2.1 直线的斜率（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．1　直线的斜率 课程内容标准 学科素养凝练 1.在平面直角坐标系中，结合一次函数的图象，探索直线方程的建立． 2．理解并掌握直线的倾斜角和斜率的概念． 3．掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系． 通过直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率与倾斜角对应关系的学习与运用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 定义 在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0 记法 α 图示 　 范围 0≤α<π 作用 我们可以用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度，以刻画直线的方向 1．斜率的概念：一条直线的倾斜角α(α≠)的正切值k称为这条直线的斜率．即k＝tan_α． 2．倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0 0<α< α＝ <α<π 斜率(范围) 0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式：设直线l的倾斜角为α，已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有k＝tan α＝.上式即为经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．(　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(　　) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系．(　　) (5)坐标平面上所有的直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　) A．①　　B．①②　　C．①③　　D．②④ 答案：C　 3．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B　 4．直线l经过原点和(1，－1)，则l的斜率是________． 答案：－1　 (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° (2)设直线l1过原点，其倾斜角α＝15°，直线l1与l2的交点为A，且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°，则直线l2的倾斜角为________． [分析]　对于(1)，由于α不确定，需分情况讨论；对于(2)，画出图象，利用图象求解． (1)D　(2)90°　解析：(1)根据题意，画出图形，如图所示． 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. (2)设直线l2的倾斜角为α， 由图可知，α＝15°＋75°＝90°，∴直线l2的倾斜角为90°. [方法总结]　当直线与x轴相交时，直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线向上方向首次重合所成的角，所以求直线的倾斜角时，往往借助图形．结合图形求倾斜角时，应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用． [训练1]　已知直线l向上方向与y轴正方向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 60°或120°　解析：有如下两种情况． 如图①，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 如图②，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. [知能解读]　斜率的两种求法 (1)若已知直线l上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的斜率k＝(x1≠x2). (2)若已知直线l的倾斜角α，则直线l的斜率k＝tan α(α≠，0≤α<π). 直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：直线l的斜率的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点． 第三步，建立联系寻解题思路：结合图形，根据直线斜率的变化情况，确定出其范围． 第四步，书写过程养规范习惯． (－∞，－ ]∪[1，＋∞)　解析：如图， ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞). [方法总结]　当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时，可直接利用斜率公式求解．应用斜率公式时，应先判定两定点的横坐标是否相等．若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解． [变式1]　若将本例中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围． 解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)， ∴kAP＝＝， kBP＝＝. 如图可知，直线l的斜率的取值范围为. [变式2]　若将本例中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：如图，直线PA的倾斜角为45°， 直线PB的倾斜角为135°， 由图象知l的倾斜角的范围为{α|0°≤α≤45°}∪{α|135°≤α<180°}． 已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. (1)若≤α≤，求斜率k的取值范围； (2)若－1≤k≤，求倾斜角α的取值范围． 解：(1)由正切函数的性质，可得当≤α<时，k＝tan α≥1；当<α≤时，k＝tan α≤－1；当α＝时，斜率k不存在． 综上，斜率k的取值范围是{k|k≤－1或k≥1}． (2)由－1≤k≤，可得－1≤tan α≤. 又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤或≤α<π}． [方法总结]　如图，直线l的斜率k与倾斜角α之间具有如下的关系，利用这种关系可以求斜率k或倾斜角α的取值(范围). 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α∈(，π)时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． [变式]　若将本例(1)中的≤α≤改为0≤α≤，结果如何？ 解：由0≤α≤及正切函数的性质， 可得tan 0≤tan α≤tan ，即0≤tan α≤， 所以斜率k的取值范围是{k|0≤k≤}． 已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． [分析]　已知直线l的倾斜角，可以求出其斜率，又点P1，P2，P3均在直线l上，故任两点连线的斜率均等于直线l的斜率，从而可以求出x2，y1的值． 解：∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1. ∵点P1，P2，P3都在直线l上，∴kP1P2＝kP2P3＝k. ∴＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. [方法总结]　斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率可证三点共线的原因． [训练2]　一条光线从点A(－2，3)射入，经过x轴上的点P反射后，通过点B(5，7)，求点P的坐标． 解：因为点A在入射光线上，所以点A关于x轴的对称点A′在反射光线的反向延长线上，易知A′的坐标为(－2，－3).设点P的坐标为(x，0). 因为A′，P，B三点在同一条直线上， 所以kA′P＝kA′B，即＝，解得x＝.所以点P的坐标为(，0). 1．过点M(－，)，N(－，)的直线的斜率是(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D． A　解析：过点M，N的直线的斜率k＝＝1. 2．(多选题)若经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为(　　) A．－3　　　 B．－2　　　 C．1　　　 D．2 AB　解析：kAB＝＝<0，即2＋a>0，所以a>－2，故AB满足题意． 3．若过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是45°，则y＝________． －1　解析：直线的倾斜角为45°，则其斜率为k＝tan 45°＝1.由斜率公式，得＝1，解得y＝－1. 4．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)，若D为线段AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为________． 　解析：作出图形，如图，D为线段AB上一动点，所以直线CD的斜率k满足k∈[kAC，kBC]，由于kAC＝，kBC＝，所以k∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$