1.3.3 第2课时 等比数列与指数函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．1002－992＋982－972＋…＋22－12的值是(　　) A．5 000 B．5 050 C．10 100 D．20 200 B　解析：原式＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝×100×(1＋100)＝5 050. 2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，a3＝10，{an＋1－an}是等比数列，则数列{an}的前8项和S8＝(　　) A．376 B．382 C．749 D．766 C　解析：由已知得，a2－a1＝3，a3－a2＝6，而{an＋1－an}是等比数列，故q＝2， 所以(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3＋6＋…＋3×2n－2＝＝3×2n－1－3， 所以an－a1＝3×2n－1－3，化简得an＝3×2n－1－2， S8＝a1＋a2＋…＋a8＝3×(1＋2＋…＋27)－2×8＝3×－16＝3×28－19＝749. 3．已知数列的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)， 则S15＋S22－S31的值是(　　) A．13 B．－76 C．46 D．76 B　解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29， S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76. 4．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝n2＋1，则{an}是等差数列 B．若Sn＝3n－1，则{an}是等比数列 C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5 D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S1·S3>S BC　解析：若Sn＝n2＋1，当n≥2时，an＝2n－1，a1＝2不满足an＝2n－1，故A错误．若Sn＝3n－1，则an＝a1＝2满足an＝2·3n－1，所以{an}是等比数列，故B正确．若{an}是等差数列，则S9＝＝9a5，故C正确．S1·S3－S＝a(1＋q＋q2)－a(1＋q)2＝－aq<0，故D错误． 5．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第六名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元． 126　解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走后的剩余资金为a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，所以an＋1＋2＝(an＋2)，所以{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.所以an＋2＝(a1＋2)·()n－1，即an＝(a1＋2)·()n－1－2.因为第六名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×()6－2＝0.所以a1＝126，即全部资金为126万元． 6．以a1为首项、q为公比的等比数列{an}满足a1＝，q＝－，设数列{an}的前n项和为Sn，若t≤Sn≤3t恒成立，则实数t的取值范围是________． 　解析：由题意得 Sn＝＝1－(－)n， 可得S2≤Sn≤S1，所以≤Sn≤， 所以即≤t≤. 7．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101. 8．某工厂2024年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x<200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2024年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2034年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元).(参考数据：1.29≈5.160，1.210≈6.192，1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x，整理得： an＋1－5x＝(an－5x)， ＝，又a1－5x＝1 000－5x>0， 所以数列{an－5x}是以1 000－5x为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1 000－5x)·()n－1， an＝(1 000－5x)·()n－1＋5x. 若2034年初资金翻两番， 则a11＝(1 000－5x)·()10＋5x≥4 000，解得x≤84.4， 所以x的最大值是84. 9．(多选题)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 ABC　解析：设第n＋1分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减得：an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310>×105，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确． 10．已知数列{an}中，其前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，数列{a}的前n项和为Tn，若S＋λTn>0对n∈N＋恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－1，3) C．(3，) D．(－1，＋∞) D　解析：当n＝1时，S1＝2－a1，得a1＝1； 当n≥2时，由Sn＝2－an，得Sn－1＝2－an－1，两式相减得＝， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列． 因为＝，所以＝. 又a＝1，所以{a}是以1为首项，为公比的等比数列， 所以Sn＝＝2，Tn＝＝， 由S＋λTn>0，得3(2n－1)＋λ(2n＋1)>0， 所以－λ<＝＝3－， 所以－λ<3－＝3－2＝1， 所以λ>－1. 综上，实数λ的取值范围是(－1，＋∞). 11．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，数列{an}的前n项和为Sn，则log(Sn＋2)的最大值为________． －2　解析：由题意得an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，an－2－an－3＝2n－3，…，a2－a1＝2，将以上各式相加，得an－a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＝＝2n－2， 所以an＝2n，a1也适合，Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2，Sn＋2＝2n＋1≥4.则log(Sn＋2)的最大值为log4＝－2. 12．在一次人才招聘会上，A，B两家公司分别开出了工资标准： A公司 B公司 第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元 第一年月工资为2 000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5% 大学生王明被A，B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？ 解： A公司 B公司 王明的选 择过程 第n年月工资为an 第n年月工资为bn {an}是首项为1 500，公差为230的等差数列 {bn}是首项为2 000，公比为1＋5%的等比数列 an＝230n＋1 270 bn＝2 000(1＋5%)n－1 S10＝12(a1＋a2＋…＋a10)＝12×[ ]＝304 200(元) T10＝12(b1＋b2＋…＋b10)＝12×≈301 869(元) 显然，S10>T10，因此，王明选择A公司． 13．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备． (1)如果10年后该校实验设备的学生人均占有率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ (2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据提供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.60 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 解：(1)今年学生人数为b，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b， 由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x， 2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，… 10年后的设备为a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)＝2.6a－x×＝2.6a－16x，由题设得＝2·，解得x＝. 所以每年应更换的旧设备为套． (2)全部更换旧设备共需a÷＝16年．所以按此速度，共需16年能更换所有需要更换的旧设备． 学科网（北京）股份有限公司 $$