2.2.4 直线的方向向量与法向量（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．(多选题)已知直线l的斜率为－3，则直线l的一个方向向量的坐标为(　　) A．(1，－3) B．(－1，3) C．(－1，－3) D．(2，－6) ABD　解析：v＝(1，－3)及与其共线的向量都可作为直线l的一个方向向量． 2．已知直线l过点(－2，1)与(2，3)，则直线l的一个法向量是(　　) A．(4，2) B．(4，－2) C．(－2，4) D．(－2，－4) C　解析：直线l的一个方向向量v＝(2＋2，3－1)＝(4，2)，可判定(－2，4)是直线l的一个法向量． 3．直线经过点A(4，2)，且与P(－2，3)，Q(6，3)两点的连线垂直的直线方程为(　　) A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y＝0 C．x－4＝0 D．y－2＝0 C　解析：＝(6－(－2)，3－3)＝(8，0)，即为所求直线的法向量， 由方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得8×(x－4)＋0×(y－2)＝0，即x－4＝0. 4．点M(x0，y0)是直线Ax＋By＋C＝0上的点，则直线方程可表示为(　　) A．A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 B．A(x－x0)－B(y－y0)＝0 C．B(x－x0)＋A(y－y0)＝0 D．B(x－x0)－A(y－y0)＝0 A　解析：由点在直线上得Ax0＋By0＋C＝0，得C＝－Ax0－By0，代入直线方程Ax＋By＋C＝0，得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.选A. 5．过点P(1，2)，法向量n＝(3，5)的直线l的方程为________________． 3x＋5y－13＝0　解析：由题意，直线l的方程为3(x－1)＋5(y－2)＝0.即3x＋5y－13＝0. 6．直线l的一个方向向量d＝(3，)，则直线l的倾斜角是________，直线l的斜率是________． 　　解析：d＝(3，)＝3(1，)，设c＝(1，)，则d∥c.由向量d＝(3，)是直线l的一个方向向量，则c＝(1，)也为直线l的一个方向向量．则直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为. 7．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________． 2－3　(1，－)(答案不唯一)　解析：设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，又tan α＝＝，又0°≤α<180°，∴α＝60°，2α＝120°，∴kAC＝＝tan 120°＝－，得m＝2－3，直线AC的一个方向向量为(1，－). 8．已知直线l经过点(2，－3)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 B　解析：易知2x－y－5＝0的斜率为2，则直线2x－y－5＝0的方向向量为(1，2)，因为两直线垂直，故直线l的法向量为(1，2)，∵直线l经过点(2，－3)，由方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得1×(x－2)＋2×(y＋3)＝0，整理可得y＝－x－2，故直线l在y轴上的截距为－2，故选B. 9．已知A(0，4)，B(－8，0)，则过AB的中点，且垂直于AB方向的直线方程为________． 2x＋y＋6＝0　解析：AB的中点坐标为(－4，2)，＝(－8－0，0－4)＝(－8，－4)，又∵就是所求直线的法向量， 由方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得(－8)(x＋4)－4(y－2)＝0，即所求直线方程为2x＋y＋6＝0. 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，2)，B(3，0)，C(0，－1)，求AB边上的高所在直线的方程． 解：∵＝(3－2，0－2)＝(1，－2)为所求高的法向量，又∵高线过点C(0，－1)， 代入方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得1×(x－0)＋(－2)×(y－(－1))＝0， 整理得x－2y－2＝0，∴AB边上的高所在直线的方程为x－2y－2＝0. 11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 解：由已知，l的方程3x＋4y－12＝0可化为y＝－x＋3， 所以直线l的方向向量为(1，－)， (1)由l与l′平行，得直线l′的方向向量为(1，－)， ∴直线l′的法向量为(－，－1). 又因为l′过(－1，3)，由方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得(－)(x＋1)＋(－1)(y－3)＝0，即3x＋4y－9＝0. (2)由l与l′垂直，得直线l′的法向量为(1，－). 又因为l′过(－1，3)，由方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得1×(x＋1)＋(－)(y－3)＝0，即4x－3y＋13＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$