1.2.2 等差数列与一次函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．在1，2，3，…，2 020这2 020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{an}，则a50＝(　　) A.289 B．295 C．301 D．307 B　解析：由题意可知an－1既是2的倍数，又是3的倍数，即an－1是6的倍数，则an－1＝6(n－1)，(n∈N＋)，所以an＝6n－5，所以a50＝50×6－5＝295. 2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于(　　) A. B． C． D． D　解析：设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.∵第一个数列共有(m＋2)项，∴d1＝.∵第二个数列共有(n＋2)项， ∴d2＝.∴＝＝. 3．等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为(　　) A.4 B．6 C．8 D．10 A　解析：等差数列{an}满足an>0，则a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4，所以a2＋a7＝4≥2，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时等号成立． 4．(多选题)下面关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 AD　解析：设等差数列的首项为a1，由d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).所以数列{an}递增，A正确．nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，B错误．＝d＋，当a1－d>0时，不递增，C错误．[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，D正确． 5．已知数列{an}的通项公式为an＝2 020－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 673　解析：由an＝2 020－3n>0，得n<＝673，又∵n∈N＋，∴n的最大值为673. 6．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________． 0　解析：设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1.从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 7．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8＝2 021，则a1的最小值是________． 5　解析：若等差数列{an}的各项均为正整数，则数列{an}单调递增，则公差d∈N， 故a1＝a8－7d＝2021－7d为正整数，a1关于d单调递减，则当d＝288时，a1＝5，当d＝289时，a1＝－2，不符；故a1的最小值为5. 8．首项为a1，公差为正整数d的等差数列{an}满足下列两个条件：a3＋a5＋a7＝93，满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值． 解：因为a3＋a5＋a7＝93. 所以3a5＝93.所以a5＝31. 所以an＝a5＋(n－5)d>100. 所以n>＋5. 因为n的最小值是15， 所以14≤＋5<15.所以6<d≤7. 又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3. 9．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝.若对任意n∈N＋，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　) A.(－8，－6) B．(－7，－6) C.(－6，－5) D．(6，7) B　解析：∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列， ∴an＝n＋a－1. ∴bn＝＝1－.又∵对任意的n∈N＋，都有bn≤b6成立，可知≤， 则必有6<－a<7， ∴－7<a<－6. 10．(多选题)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N＋)，其中是“差递减数列”的有(　　) A.an＝3n B．an＝n2＋1 C.an＝ D．an＝ln CD　解析：对A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对D，若an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln ·＝ln (1＋)，由函数y＝ln (1＋)在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故D正确． 11．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这种数码产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋). 所以每年的利润构成首项为200、公差为－20的等差数列{an}． 所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． 由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销这种数码产品将亏损． 12．(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　) A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长短 AB　解析：现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}， 其中a1＝15，a13＝135，公差d＝＝10.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}， 其中b1＝135，b13＝15，公差d′＝＝－10，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确； 因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$