2.1 直线的斜率（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，系统梳理定义、取值范围、斜率公式及分类讨论要点，通过“所有直线都有倾斜角和斜率吗”等知识辨析问题导入，构建从概念理解到公式应用再到综合解题的递进式学习支架。 其亮点在于融合几何直观与逻辑推理，通过典例中图形分析倾斜角与斜率关系、知识辨析培养数学思维，将分式比较转化为斜率几何意义体现数学眼光。采用问题驱动与实例解析，帮助学生形成严谨思维，教师可提升教学针对性与效率。

2.1　直线的斜率 必备知识 清单破 知识点 1 直线的倾斜角 1.当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. 2.直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情 况分类讨论. 注意:直线倾斜角的取值范围是[0,π). 第二章 平面解析几何初步 高中同步 知识点 2 直线的斜率 1.若直线l的倾斜角为α,则α= 时,直线l的斜率不存在;α≠ 时,直线l的斜率k=tan α. 2.已知直线l经过点P1(x1,y1)与点P2(x2,y2),若x1=x2,则直线l的斜率不存在,若x1≠x2,则直线l的斜率 k= . 　　注意:若已知两点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据便是“两 个点的横坐标是否相等”. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 知识辨析 1.所有直线都一定有倾斜角和斜率吗? 2.不同的直线的倾斜角一定不相同吗? 3.当直线的斜率小于0时,其倾斜角α的范围是(90°,180°)吗? 4.直线的斜率一定随着倾斜角的增大而增大吗? 第二章 平面解析几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.所有直线都一定有倾斜角,但只有不垂直于x轴的直线才有斜率. 2.不一定.如平行直线的倾斜角是相同的. 3.是. 4.不一定.当直线的倾斜角α≠ 时,直线l的斜率k=tan α,由正切函数图象的性质可知,当α∈  ∪ 时,函数k=tan α不单调. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 倾斜角与斜率的关系及应用 直线的倾斜角与斜率的变化关系 　　设直线的倾斜角为α. (1)当0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大; (2)当90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大; (3)k=tan α 的图象如图所示. 　　由斜率k的范围截取函数图象,进而得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函 数图象,进而得到斜率k的范围. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 典例 已知点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角α的取值范围; (2)求直线l的斜率k的取值范围. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 思路点拨    作出图形并观察 计算“边界直线”的斜率 得“边界直线”的倾斜角  根据倾斜角定义及斜率的变化趋势求解. 解析    如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.   (1)易得PB的倾斜角是 ,PA的倾斜角是 ,∴直线l的倾斜角α的取值范围是 . (2)根据倾斜角与斜率的关系,知直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 第二章 平面解析几何初步 高中同步 易错警示 　　本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角α的取值范围是 ,利用k=tan α(0≤α<π)的图象(如图所示)得到k的取值范围是k≤-1或k≥1.   第二章 平面解析几何初步 高中同步 定点 2 直线斜率的应用 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即 kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC,或 AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B,或C),所以点A,B,C在同一条直线上. 2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义[过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜 率],借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 已知函数f(x)=2x,且a<b<c<0,则  , , 的大小关系为　　　     (用“>”连接). 典例 思路点拨    比较 , , 的大小时,可将问题转化为比较f(x)图象上的点(a, f(a)),(b, f(b)),(c, f(c))分别与点(1,0)连线所在直线的斜率的大小.     > >  第二章 平面解析几何初步 高中同步 解析    由题意可知, = 的几何意义为点(x,2x)和点(1,0)连线所在直线的斜率. 如图所示,a<b<c<0,  = , = , = 分别为图中直线①,直线②,直线③ 的斜率, 根据图象知  > > . 第二章 平面解析几何初步 高中同步 $