2.2.2&2.2.3直线的两点式与一般式方程（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.2.2&2.2.3 直线的两点式与一般式方程 课程标准 学习目标 （1）根据确定直线位置的几何要素, 探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)。 （1）掌握直线的两点式方程; （2）掌握直线的截距式方程； （3）掌握直线的一般式方程； （4）会求解与直线方程有关的综合性问题.（难点) 知识点01 直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 解释 ① 证明：当时，经过两点的直线斜率，再取点，由点斜式可得； 当时，可得. ② 在中，如果或，则直线没有两点式; ③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实. 【即学即练1】 利用两点式求过点和的直线方程. 知识点02 直线的截距式方程 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 解释 ① 证明：因为直线与轴的交点为，与轴的交点为， 由两点式可得，即. ② 使用截距式的前提是直线轴、轴上的截距均不为. 【即学即练2】 求经过点和的直线方程. 知识点03 直线的一般式方程 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 解释 ① 任何一直线都可以表示为一个关于的二元一次方程； ② 对于任意一个二元一次方程(其中不同时为)也可以表示一条直线. 当时，方程变形为，它表示过点，且垂直轴的直线； 当时，方程变形为，它表示，斜率为的直线. 【即学即练3】 直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【题型一：直线的两点式方程】 例1．（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边的中点坐标为 D．边上的中线所在的直线方程为 变式1-1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 变式1-3．在平面直角坐标系中，若点，，，则的面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【方法技巧与总结】 1经过两点(其中)的直线的方程是，它告诉我们若知道直线的两点坐标，直线方程便可确定； 2 需要注意当在中，如果或，则直线没有两点式. 【题型二：直线的截距式方程】 例2．过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 变式2-1．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式2-3．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【方法技巧与总结】 1 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程； 2 使用截距式的前提是直线轴、轴上的截距均不为； 3 当知道直线与坐标轴的交点坐标时，求直线方程使用截距式较为简便. 【题型三：直线的一般式方程】 例3．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 变式3-1．（多选）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则直线l过定点 C．若且，则直线l不过第二象限 D．若，则直线l必过第二、三象限 变式3-2．直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（多选）设直线的方程，其中，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 对于任意一个二元一次方程(其中不同时为)也可以表示一条直线. 当时，方程变形为，它表示过点，且垂直轴的直线； 当时，方程变形为，它表示，斜率为的直线. 2 注意直线一般式方程与其他形式方程之间的转化. 【题型四：直线过定点问题】 例4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-1．直线恒过定点 变式4-2．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直线过定点，从方程的角度来看就是不管参数取什么值，方程依然成立. 【题型五：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 例5．已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 . 变式5-2．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-3．直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 变式5-4．已知直线l：. (1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 【方法技巧与总结】 求直线与坐标轴围成图形的面积问题，先求出直线在坐标轴上的截距，把面积用参数表示出来，再根据题意求值或利用基本不等式等方法求其最值. 【题型六：综合性问题】 例6．已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 变式6-1．已知直线：，为坐标原点，若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当最小时， . 变式6-2．过点作直线（，不同时为零）的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是 ． 变式6-3．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是 ． 变式6-4．过点作直线分别交的正半轴于两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程. 变式6-5．如图直线l与x轴、y轴分别交于、点P为线段AB上一动点,且交OA于点Q． (1)求直线AB的方程; (2)若的面积与四边形OQPB的面积满足:时,请你确定P点的坐标． (3)在y轴上是否存在点M,使为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由． 一、单选题 1．已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 2.已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 3.如果，，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 5.已知的三个顶点分别为，，，则过点B将的面积平分的直线方程为（    ）． A． B． C． D． 6.设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（　　） A．10 B．8 C．4 D．2 8.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 9．下列命题错误的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 10.已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11. 设点满足．则点（    ） A．只有有限个 B．有无限多个 C．位于同一条直线上 D．