2.1 直线的斜率（4种题型基础练+能力提升练）数学湘教版2019选择性必修第一册

2.1 直线的斜率（4种题型基础练+能力提升练） 一．确定直线位置的几何要素（共2小题） 1．（2022秋•浏阳市期末）如果且，那么直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•雨花区校级月考）如果，，那么直线经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．直线的倾斜角（共3小题） 3．（2023秋•张家界期末）若直线经过两点，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•天心区校级期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•零陵区校级月考）直线的倾斜角　　 A． B． C． D． 三．直线的斜率（共4小题） 6．（2023秋•攸县校级期中）直线的斜率为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•郴州期末）已知，，若直线与直线垂直，则直线的斜率为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•零陵区校级月考）已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•益阳期末）已知点，，则直线的斜率为　　 A． B． C． D．3 四．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 10．（2023秋•湾里区月考）已知点，点，则直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•思明区校级期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 12．（2023秋•武隆区校级月考）若直线过定点，且与以为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•湖北月考）已知点，若经过点的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为　　 A． B． C． D． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•赣州期中）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•山东月考）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•惠城区校级期中）若直线过，则此直线的斜率是　　 A． B．1 C． D．不存在 4．（2023秋•东安区校级月考）已知点，满足方程，点，．若斜率为，斜率为，则的值为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•博爱县校级期中）若直线经过第四象限，则的取值范围为　　 A．，， B．， C． D． 6．（2023秋•阆中市校级月考）直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 二．多选题（共4小题） 7．（2023秋•雨花区校级月考）直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•辽宁月考）在下列四个命题中，正确的是　　 A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 9．（2023秋•灵武市校级月考）已知直线，则　　 A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为 D．在轴上的截距为 10．（2022秋•顺德区期中）直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是　　 A．， B．， C． D． 三．填空题（共6小题） 11．（2023秋•裕华区校级月考）已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为 　　，直线的斜率的取值范围为 　　． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）若直线的倾斜角的取值范围是 　　． 13．（2023秋•信宜市期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条边所在直线的斜率 　　． 14．（2023秋•阆中市校级月考）已知直线的方向向量的坐标为，则直线的倾斜角为 　　． 15．（2023秋•阆中市校级月考）已知两点，，过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为 　　． 16．（2023秋•连城县校级月考）已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 　　． 四．解答题（共2小题） 17．（2023春•井冈山市校级期末）已知点，，点在线段上． （1）求直线的斜率； （2）求的最大值． 18．（2022•雨花区校级开学）已知两点，，求： （1）直线的斜率； （2）求直线的方程； （3）已知实数，，求直线的倾斜角的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 直线的斜率（4种题型基础练+能力提升练） 一．确定直线位置的几何要素（共2小题） 1．（2022秋•浏阳市期末）如果且，那么直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由已知可确定直线斜率及纵轴截距的范围，进而可判断直线所经过的象限． 【解答】解：因为且， 由可得， 则，， 故直线经过一二四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了确定直线位置的要素，属于基础题． 2．（2023秋•雨花区校级月考）如果，，那么直线经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由直线的方程求出斜率和在轴上的截距，可得结论． 【解答】解：直线，即， ，，直线的斜率，在轴上的截距， 故直线经过第一、三、四象限， 故选：． 【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题． 二．直线的倾斜角（共3小题） 3．（2023秋•张家界期末）若直线经过两点，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】由直线经过，两点，能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角． 【解答】解：直线经过两点， 直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， ， 直线的倾斜角． 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 4．（2023秋•天心区校级期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可． 【解答】解：因为一条直线经过两点，， 所以该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，且，， 则， 所以． 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题． 5．（2023秋•零陵区校级月考）直线的倾斜角　　 A． B． C． D． 【分析】确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案． 【解答】解：由题意可得直线的斜率为， 直线倾斜角为，，则，故． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 三．直线的斜率（共4小题） 6．（2023秋•攸县校级期中）直线的斜率为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知先化成斜截式，进而可求直线的斜率． 【解答】解：由可得， 故直线的斜率为． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题． 7．（2023秋•郴州期末）已知，，若直线与直线垂直，则直线的斜率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，， 则， 直线与直线垂直，则直线的斜率为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，属于基础题． 8．（2023秋•零陵区校级月考）已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】先求得直线和直线的斜率，再利用数形结合法求解． 【解答】解：如图所示： ， 由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交， 故的斜率的取值范围为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题． 9．（2023秋•益阳期末）已知点，，则直线的斜率为　　 A． B． C． D．3 【分析】由题意，利用直线的斜率公式，求得结论． 【解答】解：点，，直线的斜率为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 四．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 10．（2023秋•湾里区月考）已知点，点，则直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角． 【解答】解：设直线的倾斜角为，则， 由斜率公式可得，因此，． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 11．（2023秋•思明区校级期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围． 【解答】解：如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时，； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时，， 综上可得直线的斜率的取值范围为，，． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题． 12．（2023秋•武隆区校级月考）若直线过定点，且与以为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，结合斜率公式，求得或，进而求得直线的倾斜角的范围． 【解答】解：如图所示，因为直线过定点，且与以为端点的线段相交， 可得，， 所以直线的斜率不存在或满足或， 所以直线的倾斜角的范围为． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题． 13．