2.4 第2课时 点到直线的距离（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2课时 点到直线的距离 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式． 2.掌握两条平行直线间的距离公式． 3.会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离． 通过平面上点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离公式的学习与运用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养． 点到直线的距离公式： 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式 d＝. 1．两条平行直线间的距离的求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． 2．两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．(　　) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．(　　) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．(　　) (4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　　　　　　　 B． C．2 D． 答案：D　 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D． 答案：C　 4．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________． 答案：－3或1　 求点P0(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. [分析]　对于(1)可用点到直线的距离公式求解，对于(2)(3)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解． 解：(1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2. (2)方法一　直线方程化为一般式为x－2＝0. 由点到直线的距离公式知d＝＝3. 方法二　∵直线x＝2与y轴平行， ∴由图①知d＝|－1－2|＝3. 图① (3)方法一　由点到直线的距离公式得 d＝＝1. 方法二　∵直线y－1＝0与x轴平行， ∴由图②知d＝|2－1|＝1. 图② [变式]　若点M(－2，1)到直线x＋2y＋C＝0的距离为1，则C的值为________． ±　解析：由点到直线的距离公式可知＝＝1，∴C＝±. [方法总结] (1)在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解． (2)在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可． [训练1]　(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________． (2)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________． (1)　(2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0　解析：(1)由题意知≤3，解得≤a≤，故a的取值范围为. (2)过点P(3，4)且斜率不存在时的直线x＝3与A，B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0， 由已知得＝， ∴k＝2或k＝－，∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0. (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程． 解：(1)方法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)， 则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝， 由题意，得＝2，所以C＝32或C＝－20， 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 方法二　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝，解得C＝32或C＝－20， 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)依题意，两直线的斜率都存在， 设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，所以＝5，解得k＝0或. 所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. [方法总结]　求两平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离； (2)直接利用两平行线间的距离公式d＝，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [训练2]　(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． (2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________． (1)　(2)2x－y＋1＝0　解析：(1)由题意，得＝，∴m＝2， 将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0， 由两平行线间距离公式，得＝＝. (2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 由题意，得＝，解得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 已知直线l过点A(2，4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程． [分析]　可设出点M的坐标，利用点M到两直线的距离相等，求出点M的坐标，再用两点式写出直线的方程，也可先求出与l1，l2平行且等距离的直线方程，再与x＋y－3＝0联立求出点M的坐标，最后由两点式写出直线方程． 解：方法一　∵点M在直线x＋y－3＝0上， ∴设点M的坐标为(t，3－t)，则点M到l1，l2的距离相等，即＝，解得t＝， ∴M(，).又l过点A(2，4)，由两点式得＝，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0. 方法二　设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0(C≠±1)，由两平行直线间的距离公式得＝，解得C＝0，即l3：x－y＝0. 由题意得中点M在l3上，点M在x＋y－3＝0上． 解方程组得 ∴M(，).又l过点A(2，4)， 故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0. [方法总结]　应用距离公式解答有关问题的注意事项 (1)直线的方程是一般式，在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数分别相等； (2)要结合图形，帮助解答； (3)求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况． [训练3]　求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程． 解：方法一　当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. 由条件得＝，解得k＝0或k＝－. 故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 方法二　设直线l满足题意． 由平面几何知识知，l∥AB或l过AB的中点． kAB＝－，若l∥AB，则l的方程为x＋2y＝0. 若l过AB的中点N(1，1)，则直线方程为y＝1. ∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 1．点(4，3)到直线x＝7的距离为(　　) A．－3　 　　B．3　　 　C．11　 　　D．4 答案：B 2．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为(　　) A．0 B． C．0或 D．0或－ C　解析：由d＝＝＝1，得a＝0或a＝. 3．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________． (－12，0)或(8，0)　解析：设P(a，0)，则有＝6，解得a＝－12或a＝8，∴点P的坐标为(－12，0)或(8，0). 4．直线2x＋2y＋1＝0与x＋y＋2＝0之间的距离是________． 　解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$