位于同一条抛物线上 三、填空题 12．经过点，的直线在轴上的截距为 ． 13.一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为 ． 14.尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则 ． 四、解答题 15．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 16.已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 17.已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 18.设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 19.已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2&2.2.3 直线的两点式与一般式方程 课程标准 学习目标 （1）根据确定直线位置的几何要素, 探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)。 （1）掌握直线的两点式方程; （2）掌握直线的截距式方程； （3）掌握直线的一般式方程； （4）会求解与直线方程有关的综合性问题.（难点) 知识点01 直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 解释 ① 证明：当时，经过两点的直线斜率，再取点，由点斜式可得； 当时，可得. ② 在中，如果或，则直线没有两点式; ③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实. 【即学即练1】 利用两点式求过点和的直线方程. 解 直线方程为，化简为. 知识点02 直线的截距式方程 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 解释 ① 证明：因为直线与轴的交点为，与轴的交点为， 由两点式可得，即. ② 使用截距式的前提是直线轴、轴上的截距均不为. 【即学即练2】 求经过点和的直线方程. 解 直线的截距式方程为，化简为. 知识点03 直线的一般式方程 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 解释 ① 任何一直线都可以表示为一个关于的二元一次方程； ② 对于任意一个二元一次方程(其中不同时为)也可以表示一条直线. 当时，方程变形为，它表示过点，且垂直轴的直线； 当时，方程变形为，它表示，斜率为的直线. 【即学即练3】 直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案. 【详解】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0， 即，即，， 故选：A 【题型一：直线的两点式方程】 例1．（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边的中点坐标为 D．边上的中线所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误； 对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确； 对于C，设边的中点为，则，，即点，故C正确； 对于D，边上的中线所在的直线方程为，整理得，故D正确. 故选：BCD. 变式1-1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 变式1-2．一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于x轴的对称点，由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可. 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 变式1-3．在平面直角坐标系中，若点，，，则的面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将三角形ABC拆分为三角形ABD和三角形ACD，由两点式计算BC所在直线，计算直线与轴的交点，分别求出三角形的底和高，公式求面积即可. 【详解】解：因为，， 所以所在直线为,即，设直线与轴的交点为D，过点C做轴的垂线，垂足为E，则， 则 故选：A 【方法技巧与总结】 1经过两点(其中)的直线的方程是，它告诉我们若知道直线的两点坐标，直线方程便可确定； 2 需要注意当在中，如果或，则直线没有两点式. 【题型二：直线的截距式方程】 例2．过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果. 【详解】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条. 故选：B. 变式2-1．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确. 故选：D 变式2-2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 变式2-3．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 【方法技巧与总结】 1 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程； 2 使用截距式的前提是直线轴、轴上的截距均不为； 3 当知道直线与坐标轴的交点坐标时，求直线方程使用截距式较为简便. 【题型三：直线的一般式方程】 例3．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】确定，计算，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案. 【详解】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 变式3-1．（多选）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则直线l过定点 C．若且，则直线l不过第二象限 D．若，则直线l必过第二、三象限 【答案】BCD 【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断. 【详解】选项A：例如（x轴），可得，则，故A错误； 选项B：若，则， 当时，式子恒成立， 所以直线l过定点，故B正确； 选项C：若且，则，且， 即直线l的斜率大于0，纵截距小于0， 所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确； 选项D：若，则，且， 即直线l的斜率不为0，横截距小于0， 所以直线l必过第二、三象限，故D正确； 故选：BCD． 变式3-2．直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角的取值范围. 【详解】的斜率一定存在，故倾斜角不为， 直线斜率，    结合正切的函数图象，可得倾斜角的取值范围是. 故选：C 变式3-3．（多选）设直线的方程，其中，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据截距的概念求出横截距和纵截距，然后根据绝对值相等列式求解即可. 【详解】令得，所以直线的纵截距为， 令得，所以直线的横截距为， 由题意，所以或，解得或或， 所以直线的方程为或或. 故选：ABC. 【方法技巧与总结】 1 对于任意一个二元一次方程(其中不同时为)也可以表示一条直线. 当时，方程变形为，它表示过点，且垂直轴的直线； 当时，方程变形为，它表示，斜率为的直线. 