第1章 培优课 数列中的构造问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦数列构造法求通项公式这一核心知识点，系统梳理形如\(a_{n+1}=pa_n+q\)、\(a_n=pa_{n-1}+p^n\)、\(a_{n+1}=pa_n+q^{n+1}\)的递推关系，通过例题解析、反思感悟与跟踪训练搭建学习支架，帮助学生逐步掌握构造转化方法。 该资料以问题驱动设计，通过待定系数法、等式变形等构造新数列，培养学生抽象能力与推理意识，如例1将线性递推转化为等比数列体现数学思维。课中助力教师分层教学，课后练习与小结便于学生查漏补缺，强化模型观念与应用意识。

培优课　数列中的构造问题 学习目标　1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法公式解决一些简单的问题. 一、形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 例1　已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求{an}的通项公式. 解　∵an+1=2an+1，令an+1+t=2(an+t)， 即an+1=2an+t，∴t=1， 即an+1+1=2(an+1)， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴an+1=2×2n-1=2n，∴an=2n-1. 反思感悟　形如an+1=pan+q(其中p，q为常数，且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 (1)假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t). (2)由待定系数法，解得t=. (3)写出数列的通项公式. (4)写出数列{an}的通项公式. 跟踪训练1　已知数列{an}满足an+1=2an+2且a1=1，则(　　) A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 答案　D 解析　由an+1=2an+2， 可得an+1+2=2(an+2)， 所以=2， 又由a1=1，得a1+2=3， 所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an+2=3×2n-1，an=3×2n-1-2， an+1=3×2n-2， an+1-an=3×2n-2-(3×2n-1-2)=3×2n-1， 所以{an}不是等差数列； =不等于常数， 所以{an}不是等比数列； =不等于常数， 所以{an+1}不是等比数列. 二、形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 例2　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2)，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解　因为an=2an-1+2n，等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1，又=，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，即=+(n-1)×1=n-，所以an=×2n. 延伸探究1　将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 解　等式两边同时除以2n，得=+2，即-=2，又=，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，所以=+(n-1)×2=2n-，即an=×2n. 延伸探究2　将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n-1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 解　等式两边同时除以2n，得=+，即-=，又=，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以=+(n-1)×=，即an=n×2n-1. 反思感悟　形如an=pan-1+pn(p≠1，n≥2)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. (2)写出数列的通项公式. (3)写出数列{an}的通项公式. 跟踪训练2　已知数列{an}满足=+(n≥2)，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解　由题意，等式两边同乘2n， 得=+1，即-=1， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以=2+(n-1)×1=n+1，即an=. 三、形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式 例3　已知数列{an}中，a1=6，an+1=2an+3n+1，求an. 解　令an+1-A·3n+1=2(an-A·3n)， 则an+1=2an+·3n+1， 由已知，=1，得A=3， 所以an+1-3×3n+1=2(an-3×3n)， 即an+1-3n+2=2(an-3n+1)， 又a1-32=6-9=-3≠0， 所以{an-3n+1}是首项为-3，公比为2的等比数列，于是an-3n+1=-3×2n-1， 故an=3n+1-3×2n-1. 反思感悟　形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系. 跟踪训练3　已知数列{an}满足an+1=3an+2n+1且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解　令an+1+A·2n+1=3(an+A·2n)， 即an+1=3an+A·2n，故A=2， 所以an+1+2n+2=3(an+2n+1)，又a1+22=5≠0， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1. 1.