2.2.4 直线的方向向量与法向量（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．2.4　直线的方向向量与法向量 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解直线的方向向量并能熟练应用． 2．理解直线的法向量并能利用直线的方向向量和法向量求直线的方程． 通过直线的方向向量和法向量的学习与应用，进一步加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量． 2．斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． 3．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个方向向量为(B，－A). 1．与直线l垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量． 2．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个法向量为(A，B)． 3．过点(x0，y0)，且法向量为(A，B)的直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线2x－y＋1＝0的一个方向向量为ν＝(2，－1).(　　) (2)经过两点(1，0)和(1，－2)的直线的全体方向向量为v＝λ(0，－2)(λ>0).(　　) (3)直线3x－2y＋1＝0的一个法向量为v＝(3，－2).(　　) (4)垂直于向量ν＝(3，－5)的一个向量是n＝(－3，－5).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选题)已知直线l的倾斜角为，则直线l的一个法向量为(　　) A．(1，－)　　　　 B．(1，) C．(，1) D．(－，－1) 答案：CD　 3．(多选题)直线l经过点A(2，2)和B(4，5)，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(4，6) B．(－4，6) C．(4，－6) D．(－4，－6) 答案：AD　 4．垂直于向量(－2，5)，并且经过点A(4，6)的直线的方程为________． 答案：2x－5y＋22＝0　 写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量： (1)(x＋1)－2(y－4)＝0； (2)－(x－3)＋4(y＋2)＝0. 解：(1)直线(x＋1)－2(y－4)＝0经过点(－1，4)，一个法向量是(1，－2)，一个方向向量是(－2，－1). (2)直线－(x－3)＋4(y＋2)＝0经过点(3，－2)，一个法向量是(－1，4)，一个方向向量是(4，1). [方法技巧]　求直线的方向向量和法向量有如下途径 (1)由一般式方程Ax＋By＋C＝0得直线的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)； (2)由直线的斜率k得直线的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)； (3)把所给直线方程化为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，可得直线过点(x0，y0)，法向量为(A，B)，方向向量为(B，－A). [训练1]　已知直线l：x－2y－2＝0的方向向量可以是(　　) A.(1，－2) B．(1，2) C．(－2，1) D．(2，1) D　解析：方法一　因为x－2y－2＝0，可化为y＝x－1，所以直线l的斜率为， 所以直线l所有的方向向量为λ(1，)，其中λ是不为零的任意实数， 又(2，1)＝2(1，)，所以(2，1)是直线l的一个方向向量．故选D. 方法二　由Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为(B，－A)， 可知直线x－2y－2＝0的一个方向向量为(－2，－1)， 又(2，1)＝－(－2，－1)，所以(2，1)是直线l的一个方向向量．故选D. 写出满足下列条件的直线的方程： (1)垂直于向量(4，5)并且经过点A(4，2)； (2)经过点A(3，1)和B(6，3). 解：(1)方法一　设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，直线的方向向量(x－4，y－2)垂直于向量(4，5)，则有(4，5)·(x－4，y－2)＝4(x－4)＋5(y－2)＝0. 整理得一般式方程4x＋5y－26＝0. 方法二　由条件可知向量(4，5)为所求直线的法向量，故可设直线的一般式方程为4x＋5y＋C＝0. 将点A(4，2)的坐标代入上述方程，得：4×4＋5×2＋C＝0，解得C＝－26. 因此直线方程为4x＋5y－26＝0. (2)由已知条件可知直线的方向向量＝(6－3，3－1)＝(3，2).又2×3＋(－3)×2＝0， 可知直线的法向量为n＝(2，－3). 因此，可设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0. 将点A(3，1)的坐标代入上述方程，得2×3－3×1＋C＝0， 解得C＝－3.因此直线方程为2x－3y－3＝0. [方法技巧]　已知直线的法向量(A，B)，可设所求直线的方程为Ax＋By＋C＝0，将直线上任一点的坐标(x0，y0)代入该方程，就可得C＝－Ax0－By0，即可求得所求方程． [训练2]　(1)已知直线l的一个法向量为(1，－2)，且经过点(1，4)，则直线l的方程为(　　) A．x＋2y－9＝0 B．x＋2y＋1＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－1＝0 C　解析：因为直线l的法向量为(1，－2)，可设直线的方程为x－2y＋C＝0. 又直线l经过点(1，4)，所以1－8＋C＝0，即C＝7， 所以直线l的方程为x－2y＋7＝0.故选C. (2)求过点P(－3，1)且与向量n＝(－1，3)垂直的直线方程． 解：向量n＝(－1，3)为所求直线的法向量，可设直线的方程为－x＋3y＋C＝0， 又直线过点P(－3，1)，代入得－(－3)＋3×1＋C＝0.即C＝－6. 故所求直线方程为－x＋3y－6＝0，即x－3y＋6＝0. 探究三　利用方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0求直线方程 [知能解读]　如图，在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，设直线l上的任意一点M的坐标为(x，y)，则＝(x－x0，y－y0).由n·＝0，可得直线l的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC边上的高所在直线的方程． 解：由已知，可得＝(－2，2). 因为＝(－2，2)就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1，2)，所以由方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0可得所求直线的方程为－2(x－1)＋2(y－2)＝0，即x－y＋1＝0. [方法总结]　过点P(x0，y0)，法向量n＝(A，B)的直线l的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 利用A(x－x0)＋B(y－y0)＝0求直线的方程关键的问题是通过垂直关系求解直线的法向量，再有直线上的一个点即可代入方程求解． [训练3]　已知直线l经过点A(3，1)，且与P(－1，0)，Q(3，2)两点的连线垂直，求直线l的方程． 解：因为PQ⊥l，所以＝(3＋1，2－0)＝(4，2)为直线l的一个法向量，又直线l经过点A(3，1)，代入直线方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0得4(x－3)＋2(y－1)＝0，即2x＋y－7＝0. 1．直线3x＋4y＋5＝0的一个方向向量为(　　) A．(－4，－3)　　　　 B．(4，－3) C．(3，－4) D．(－3，－4) B　解析：直线3x＋4y＋5＝0化为斜截式为y＝－x－，其斜率为k＝－，∴直线3x＋4y＋5＝0的方向向量为λ(1，－)＝(4，－3)(λ≠0). 2．经过点P(1，2)，且一个法向量为n＝(6，8)的直线方程为(　　) A．3x－4y－11＝0 B．3x＋4y－11＝0 C．4x＋3y－11＝0 D．4x－3y＋11＝0 B　解析：由点法式方程得6(x－1)＋8(y－2)＝0，即3x＋4y－11＝0. 3．直线的倾斜角为，则直线的全体方向向量为________． λ(1，－)(λ≠0)　解析：直线的斜率k＝tan ＝－.∴直线l的一个方向向量为λ(1，－)，λ为任意非零实数． 4．在平面直角坐标系中，过原点向直线l作垂线，垂足为(3，2)，则直线l的点法式方程为___________． 3(x－3)＋2(y－2)＝0　解析：因为过原点向直线l作垂线，垂足为(3，2)， 所以n＝(3，2)是直线l的一个法向量， 设点M0(3，2)，点M(x，y)是直线l上任意一点，则M0是直线l上一个确定的点， 因为n·M0M＝0，即(3，2)·(x－3，y－2)＝0， 所以直线l的点法式方程为3(x－3)＋2(y－2)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$