第2章 §2.4 第2课时 点到直线的距离（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“点到直线的距离”核心知识点，承接上节课两点间距离公式，通过问题驱动推导点到直线距离公式（坐标法、向量法）及两条平行直线间距离公式，构建距离问题的完整知识链，形成从公式推导到应用的学习支架。 该资料以问题链引导探究，用向量法推导公式培养逻辑推理（数学思维），例题分层覆盖基础应用与综合最值问题，帮助学生用数学语言精确表达公式应用规范。课中辅助教师引导学生构建知识，课后通过练习和反思助力查漏补缺。

第2课时　点到直线的距离 [学习目标]　1.会用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式.2.理解两条平行直线间的距离公式的推导.3.掌握点到直线、两条平行直线间的距离公式，并能灵活应用． 导语　距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示．在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？本节课我们就来学习一下． 一、点到直线的距离公式 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P0(x0，y0)，怎样求出点P0到直线l的距离呢？ 提示　如图，过点P0作直线l的垂线P0P1，交l于点P1(x1，y1)，则P0到直线l的距离d＝|P0P1|.从P0出发作有向线段P0N表示直线l的一个法向量(A，B)，即作＝(A，B)．由于两条线段P0P1和P0N都与l垂直，则它们共线，从而它们之间的夹角为0或π，于是它们表示的向量的数量积的绝对值等于它们的长度的乘积， 即|·|＝|P0N||P0P1|. 由此得|(A，B)·(x1－x0，y1－y0)|＝·d， 则d＝ ＝.① 又点P1(x1，y1)在直线l上， 则有Ax1＋By1＋C＝0.② 将②式代入①式，得点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝. 知识梳理 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 例1　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋； (2)y＝6； (3)x＝4. 解　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 反思感悟　求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 跟踪训练1　点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________． 答案　2 解析　由点到直线的距离公式得 d＝＝2. 二、两条平行直线间的距离 问题2　怎样求两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示　在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线l1上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 知识梳理 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离是d＝. 注意点： (1)两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两条直线方程中x，y的系数分别对应相同． 例2　(1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝. (2)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于(　　) A．－12 B．48 C．36或48 D．－12或48 答案　D 解析　将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 跟踪训练2　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　由两条直线平行可得＝，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝1. 三、平行直线间的距离的最值问题 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝＝3. 故所求的d的取值范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2， 所以直线l1，l2的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)两条平行直线间的距离． (3)两条平行直线间的距离的最值问题． 2．方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法． 3．常见误区：运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A．0 B. C．3 D．2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 解得m＝0或m＝. 3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 4．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，易知直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋＝0平行，故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离，故|PQ|min＝＝.　 　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3 B. C．1 D. 答案　B 解析　点P(1，－1)到直线l的距离 d＝＝. 2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝＝. 3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行， 所以3m＝2×6，解得m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝. 4．点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 答案　A 解析　直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3. 5．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的值可能为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 答案　AB 解析　由题意，n≠0，由－＝， 解得n＝－4， 所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0， 由两平行直线间的距离公式得＝2， 解得m＝7或m＝－13， 所以m＋n＝3或m＋n＝－17. 6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0 C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 7．(5分)若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝________. 答案　11或－15 解析　易得A＝3，即两直线方程为6x－4y－2＝0,6x－4y＋C＝0，由两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或C＝－15. 8．(5分)经过直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 答案　2 解析　设所求直线l的方程为 x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 由原点到直线的距离d＝＝1， 解得λ＝±3， 即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 9．(10分)已知直线l经过点P(－2,1)，且平行于向量(1,1)． (1)求直线l的方程；(5分) (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．(5分) 解　(1)由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0(c≠3)，由点到直线的距离公式得＝，即|c－3|＝2， 解得c＝1或c＝5. 所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 10．(10分)设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(5分) (2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．(5分) 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝＝. (2)由题意，得∴0＜m＜3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S的最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 11．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 答案　C 解析　直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或t＝－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)． 12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为 (　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　ABC 解析　当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为 |PQ|＝＝5，所以两平行直线l1，l2之间的距离的取值范围是(0,5]． 13．(5分)点P(3,3)到直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值等于________． 答案　3＋2 解析　点P(3,3)到直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离 d＝＝， 当sin＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d有最大值3＋2. 14．(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0间的距离d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15．(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________． 答案　x＋y－3＝0 解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b，0)，C(0，b)． 所以|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是两平行直线l1与l2间的距离， 故h＝＝(b>1)， 由梯形的面积公式得×＝4， 所以b2＝9，解得b＝±3.又b>1，所以b＝3. 所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16．(12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且两平行直线l1和l2间的距离是. (1)求a的值；(4分) (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．(8分) 解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴两平行直线l1和l2间的距离 d＝＝，∴＝. ∵a>0，∴a＝3. (2)设P点坐标为(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝·，即c＝或c＝. ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝·， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意． 联立方程解得 不符合题意，舍去， 联立解得 ∴P即为同时满足三个条件的点． 学科网（北京）股份有限公司 $