知识清单： (1)形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式. (2)形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式. (3)形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 1.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-1，若an>513，则n的最小值是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案　C 解析　因为an+1=2an-1， 所以an+1-1=2，即=2， 又a1-1=2-1=1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 则an-1=2n-1，即an=2n-1+1. 因为an>513，所以2n-1+1>513， 所以2n-1>512，所以n>10， 故n的最小值为11. 2.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an-2n，则a17等于(　　) A.-15×216 B.15×217 C.-16×216 D.16×217 答案　A 解析　由题意可得=-， 即-=-， 据此可得，数列是首项为=， 公差为-的等差数列， 故=+(17-1)×=-， 所以a17=-15×216. 3.已知数列{an}中，a1=1，an+1=，则这个数列的第n项为(　　) A.2n-1 B.2n+1 C. D. 答案　C 解析　∵an+1=，a1=1，∴-=2. ∴为等差数列，公差为2，首项为=1. ∴=1+(n-1)×2=2n-1，∴an=. 4.若数列{an}满足a1=1，且an+1=4an+2n，则a6等于(　　) A.2 016 B.2 018 C.2 020 D.2 022 答案　A 解析　因为an+1=4an+2n， 所以an+1+2n=4， 所以数列是等比数列，首项为2，公比为4， 则an+2n-1=2×4n-1=22n-1， 可得an=22n-1-2n-1， 则a6=22×6-1-26-1=211-25=2 016. 课时对点练　 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列{an}满足关系：a1=1，当n≥2时，2an-an-1+1=0，则a5等于(　　) A.31 B.15 C.- D.- 答案　C 解析　因为当n≥2时，2an-an-1+1=0，则an=an-1-，所以an+1=，且a1+1=2，所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以an+1=2×，即an=-1，所以a5=-1=-. 2.已知数列{an}的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的通项公式an等于(　　) A.2n B.n(n+1) C. D. 答案　C 解析　∵an+1=an+，∴2n+1an+1=2nan+2， 即2n+1an+1-2nan=2.又21a1=2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan=2+(n-1)×2=2n，∴an=. 3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=.若bn=log2，则数列的通项公式bn等于(　　) A.n B.n-1 C.n D.2n 答案　C 解析　由an+1=，得=1+， 所以+1=2， 又+1=2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以+1=2×2n-1=2n， 所以bn=log2=log22n=n. 4.已知数列{an}满足an+1=2an+3，n∈N+，若a2 024≥a1，则a1的取值范围为(　　) A.(-∞，-3] B.(-∞，-3) C.(-3，+∞) D.[-3，+∞) 答案　D 解析　由an+1=2an+3可得an+1+3=2， 当a1=-3时，an=-3，满足题意； 当a1≠-3时，=2， 所以数列{an+3}是首项为a1+3，公比为2的等比数列，所以an+3=×2n-1， 所以an=×2n-1-3， 所以a2 024=×22 023-3≥a1， 所以×22 023≥a1+3， 所以a1+3≥0，所以a1≥-3. 5.已知数列{an}(n∈N+)的首项为1，又=-，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列{an}的通项公式是(　　) A.an=2n+1 B.an=2n-1 C.an=2n-1 D.an=2n+1 答案　C 解析　因为=-， 所以=+， 又因为点O在直线l外，A，B，C三点均在l上， 故2an-an+1+1+1=1，即an+1=2an+1， 所以an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列， 故an+1=2n，则an=2n-1. 6.已知在数列{an}中，a1=，an+1=an+，则an等于(　　) A.- B.- C.- D.- 答案　A 解析　因为a1=，an+1=an+，所以2n+1·an+1=·2nan+1，整理得2n+1·an+1-3=·，所以数列是以2a1-3=-为首项，为公比的等比数列.所以2nan-3=-×，解得an=-. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是(　　) A.数列{Sn+n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1 C.数列{an+1}为等比数列 D.数列{Sn+1-Sn+1}为等比数列 答案　AD 解析　因为Sn+1=2Sn+n-1， 所以==2. 又S1+1=2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 所以Sn+n=2n，则Sn=2n-n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，但a1≠21-1-1，故B错误； 由a1=1，a2=1，a3=3可得a1+1=2，a2+1=2，a3+1=4，即≠，故C错误； 由Sn=2n-n，可得Sn+1-Sn+1=2Sn+n-1-Sn+1=Sn+n=2n-n+n=2n，故D正确. 8.