课时测评18 直线的一般式方程 直线的方向向量与法向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评18　直线的一般式方程　直线的方向向量与法向量 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.若直线x＋ay－1＝0的倾斜角为45°，则a＝(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案：C 解析：直线x＋ay－1＝0化为斜截式可得y＝－x＋.由题意可得－＝tan 45°＝1，所以a＝－1. 2.已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为(　　) A. (－3，－4) B. C. D. ± 答案：D 解析：由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)， 则｜｜＝＝5，因此直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±， 故选D. 3.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案：C 解析：将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错； B中，由l1的图象可知，a＜0，b＞0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故B错； C中，由l1的图象可知，a＞0，b＞0，由l2的图象可知，a＞0，b＞0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a＞0，b＜0，由l2的图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故D错. 4.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 答案：A 解析：原方程化为＋＝1， 所以＝－1，所以b＝－1. 又因为ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， 所以k＝tan 120°＝－，所以a＝－，故选A. 5.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.平面内任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 答案：ABC 解析：A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x＝x1，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的.B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0).C说法正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行.D说法显然错误. 6.已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝　　　　. 答案：－ 解析：直线方程可化为＋＝1，所以－×4＝3，解得m＝－. 7.已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为　　　　　　　. 答案：x－3y＋24＝0 解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0. 8.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且｜PA｜＝｜PB｜.若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为　　　　；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为　　　　　　　. 答案：－　x＋y－5＝0 解析：由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补， 故kPB＝－kPA＝－； 因为PA的直线为x－y＋1＝0，所以kPA＝1，kPB＝－1. 又x＝2时，y＝3，即P点坐标为(2，3)， 故PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0. 9.(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0， 所以a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2， 所以＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)， 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不经过第二象限， 所以解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]. 10.(10分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程. 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， 因为点B在中线BE：y－1＝0上， 所以设B点坐标为(x，1). 又因为A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， 所以由中点坐标公式得D点坐标为. 又因为点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， 所以－2×2＋1＝0，解得x＝5， 所以B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 11.(5分)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示，则(　　) A.b＞0，d＜0，a＜c B.b＞0，d＜0，a＞c C.b＜0，d＞0，a＞c D.b＜0，d＞0，a＜c 答案：C 解析：由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－＞0，k2＝－＞0且k1＞k2，所以a＜0，c＜0且a＞c. 又l1的纵截距－＜0，l2的纵截距－＞0，所以b＜0，d＞0，故选C. 12.(5分)已知两条直线l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝　　　　. 答案：3 解析：因为直线l1：ax－2y－3－0的一个法向量恰为l2：4x＋6y－3＝0的一个方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得a＝3. 13.(13分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，求直线FH的一般式方程. 解：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略). 因为四边形ACGH为正方形， 所以Rt△AMH≌Rt△COA， 因为MA＝OC＝1，MH＝OA＝2， 所以OM＝OA＋AM＝3， 所以点H的坐标为(2，3)，同理可得F(－2，4)， 所以直线FH的方程为＝， 化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 14.(17分)已知直线l：＋＝1. (1)若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程. 解：(1)因为直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则斜率k＝＜2，解得m＞0或m＜－4且m≠4. 所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(0，4)∪(4，＋∞). (2)由m＞0，4－m＞0得0＜m＜4. 则△AOB的面积S＝m(4－m)＝－(m－2)2＋2. 当m＝2时，S有最大值为2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $