1.3.3 第1课时 等比数列及其通项公式 （Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　　) A．8　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．1 A　解析：∵(S6－S3)2＝S3(S9－S6)， ∴S9－S6＝8. 2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　) A．1 B．0 C．1或0 D．－1 A　解析：∵Sn－Sn－1＝an(n≥2)，{Sn}是等差数列， ∴an(n≥2)为定值，即等比数列{an}为常数列．∴q＝＝1(n≥2). 3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6(1－3－10) B．(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) C　解析：由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10). 4．(多选题)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　) A．an＝()n－5 B．an＝2n＋1 C．Sn＝32－ D．Sn＝2n＋4－16 AC　解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5.设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0， 解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16. 所以数列{an}的通项公式为an＝16·()n－1＝()n－5，Sn＝＝32－. 5．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________． 　解析：设等比数列的公比为q，则 an＝a1qn－1＝qn－1. ∵a1＝1，S3＝， ∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0. ∴q＝－.∴S4＝＝. 6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝90，设bn＝log2an，那么数列{bn}的前15项和为________． 120　解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a3＝30，S4＝90， 若q＝1，则a1＝15，S4＝4a1＝60≠90，不成立， 所以q≠1，则a1＋a1q2＝30，＝90，解得a1＝6，q＝2， 所以an＝a1qn－1＝3·2n，所以bn＝log2an＝n， 所以数列{bn}的前15项和为S15＝＝＝120. 7．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 解：设等比数列{an}的公比为q(q≠0). 由已知可得 即 解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1. 所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝. 8．在数列{an}中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N＋)，且a1＝1. (1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)证明：由已知得an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，又a1＝1， ∴b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知，bn＝＝n， 所以an＝n·2n－1. 所以Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， 两边乘2，得2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1， 所以Sn＝(n－1)2n＋1. 9．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　) A．S1 B．S2 C．S3 D．S4 C　解析：由题得S1正确．若S4错误，则S2，S3正确．于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65. 若S3错误，则S2正确．此时，a1＝8，a2＝12. 所以q＝.所以S4＝＝＝65，符合题意． 10．(多选题)已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　) A．{an}为单调递增数列 B．＝9 C．S3，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 BD　解析：由a6＝8a3，可得a3q3＝8a3，则q＝2，当首项a1<0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；由＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S3S9，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，显然S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}是公比为q的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，所以Sn＝2an－a1，故D正确． 11．等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 2　解析：设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1， S2n＝， S奇＝. 由题意得＝. 所以1＋q＝3.解得q＝2. 12．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． (1)证明：由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2nan＋n①， 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②， ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)， 即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N＋， 所以{an}是以1为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12， 所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝(n－)2－， 所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 13．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. (1)解：设等比数列{an}的公比为q，因为{an}是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列， 所以6a2＝a1＋9a3，两边同时除以a1得 9q2－6q＋1＝0，解得q＝， 所以an＝()n－1，bn＝＝. (2)证明：方法一　由(1)可得 Sn＝＝(1－)， Tn＝＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝(1－)－， 所以Tn＝(1－)－， 所以Tn－＝(1－)－－(1－) ＝－<0， 所以Tn<. 方法二　因为bn－＝＝－， 所以Tn－＝(bn－)＝(－) ＝－<0， 所以Tn<. 学科网（北京）股份有限公司 $$