2 注意直线一般式方程与其他形式方程之间的转化. 【题型四：直线过定点问题】 例4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， ， 因为直线与线段有公共点， 结合图象可得直线斜率的取值范围为. 故选：A. 变式4-1．直线恒过定点 【答案】 【分析】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得. 【详解】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 变式4-2．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点及直线与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果. 【详解】由题意知：直线恒过定点； 直线与轴分别交于点，； 在平面直角坐标系中作出直线如下图所示， 结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行； ，，倾斜角为，倾斜角为， 直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 变式4-3．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 【方法技巧与总结】 直线过定点，从方程的角度来看就是不管参数取什么值，方程依然成立. 【题型五：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 例5．已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出的表达式，然后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】在直线的方程中，令，得；令，可得. ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的最值的计算，解题的关键就是求出直线与两坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于中等题. 变式5-1．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程. 【详解】设直线的方程为，则，且， 解得或者， ∴直线l的方程为或，即或. 故答案为：或. 变式5-2．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 变式5-3．直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 变式5-4．已知直线l：. (1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)S的最小值为4，直线l的方程为 【分析】（1）根据直线的点斜式方程定义，整理直线形式即可； （2）利用直线截距相等列式即可，但要注意讨论直线过原点的情况； （3）根据题意求面积的表达式，之后求最值并求其成立的条件即可. 【详解】（1）直线l：可化为，故过定点 ， 所以无论k为何值，直线l：恒过定点； （2）①当直线l过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等， 将原点代入方程，求得； ②当直线l不过原点时，即时， 又因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 直线l：中取得，取得， 所以，求得， 综上，k的值为或； （3）因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以， 则中取得，取得， ， 当且仅当时，即时取“=”， 所以S的最小值为4，直线l的方程为. 【方法技巧与总结】 求直线与坐标轴围成图形的面积问题，先求出直线在坐标轴上的截距，把面积用参数表示出来，再根据题意求值或利用基本不等式等方法求其最值. 【题型六：综合性问题】 例6．已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 【答案】20 【分析】设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值. 【详解】设三角形三个顶点坐标分别为，其中， 设， 则，， 的周长 ， 令，则， 当且仅当，即时，周长取最小值20. 故答案为：20 变式6-1．已知直线：，为坐标原点，若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当最小时， . 【答案】 【分析】由直线系方程求出定点，再由截距式可得，根据均值不等式等号成立的条件求解即可. 【详解】由可得， 由，解得，即直线过定点， 假设直线的截距式方程为，则，， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时直线的方程为， 所以得. 故答案为： 变式6-2．过点作直线（，不同时为零）的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】直线（，不同时为零）化为 令 解得 ∴直线过定点 ． ∴点在以为直径的圆上， 圆心为线段的中点 ，半径 线段MN长度的最大值 线段MN长度的最大值 故答案为. 变式6-3．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意求得点A、B的坐标，写出直线AB的方程，再求出M，N两点的坐标以及， 利用基本不等式求得的最大值，从而求出k的取值范围． 【详解】由题意知，，，； 直线AB的方程为； ， ； ，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上； ， ，时取“”； 又， ； 要使恒成立，k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了直线的方程与平面向量的线性运算问题，是中档题． 变式6-4．过点作直线分别交的正半轴于两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）由题意可设直线的方程为，又点在直线上，所以，注意到，结合基本不等式进而求解. （2）由（1）中分析可知，且注意到，由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）显然直线斜率存在且不过原点，由题意可设直线的方程为， 又点在直线上，所以， 由基本不等式可得，即，当且仅当时取等， 注意到， 所以，当且仅当时取等， 此时相应的直线的方程为. （2）由（1）可知，又注意到， 所以， 对其利用基本不等式得，当且仅当时取等， 此时相应的直线的方程为. 变式6-5．如图直线l与x轴、y轴分别交于、点P为线段AB上一动点,且交OA于点Q． (1)求直线AB的方程; (2)若的面积与四边形OQPB的面积满足:时,请你确定P点的坐标． (3)在y轴上是否存在点M,使为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由截距式即可得直线方程； （2）根据面积比等于相似比的平方即可获解； （3）设出坐标，根据等腰和垂直利用向量列方程即可获解. 【详解】（1）由截距式可得直线AB的方程的方程为,即 （2）因为,所以 因为,所以 所以,即PQ为的中位线,所以点的坐标为 （3）若存在为等腰直角三角形,设，则 因为为等腰三角形,当为直角顶点时，设 因为为直角三角形 所以 即 所以或(舍) 所以，即点； 当为直角顶点时，点，符合题意； 当为直角顶点时，设，由可得：， 所以； 所以符合题意. 一、单选题 1．已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 2.