（2023秋•湖北月考）已知点，若经过点的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】作出图形，求出，的斜率，数形结合求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系可求得结果． 【解答】解：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线与线段有公共点，则直线的斜率满足， 当时，直线的倾斜角，当时，， 所以直线的倾斜角的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角，是基础题． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•赣州期中）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据两直线的斜率互为相反数即可得到答案． 【解答】解：显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 2．（2023秋•山东月考）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则　　 A． B． C． D． 【分析】先求出直线的倾斜角，进而可求得直线的倾斜角，进而可得直线的斜率，即可得解． 【解答】解：直线的斜率为，则倾斜角为， 因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，解得． 故选：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角，是基础题． 3．（2023秋•惠城区校级期中）若直线过，则此直线的斜率是　　 A． B．1 C． D．不存在 【分析】因为直线上两点横坐标不同，肯定有斜率，代入到两点的斜率公式计算即可． 【解答】解：由题意得，直线斜率． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题． 4．（2023秋•东安区校级月考）已知点，满足方程，点，．若斜率为，斜率为，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，，根据题意分析可知点在以，为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解． 【解答】解：设，， 则，可得， 即点在以，为焦点的椭圆上，且，，， 所以点的轨迹为，整理得， 由题意可知：， 所以． 故选：． 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，以及定值问题，属中档题． 5．（2023秋•博爱县校级期中）若直线经过第四象限，则的取值范围为　　 A．，， B．， C． D． 【分析】直线不经过第四象限根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【解答】解：若，则的方程为，不经过第四象限．不合题意， 若，则的方程为，经过第四象限，符合题意， 若，且，将的方程转化为， 因为经过第四象限，所以或解得或或， 综上可得的取值范围是，，． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 6．（2023秋•阆中市校级月考）直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果． 【解答】解：由于直线的斜率关系式满足， 由于，， 故． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 二．多选题（共4小题） 7．（2023秋•雨花区校级月考）直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是　　 A． B． C． D． 【分析】联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率，根据两角和的正切及正切函数单调性得到倾斜角的范围． 【解答】解：联立两直线方程得： 当时，两直线平行，不满足题意． 当时解得，所以两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点在第一象限，所以得到， 解得：， 设直线的倾斜角为，则， 又， 因为，，正切函数在单调递增，所以． 故选：． 【点评】本题考查了直线的方程，直线的斜率和倾斜角，是中档题． 8．（2023秋•辽宁月考）在下列四个命题中，正确的是　　 A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可． 【解答】解：当时，其斜率，所以正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，，且，故不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 9．（2023秋•灵武市校级月考）已知直线，则　　 A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为 D．在轴上的截距为 【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角和斜率以及经过的定点，进一步求出结果． 【解答】解：对于直线，当时，解得，故该直线经过点，故正确； 直线的方程转换为，故直线的斜率，故正确； 由于直线的斜率，故直线的倾斜角为，故错误； 当时，解得，故在轴上的截距为2，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题． 10．（2022秋•顺德区期中）直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是　　 A．， B．， C． D． 【分析】首先把直线的一般式，转换为斜截式，进一步利用直线的斜率和直线的截距的大小关系确定结果． 【解答】解：根据直线的方程：， 所以， 根据直线在坐标系中的位置， 所以，， 故，； 直线，所以； 根据直线在坐标系中的位置； 所以， 所以，． 由于， 所以． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，直线的一般式方程和斜截式直线方程的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 三．填空题（共6小题） 11．（2023秋•裕华区校级月考）已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为 　　，直线的斜率的取值范围为 　　． 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围． 【解答】解：如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是，，； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角． 故答案为：；，，． 【点评】本题考查了直线的斜率和倾斜角，是中档题． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）若直线的倾斜角的取值范围是 　　． 【分析】根据直线斜率求直线倾斜角范围． 【解答】解：设直线倾斜角为，斜率为，直线， 当时直线斜率不存在，此时倾斜角为； 当时，化为斜截式为， ，因为，所以， 即，，，所以； 综上有：． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的方程，直线的斜率与倾斜角，是中档题． 13．（2023秋•信宜市期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条边所在直线的斜率 　（写一个即可）　． 【分析】直接利用直线的斜率公式求出结果． 【解答】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 14．（2023秋•阆中市校级月考）已知直线的方向向量的坐标为，则直线的倾斜角为 　　． 【分析】由方向向量得直线的斜率，从而得倾斜角． 【解答】解：设直线的倾斜角为，，， 由已知直线的方向向量的坐标为， 得斜率， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和直线的方向向量的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 15．（2023秋•阆中市校级月考）已知两点，，过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为 　，，　． 【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率，进一步求出直线与线段的交点的关系求出结果． 【解答】解：已知两点，，过点的直线与线段有交点， 如图所示： 故，， 由于过点的直线与线段有交点， 所以直线的斜率的取值范围为，，． 故答案为：，， 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 16．（2023秋•连城县校级月考）已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 　　． 【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合正切函数的性质进行求解即可． 【解答】解：由直线的方程可知该直线的斜率为， 所以有， 因为， 所以， 因此实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题． 四．解答题（共2小题） 17．（2023春•井冈山市校级期末）已知点，，点在线段上． （1）求直线的斜率； （2）求的最大值． 【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答； （2）先确定，满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答． 【解答】解：（1）由题意知，直线的斜率． （2）当点在，两点之间时， 由点在线段上， 易知，即， 即， 当与，重合时也满足， 因此， 亦即，且，， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 【点评】本题考查的知识要点：两点间的斜率，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 18．（2022•雨花区校级开学）已知两点，，求： （1）直线的斜率； （2）求直线的方程； （3）已知实数，，求直线的倾斜角的范围． 【分析】（1）根据斜率公式计算即可， （2）当时，直线的斜率不存在，写出直线的方程；当时，由两点式求直线的方程． （3）已知实数，，利用不等式的性质求出斜率的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角的范围． 【解答】解：（1）当时，直线的斜率不存在； 当时，． （2）当时，的方程为， 当时，的方程为． （3）①当时，； ②当时，，，， ，，． 综合①②，知直线的倾斜角，． 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$