2.2.2 直线的两点式方程（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．2.2　直线的两点式方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线的两点式、截距式方程． 2．掌握直线方程的两点式、截距式，并会熟练应用． 通过直线方程的两点式和截距式的学习与应用，进一步提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 2.如果直线即不平行于x轴也不平行于y轴，则x2≠x1且y2≠y1，两点式方程可以写成＝. 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0 ＋＝1 a≠0，b≠0 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示．(　　) (2)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　　) (3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．(　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) (5)直线的截距式方程＋＝1中，a，b均应大于0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　　 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 答案：D　 3．如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案：B　 4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________． 答案：－　 (1)若直线过点(，1)和点(2，4)，则该直线的方程为________． (2)三角形的三个顶点分别是A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，3)，求三角形三边所在直线的方程． (1)x－y－2＝0　解析：(解法一)因为直线过点(，1)和点(2，4)，所以直线的方程为(4－1)(x－)－(2－)(y－1)＝0，整理得：x－y－2＝0. (解法二)因为直线过(，1)和点(2，4)，所以直线的斜率为k＝＝， 所以直线的方程为y－1＝(x－)，整理得x－y－2＝0. (2)解：由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，即x＋4y＋1＝0. 同理，边BC所在直线的方程为＝，即2x＋y－5＝0. 边AC所在直线的方程为＝，即3x－2y＋3＝0. [方法总结]　根据两点的坐标写出直线的方程，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，只能用整式的两点式方程．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． [训练1]　(1)求经过下列两点的直线的方程： ①A(2，1)，B(3，1)；②A(2，1)，B(2，－1). (2)已知点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，求m的值． 解：①由整式的两点式方程得所求的直线方程为y＝1. ②由整式的两点式方程得所求的直线方程为x＝2. (2)由两点式方程，得过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0. 又因为点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2. (1)求在x，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程； (2)求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解：(1)根据直线方程的截距式，得直线方程为＋＝1，化简得4x－3y＋12＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又因为l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. [方法总结]　当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况． [训练2]　已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________． x＋y－1＝0或2x＋3y＝0　解析：设直线l在两坐标轴上的截距均为a. ①若a＝0，则直线l过原点，此时l的方程为2x＋3y＝0. ②若a≠0，则直线l的方程可设为＋＝1， 因为直线l过点(3，－2)，知＋＝1，即a＝1， 所以直线l的方程为x＋y＝1， 即x＋y－1＝0. 综上所述，直线l的方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0. 已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． 解：(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0). 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. (2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)， 则A(1－，0)，B(0，1－k)， 所以|MA|2＋|MB|2＝(1－1＋)2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4， 当且仅当k2＝，即k＝－1时等号成立，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. [方法总结]　直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决． (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决． [训练3]　若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8 C　解析：∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)， ∴a＋b＝ab，即＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立． ∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 1．过两点(－2，4)和(4，－1)的直线在y轴上的截距为(　　 ) A．　　　　　　　　　　　 B．－ C． D．－ C　解析：由题可知直线方程为y＋1＝·(x－4)，即y＝－(x－4)－1， 令x＝0，则y＝，故直线在y轴上的截距为. 2．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：由直线的两点式方程为＝可得出y＝－x－.所以直线l的斜率为－. 3．过点A(1，2)和B(1，5)的直线方程为________． x＝1　解析：因为点A(1，2)和B(1，5)横坐标相同，故直线垂直于x轴，所以所求直线为x＝1. 4．经过点A(4，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程为________． x＋3y－10＝0或x－2y＝0　解析：当截距为0时，设直线方程为y＝kx，则4k＝2， ∴k＝，∴直线方程为x－2y＝0. 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1， 由题意得＋＝1，∴a＝.∴x＋3y－10＝0. 综上，直线l的方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$