2.2.1 直线的点斜式方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 D　解析：因为直线与x轴平行，所以其斜率为0，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝0×(x－3)，即y＝－2. 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(－1，2)，斜率为1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1 C　解析：结合直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)得C正确． 3．已知直线l的方程为y＝2 022x－2 023，则直线l在y轴上的截距为(　　) A．2 022 B．－2 022 C．2 023 D．－2 023 D　解析：因为b为直线y＝kx＋b在y轴上的截距，所以直线l：y＝2 022x－2 023在y轴上的截距为－2 023. 4．(多选题)下列四个结论，其中正确的为(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1 D．所有直线都有点斜式和斜截式方程 BC　解析：对于A，方程k＝，表示不过(－1，2)的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线．A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，直线垂直于x轴．B正确．对于C，因为斜率为0，故方程为y＝y1，显然正确；对于D所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故D不正确． 5．(多选题)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程可能是(　　) A．y＝x－6 B．y＝－x＋6 C．y＝－x－6 D．y＝x＋6 AC　解析：由直线与y轴相交成30°角知，直线的倾斜角为60°或120°，从而斜率为±. 又知直线在y轴上的截距为－6，因此直线的方程为y＝±x－6. 6．将直线y＝(x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．3x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y－2＝0 A　解析：∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°， ∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0).∴其方程为y－0＝－(x－2)，即x＋y－2＝0. 7．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　) D　解析：对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0. 8．已知A(3，0)，B(0，2)，C(2，6)，则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为________． y＝－2x＋6　解析：设BC的中点为D(x，y)，则x＝＝1，y＝＝4，所以D(1，4)；计算AD的斜率为kAD＝＝－2，所以BC边上的中线所在的直线方程为y－0＝－2(x－3)，即y＝－2x＋6. 9．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点(，－1)； (2)在y轴上的截距是－5. 解：因为直线y＝－x＋1的斜率k＝－， 又0°≤α<180°，所以其倾斜角α＝120°. 由题意得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. (1)因为所求直线经过点(，－1)，斜率为， 所以所求直线方程是y＋1＝(x－). (2)因为所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， 所以所求直线的方程为y＝x－5. 10．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2) B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60° D．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是∪ ABD　解析：y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；直线的斜率k＝－sin α，则－1≤k≤1，即－1≤tan α≤1，则θ∈∪，故D正确． 11．在y轴上的截距是－6，倾斜角的正弦值是的直线方程是________． y＝±x－6　解析：设直线的倾斜角为α，则sin α＝， 当α为锐角时，cos α＝，则k＝tan α＝； 当α为钝角时，cos α＝－，则k＝tan α＝－. 又直线在y轴上的截距是－6， ∴所求直线方程为y＝±x－6. 12．已知直线l过点P(－2，0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为________． y＝5x＋10或y＝－5x－10　解析：设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得×|－2|×|b|＝10，b＝±10. ①当b＝10时，直线过点(－2，0)，(0，10)，斜率k＝＝5. 故直线的斜截式方程为y＝5x＋10. ②当b＝－10时，直线过点(－2，0)，(0，－10)，斜率k＝＝－5. 故直线的斜截式方程为y＝－5x－10. 综合①②可知，直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10. 13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． (1)证明：证法一　直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1). 证法二　设直线l过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0， 解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2，1). (2)解：直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1， 要使直线l不经过第四象限，则 解得k的取值范围是[0，＋∞). (3)解：依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A(－，0)，B(0，1＋2k). 又－<0且1＋2k>0，∴k>0. 故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k) ＝(4k＋＋4)≥(4＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$