4 2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 学习目标 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 4.掌握直线的方向向量及法向量，并能解决相关问题. 任务一　直线的一般式方程 问题.直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示：y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线. 1.直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 我们把方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式. 2.二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程都是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程表示. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 求直线一般式方程的策略 　　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 对点练1.(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式方程. ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为　　　　　　　　； ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为　　　　　　　　； ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为　　　　　　　　. (2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　) A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0 C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0 答案：(1)①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0　(2)D 解析：直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， 因为所求直线过点A且斜率为－， 所以所求直线的方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0. 学生用书⬇第50页 任务二　直线的方向向量和法向量 1.我们把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量，斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍； 2.与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量. (1)关于直线l：x－y＋2＝0，下列说法中正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为60° B.向量v＝(，1)是直线l的一个方向向量 C.直线l经过点(1，－) D.向量n＝(1，)是直线l的一个法向量 (2)过点(－1，2)且以直线2x－3y－7＝0的法向量为方向向量的直线的一般式方程是　　　　　　. 答案：(1)B　(2)3x＋2y－1＝0 解析：(1)因为直线l：x－y＋2＝0，所以斜率k＝，所以倾斜角为α＝，一个方向向量为，因此v＝(，1)是直线l的一个方向向量. (2)直线2x－3y－7＝0的斜率为，则所求直线的斜率为－，所以所求的直线方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 1.直线Ax＋By＋C＝0，斜率k＝－(B≠0)，一个方向向量为(B，－A)； 2.已知直线上一点P(x0，y0)以及直线的法向量n＝(A，B)，则直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0). 对点练2.(1)过点(0，1)且以直线x＋2y－3＝0的法向量为方向向量的直线的一般式方程为　　　　　　　； (2)若直线2x－3y＋5＝0的法向量是直线(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量，则实数a＝　　　　. 答案：(1)2x－y＋1＝0　(2)－ 解析：(1)直线x＋2y－3＝0的法向量(1，2)为所求直线的方向向量，则所求直线的斜率为2，故可得所求的直线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. (2)由题意，直线2x－3y＋5＝0的法向量为n＝(2，－3)，直线(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量为v＝(3a，2－a)，可得n∥v，所以2(2－a)－(－3)×3a＝0，解得a＝－. 任务三　直线的一般式方程的应用 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值. 解：(1)令y＝0，则x＝， 所以＝－3. 解得m＝－或m＝3，又2m－6≠0，所以m≠3，所以m＝－. (2)由直线l化为斜截式方程得 y＝x＋，则＝1， 解得m＝－2或m＝－1.又m2－2m－3≠0，所以m≠3且m≠－1，所以m＝－2. 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 对点练3.(变条件)对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，则m的值为　　　　. 答案： 解析：因为直线l与y轴平行， 所以解得m＝. 对点练4.如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第　　　　象限. 答案：三 解析：由题意知A·B·C≠0， 直线方程变形为y＝－x－. 因为A·C＜0，B·C＜0，所以A·B＞0， 所以其斜率k＝－＜0， 又y轴上的截距b＝－＞0. 所以直线过第一、二、四象限，不经过第三象限. 学生用书⬇第51页 1.直线＋＝1化成一般式方程为(　　) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 答案：C 解析：直线＋＝1化成一般式为4x＋3y－12＝0. 2.若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为(　　) A.6 B.2 C.－2 D.－6 答案：A 解析：令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，则a＝2，b＝－4，所以a－b＝6. 3.倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0 C.x－3y－1＝1 D.x＋3y－1＝0 答案：A 解析：由题意知，直线斜率k＝tan 60°＝，在y轴上的截距为－1，所以直线的斜截式方程是y＝x－1，化为一般式为x－y－1＝0. 4.若直线l经过点A(－1，4)，B(3，2)，则直线的一个法向量n为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为＝， A.当n＝，则·n＝4＋4＝8≠0，不满足； B.当n＝，则·n＝16＋4＝20≠0，不满足； C.当n＝，则·n＝16－4＝12≠0，不满足； D.当n＝，则·n＝4－4＝0，满足. 故选D. 5.求直线的斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的一般式方程. 解：设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b. 令y＝0，得x＝－b，所以＝6，解得b＝±3. 所以直线l的方程为y＝x±3，化为一般式为3x－4y±12＝0. 课时测评18　直线的一般式方程　直线的方向向量与法向量 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.若直线x＋ay－1＝0的倾斜角为45°，则a＝(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案：C 解析：直线x＋ay－1＝0化为斜截式可得y＝－x＋.由题意可得－＝tan 45°＝1，所以a＝－1. 2.已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为(　　) A. (－3，－4) B. C. D. ± 答案：D 解析：由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)， 则｜｜＝＝5，因此直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±， 故选D. 3.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案：C 解析：将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错； B中，由l1的图象可知，a＜0，b＞0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故B错； C中，由l1的图象可知，a＞0，b＞0，由l2的图象可知，a＞0，b＞0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a＞0，b＜0，由l2的图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故D错. 4.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 答案：A 解析：原方程化为＋＝1， 所以＝－1，所以b＝－1. 又因为ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， 所以k＝tan 120°＝－，所以a＝－，故选A. 5.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.平面内任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 答案：ABC 解析：A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x＝x1，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的.B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0).C说法正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行.D说法显然错误. 6.已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝　　　　. 答案：－ 解析：直线方程可化为＋＝1，所以－×4＝3，解得m＝－. 7.已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为　　　　　　　. 答案：x－3y＋24＝0 解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0. 8.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且｜PA｜＝｜PB｜.若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为　　　　；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为　　　　　　　. 答案：－　x＋y－5＝0 解析：由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补， 故kPB＝－kPA＝－； 因为PA的直线为x－y＋1＝0，所以kPA＝1，kPB＝－1. 又x＝2时，y＝3，即P点坐标为(2，3)， 故PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0. 9.(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0， 所以a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2， 所以＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)， 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不经过第二象限， 所以解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]. 10.(10分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程. 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， 因为点B在中线BE：y－1＝0上， 所以设B点坐标为(x，1). 又因为A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， 所以由中点坐标公式得D点坐标为. 又因为点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， 所以－2×2＋1＝0，解得x＝5， 所以B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 11.(5分)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示，则(　　) A.b＞0，d＜0，a＜c B.b＞0，d＜0，a＞c C.b＜0，d＞0，a＞c D.b＜0，d＞0，a＜c 答案：C 解析：由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－＞0，k2＝－＞0且k1＞k2，所以a＜0，c＜0且a＞c. 又l1的纵截距－＜0，l2的纵截距－＞0，所以b＜0，d＞0，故选C. 12.(5分)已知两条直线l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝　　　　. 答案：3 解析：因为直线l1：ax－2y－3－0的一个法向量恰为l2：4x＋6y－3＝0的一个方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得a＝3. 13.(13分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，求直线FH的一般式方程. 解：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略). 因为四边形ACGH为正方形， 所以Rt△AMH≌Rt△COA， 因为MA＝OC＝1，MH＝OA＝2， 所以OM＝OA＋AM＝3， 所以点H的坐标为(2，3)，同理可得F(－2，4)， 所以直线FH的方程为＝， 化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 14.(17分)已知直线l：＋＝1. (1)若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程. 解：(1)因为直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则斜率k＝＜2，解得m＞0或m＜－4且m≠4. 所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(0，4)∪(4，＋∞). (2)由m＞0，4－m＞0得0＜m＜4. 则△AOB的面积S＝m(4－m)＝－(m－2)2＋2. 当m＝2时，S有最大值为2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $