5,\r(5))＝eq \r(5). (2)因为所求直线方程过点A(－1,2)，所以由题意可设直线方程为 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 又原点到直线的距离等于eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(2),2)， 解得k＝－7或k＝－1. 故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. (1)两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于 (　　) A．3 B．7 C．eq \f(1,10) D．eq \f(1,2) (2)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程为________． 【解析】(1)方法一，在3x＋4y－2＝0上取一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))， 其到6x＋8y－5＝0的距离即为两条平行线间的距离， d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0＋8×\f(1,2)－5)),\r(62＋82))＝eq \f(1,10). 方法二，将3x＋4y－2＝0变形为6x＋8y－4＝0， 则两条平行线间的距离为d＝eq \f(|－4－－5|,\r(62＋82))＝eq \f(1,10). (2)设所求的直线方程为2x－y＋c＝0， 分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上 取点A(0,3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0距离相等， 即eq \f(|－3＋c|,\r(22＋－12))＝eq \f(|1＋c|,\r(22＋－12))，解得c＝1. 故直线l的方程为2x－y＋1＝0. 解：设点P(1,5)到直线x＋3y－13＝0的距离为d， 则d＝eq \f(3,\r(10)). 因为lAB∥lCD，所以可设lAB：x＋3y＋m＝0. 点P(1,5)到直线AB的距离也等于d，则eq \f(|m＋16|,\r(10))＝eq \f(3,\r(10))， 又因为m≠－13， 所以m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0. 因为lAD⊥lCD， 所以可设lAD：3x－y＋n＝0， 则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离，且都等于eq \f(3,\r(10))， 所以eq \f(|n－2|,\r(10))＝eq \f(3,\r(10))，n＝5或n＝－1， 结合图形可知lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0， 或lBC：3x－y＋5＝0，lAD：3x－y－1＝0. 所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为 x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0. 　直线l在两坐标轴上的截距相等，且点M(1，－1)到直线l的距离为eq \r(2)，则直线l的方程为______________． 错解：当直线不经过坐标原点时，设所求直线方程为 eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0. 由题意可得eq \r(2)＝eq \f(|1－1－a|,\r(1＋1))，解得a＝2或a＝－2. 故直线l的方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0. 正解：(1)当所求直线经过坐标原点时，设直线l的方程为y＝kx， 即kx－y＝0， 因为点M(1，－1)到直线l的距离为eq \r(2)， 则由点到直线的距离公式可得eq \r(2)＝eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1))，解得k＝1. 故直线l的方程为x－y＝0. (2)当直线不经过坐标原点时， 设所求直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0. 由题意可得eq \r(2)＝eq \f(|1－1－a|,\r(1＋1))，解得a＝2或a＝－2. 故直线l的方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0. 综上，直线l的方程为 x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0. 1．直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0的距离是(　　) A． B． C． D． 2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　) A． B．－ C．－ D．或－ 7．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________. 或 8．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0，若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 解：设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－. 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 9．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程． 解：因为l1∥l2，所以＝≠， 得或 (1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0. 所以＝，解得n＝－22或n＝18. 所以所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. (2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0， 所以＝，解得n＝－18或n＝22. 所以所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 解：由题知|AB|＝＝5， 因为S△ABC＝|AB|·h＝10，所以h＝4. 设点C的坐标为(x0，y0)， 而AB的方程为y－2＝－(x－3)，即3x＋4y－17＝0. 所以 解得或 所以点C的坐标为(－1,0)或. 11．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的变化范围； (2)当d取最大值时，求两条直线的方程． 解：(1)方法一，设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2， 则即而d＝＝， 两边平方整理得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. 由于k∈R，所以Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得4d2(d2－90)≤0，所以0<d≤3. 方法二，结合图形可知，当两条平行线均与线段AB垂直时， 距离d＝|AB|＝3最大， 当两条直线都过A，B点时距离d＝0最小， 但平行线不能重合， 所以0<d≤3. (2)当d＝3时，因为kAB＝＝，kAB·k＝－1，所以k＝－3. 故两条直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. $$