1.3.2 等比数列与指数函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．3.2　等比数列与指数函数 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合指数函数，了解等比数列的图象． 2．理解等比数列的单调性及应用． 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用． 1.通过对等比数列图象和单调性的学习达成直观想象和逻辑推理的核心素养． 2．在等比数列与等差数列的综合应用中提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝·qn.它是一个非零常数c(c＝)与指数函数y＝qx(指数函数的底数为公比q)的乘积：y＝cqx. 由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成如下图等比数列的图象． 当等比数列的公比q＝1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 1．对于等比数列{an}，借助函数y＝cqn的性质．可分析等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an} 的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 2.等比数列{an}，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图). 1．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{anbn}，也为等比数列． 2．等比、等差数列的两个性质 已知b>0，且b≠1， ①如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是等比数列． ②如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．(　　) (2)等比数列{an}中，a1>1，q<0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．(　　) (3)当q>1时，{an}为递增数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0) 答案：C 3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，若bn＝lg an，则数列{bn}的通项公式为________． 答案：bn＝(n－3)lg 2(n∈N＋) 4．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________秒，该病毒占据内存64 GB.(1 GB＝210 MB) 答案：45 (1)在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：当a1<a2<a3时，设公比为q，由a1<a1q<a1q2得 若a1>0，则1<q<q2，即q>1，此时，显然数列{an}是递增数列， 若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1，此时，数列{an}也是递增数列， 反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件． (2)关于递增等比数列{an}，下列说法正确的是(　　) A．a1>0 B．q>1 C．<1 D．当a1>0时，q>1 D　解析：由题意，设数列{an}的公比为q，因为an＝a1qn－1，得an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0， 当a1>0时，q>1，此时0<<1，当a1<0时，0<q<1，>1，故不正确的是ABC. [方法技巧]　等比数列单调性的判定方法 或⇔{an}递增； 或⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数列；q<0⇔{an}为摆动数列． [训练1]　在等比数列{an}中，a1＝，当n≥11时，an>1恒成立，则公比q的取值范围是________． (，＋∞)　解析：在等比数列{an}中，a1＝，所以a11＝q10>1，q10>32，∵q>0，∴q>， 当n≥11时，an＋1－an＝an(q－1)>0，数列递增，所以当n≥11时，an>1恒成立． 故答案为：(，＋∞). (1)若数列{an}为等差数列，数列{2an}为________数列；若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{lg an}为________数列． 等比　等差　解析：①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{2an}是首项是2a1、公比为2d的等比数列． ②若数列{an}为等比数列，设公比为q， 则lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q. 所以数列{lg an}是首项为lg a1、公差为lg q的等差数列． (2)已知数列{an}的通项公式为an＝(q2＋1)n，其中q为常数，证明数列{an}是等比数列． 证明：取数列{an}中任意相邻两项an与an－1(n≥2)， 作商得＝＝q2＋1，它是一个与n无关的常数， 所以数列{an}是等比数列，且其指数幂的底数q2＋1即为等比数列的公比． [方法技巧]　若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则可利用定义判定数列{an}是等比数列．同时应注意通项公式an＝a1qn－1指数特性，充分利用指数幂的运算以及指数式与对数式的转化处理问题． [训练2]　(多选题)已知数列{an}，{bn}均为等比数列，则下列结论中一定正确的有(　　) A．数列{anbn}是等比数列 B．数列{an＋bn}是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列{lg (ab)}是等差数列 ACD　解析：设数列{an}的公比为q1，数列{bn}的公比为q2，所以an＝a1q，bn＝b1q. 对于A，anbn＝a1b1qq＝a1b1(q1q2)n－1，从而数列{anbn}的公比为q1q2，故A正确．对于B，an＋bn＝a1q＋b1q，q1与q2不一定相等，所以数列{an＋bn}不是等比数列，故B错误．对于C，lg ＝lg ＝lg＋(n－1)lg ，从而数列的公差为lg.故C正确．对于D，lg (ab)＝2lg |anbn|＝2lg |a1b1|＋2(n－1)lg |q1q2|，从而数列{lg (ab)}的公差为2lg |q1q2|，D正确． 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少元？ 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：用一个式子表示车的价值；当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少元． 第二步，精读题目挖已知条件：新车价值10万元，每年按10%的速度贬值． 第三步，建立联系寻解题思路：建立方程，求解方程． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：(1)从第一年起，每年这辆车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10×(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1qn－1＝10×0.9n－1. 所以第n年这辆车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元). 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元． [方法总结]　等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． [训练3]　月球是距离地球最近的星球，在未来可能成为人类居住的第二家园．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是(lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)(　　) A．40　　 　B．41　　 　C．42　　 　D．43 C　解析：设对折n次时，纸的厚度为an，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，公比为2的等比数列， 所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，令an＝0.1×2n≥38×104×106， 即2n≥3.8×1012，所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n lg 2≥0.6＋12， 解得：n≥＝42，所以至少对折的次数n是42，故选． 1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 D　解析：∵q＝－<0，∴数列{an}是摆动数列． 2．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D．公比为lg 2的等比数列 A　解析：因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，所以an＝2×4n－1＝22n－1，log2an＝log222n－1＝2n－1，所以数列{log2an}是公差为2的等差数列． 3．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________． －1　解析：设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x.则(1＋x)11＝m， 解得x＝－1. 4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝()an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 证明：依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝()3－n.当n≥2时，＝＝()－1＝2. 所以数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$