1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和的公式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和的公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1.通过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．等差数列的前n项和的公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 2.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋(a1－)n． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　 　B．54　 　C．36　 　D．18 答案：A 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 答案： 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝10，S5＝5，则S8＝________． 答案：44 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n A　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n. (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 25　解析：设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得－2＋d＋(－2)＋5d＝2， 解得d＝1. 根据等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d， 可得S10＝10×(－2)＋＝－20＋45＝25. [方法总结]　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值 (2)利用等差数列的性质解题 [训练1]　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　) A．13　　　B．35　　　C．49　　　D．63 D　解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8. ∴S9＝＝＝63. (2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解：由 得 解方程组得或 已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，判断这个数列是否是等差数列，并求其通项公式bn. 解：∵当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， ∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2 ＝(b－b＋2bn－2bn－1). 整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2). ∴{bn}为等差数列． 又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1， ∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. [方法总结]　已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． [训练2]　设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N＋，所有项an>0，且Sn＝a＋an－. (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3). 所以4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝3.所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25， 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×(－)＝500， 需要完成的工作量为24×20＝480， ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． [方法总结]　与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. [训练3]　北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 C　解析：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，得9n2＝729，解得n＝9.故三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块). 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　) A．49　　　B．42　　　C．35　　　D．28 B　解析：2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42. 2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 D　解析：由a1＝1，公差d＝2，得an＝2n－1.又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝24，所以2k＋1＋2k＋3＝24，解得k＝5. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋4(n∈N＋)，则an＝________． 　解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋4(n∈N＋)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4－(n－1)2－4＝2n－1； 又a1＝S1＝12＋4＝5不满足上式， 所以an＝ 4．“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算，运载“嫦娥”月球探测器的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与月球探测器分离，则这一过程大约需要的时间是________min. 15　解析：由题设条件知，火箭每分钟通过的路程是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，所以n min内通过的路程为Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1).解n(n＋1)＝240，得n＝15. 学科网（北京）股份有限公司 $$