已知数列{an}满足a1=1，an+1=则下列结论正确的是(　　) A.a3=- B.{an}是递增数列 C.{a2n-2}是等比数列 D.{a2n}是递增数列 答案　ACD 解析　对于A，B，依题意， a2=a1+1=， a3=a2-4=-，A正确，B错误； 对于C，a2n+2-2=a2n+1+2n+1-2 =(a2n-4n)+2n-1=(a2n-2)， 而a2-2=-≠0， 因此{a2n-2}是以-为首项， 为公比的等比数列，C正确； 对于D，由选项C知， a2n-2=-·=-， 显然数列是递增数列， 因此数列是递增数列，D正确. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+2=an+1+2an，若a1=a2≠0，则(　　) A.{an+1-2an}是等比数列 B.{an+2-an}是等比数列 C.{Sn+1-2Sn}是等差数列 D.{a2n+1-S2n}是等差数列 答案　ABD 解析　因为数列{an}的前n项和为Sn， 且an+2=an+1+2an， 对于A， 由an+2-2an+1=an+1+2an-2an+1=-(an+1-2an)， 且a2-2a1=-a1， 所以{an+1-2an}是以-a1为首项， -1为公比的等比数列，所以A正确； 对于B， 由an+3-an+1=an+2+an+1=2(an+2-an)， 且a3-a1=2a1， 所以数列{an+2-an}是以2a1为首项， 2为公比的等比数列，所以B正确； 对于C，由an+2=an+1+2an， 可得Sn+2-Sn+1=Sn+1-Sn+2(Sn-Sn-1)(n≥2)， 即当n≥2时，Sn+2-2Sn+1=Sn-2Sn-1， 又由S2-2S1=0，S3-2S2=a1， 所以{Sn+1-2Sn}的奇数项均为0，偶数项均为a1，又a1≠0， 所以{Sn+1-2Sn}不是等差数列，所以C错误； 对于D，当n=2k(k∈N+)时， 由C项分析可得S2k+1-2S2k=a2k+1-S2k=a1， 所以{a2n+1-S2n}是每项均为a1的常数列，也是等差数列，所以D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N+，λ∈R且λ≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则λ的值为　　　　　 .  答案　2 解析　由an+1=λan-1， 得an+1-1=λan-2=λ. ∵数列{an-1}是等比数列， ∴=1，λ=2. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn=3an-2n(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为_________. 答案　an=3n-1 解析　令n=1，得2a1=3a1-2，解得a1=2； 当n≥2时，由2Sn=3an-2n(n∈N+)， 得2Sn-1=3an-1-2(n-1)， 两式相减得2an=3an-3an-1-2， 即an=3an-1+2， 整理得=3， 所以数列{an+1}是首项为a1+1=3，公比为3的等比数列，所以an+1=3n，所以an=3n-1. 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-3，若Sk≥125，则k的最小值为　　　.  答案　6 解析　由Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3， 得Sn+1+3=2(Sn+3)， 又S1=a1=1，所以S1+3=4， 所以{Sn+3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Sn+3=4×2n-1=2n+1，Sn=2n+1-3， 所以Sk=2k+1-3≥125，解得k≥6. 所以k的最小值为6. 四、解答题(共27分) 13.(13分)某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润率，并将其余资金全部作为该项目次年的项目资金.问经过多少年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.301) 解　设经过n年后，该项目逐年的项目资金数为an，n∈N+. 则由已知得an+1=an-200， 即an+1=an-200. 令an+1-x=，即an+1=an-， 由=200，得x=800. ∴an+1-800=. ∵a1=1 000×-200=1 050， ∴a1-800=250， 故数列是以250为首项，为公比的等比数列.∴an-800=250×， ∴an=800+250×(n∈N+). 由题意知an≥4 000， ∴800+250×≥4 000，即≥16. 两边取常用对数得nlg≥lg 16， 即n≥4lg 2. ∵lg 2≈0.301，∴n≥12.4. 故经过13年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番的目标. 14.(14分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2，an+bn-1=3. (1)若an=bn，求{an}的通项公式；(7分) (2)若b1=0，an-1+bn=1，证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式.(7分) 解　(1)当an=bn，n≥2时，an-1=bn-1， 所以an+bn-1=3，即an=-an-1+3， 整理得an-=-， 所以是以a1-=为首项，-1为公比的等比数列. 故an-=×(-1)n-1， 即an=+×(-1)n-1. (2)当n≥2时，由an+bn-1=3，得an+1+bn=3， 又an-1+bn=1， 所以an+1-an-1=2. 因为b1=0，所以a2=3， 则是以a1=2为首项，2为公差的等差数列，a2k-1=2+×2=2k，k∈N+； 是以a2=3为首项，2为公差的等差数列，a2k=3+×2=2k+1，k∈N+. 综上所述，an=n+1. 所以an-an-1=-n=1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn=1-an-1=1-n， 且b1=0满足bn=1-n，所以bn=1-n. 学科网（北京）股份有限公司 $