已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 3.如果，，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 根据直线斜率与截距判断即可. 【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，，故，， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限． 故选：B． 4.直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】由题意设直线的方程为，则①， 又，∴②， 由①②解得，或，， 又由知，则，， 则直线的斜率为． 故选：C． 5.已知的三个顶点分别为，，，则过点B将的面积平分的直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式先求的中点坐标为，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由，，则的中点坐标为， 则过点B将的面积平分的直线过点， 则所求直线方程为， 即 ， 故选D. 6.设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线与x轴y轴的坐标，可得，然后利用求和即得。 【详解】由题得，当时，，当时，，则三角形面积，故. 故选：D 【点睛】本题考查裂项相消法求和，难度不大。 7.设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（　　） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】令，得直线在x、y轴上的截距，求得三角形面积并利用二倍角公式化简，根据三角函数图象和性质求得面积最小值即可. 【详解】令得直线在y轴上的截距为， 令得直线在x轴上的截距为， 其围成的三角形面积： ， 求S的最小值转化为求函数的最小值， 因为为锐角，所以， 当时取最小值−1， 则，故围成三角形面积最小值为8. 故选：B. 【点睛】本题考查直线方程与三角函数二倍角公式的应用，综合题性较强，属于中等题. 8.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】 先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 二、多选题 9．下列命题错误的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【答案】AD 【分析】利用反例说明A、D，根据斜率和倾斜角的关系判断B，根据直线的两点式方程判断C. 【详解】对于A：经过点且斜率不存在的直线方程为， 不能用方程表示，方程只能表示过点且斜率存在的直线，故A错误； 对于B：直线，即，斜率， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，故B正确； 对于C：当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时， 直线方程为，即， 当直线斜率为或者斜率不存在时，也适合方程， 所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故C正确； 对于D：如直线不经过原点，但是不能用方程表示，故D错误； 故选：AD 10.已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为，结合过点可得答案. 【详解】当直线过原点时，设直线方程为，因过点，则直线的方程为，即，故A正确； 当直线截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故C正确； 当直线截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故B正确． 故选：ABC． 11. 设点满足．则点（    ） A．只有有限个 B．有无限多个 C．位于同一条直线上 D．位于同一条抛物线上 【答案】BC 【分析】由已知得，根据的单调性有，即可知的性质. 【详解】由题意，可得， 又单调递增，得，则， 故满足条件的点有无穷多个，且都在直线上． 故选：BC 三、填空题 12．经过点，的直线在轴上的截距为 ． 【答案】27 【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距. 【详解】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 故答案为：27. 13.一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可. 【详解】关于y轴的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线， 由两点式得直线的方程为：，即. 故答案为： 14.尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则 ． 【答案】16 【分析】 根据题意分析可得，结合直线的截距式方程可得，再结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：，则， 设，可知直线， 代入可得，解得， 则，可得, 所以. 故答案为：16. 四、解答题 15．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ； (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 16.已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 17.已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先判断直线经过定点，设直线的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得； （2）利用（1）的结论，借助于常值代换法和基本不等式即可求得 【详解】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 18.设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标. (2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程. (3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可. 【详解】（1）由得，则，解得， ∴不论a为何值，直线l必过一定点； （2）由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， ∴直线方程为． （3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数， ，， ∴直线l的方程为． 19.已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线；   ②时，3条直线；   ③时，4条直线. 【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. （2）由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）由题意得，，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线； 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$