1.1 第2课时 递推公式与数列的函数特性（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2课时　递推公式与数列的函数特性 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解数列的递推公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项． 2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念，掌握判断数列增减性的方法． 3．利用数列的增减性求最大值、最小值． 1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养． 2．借助数列递推公式、数列增减性的研究培养逻辑推理的核心素养． 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法． 1．数列的单调性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 常数列 各项都相等 an＋1＝an 2.数列的图象 数列的图象是一系列孤立的点．从数列的图象上看，递增数列的图象是一系列从左至右上升的孤立点；递减数列的图象是一系列从左至右下降的孤立点；摆动数列的图象是一系列从左至右有升有降的孤立点；常数列的图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的图象与对应函数的图象相同．(　　) (2)常数列不具有增减性．(　　) (3)若an＋1＝an＋1，则数列{an}是递减数列．(　　) (4)递推公式是表示数列的一种方法．(　　) (5)所有的数列都有递推公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．在数列{an}中，an＝－n＋1，则{an}是(　　) A.递增数列　　　　　 B．递减数列 C.常数列 D．不能确定 答案：B 3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　) A.1　　　　　　　　　 B． C. D． 答案：B 4．有下列数列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，…；④－2，2，－2，2，－2，….________是递增数列，________是递减数列，________是摆动数列，________是常数列．(填序号) 答案：①　②　④　③ 命题角度1　根据数列的递推公式写出数列的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 命题角度2　由递推公式探求数列的周期性 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 023. 解：a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－，a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1.故{an}是周期为4的数列． 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 命题角度3　由递推公式求通项 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an； (2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N＋)，求通项an. 解：(1)当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2 ＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也适合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)由题意，数列{an}中各项均不为零且满足an＋1＝an(n∈N＋)，所以＝(n∈N＋)，所以an＝××…×××a1＝××…×××1＝.所以{an}的通项公式为an＝. [方法总结] 1．由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1； (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. 2．由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式． (2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式． [训练1]　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋(n∈N＋)，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求通项公式an. 解：(1)∵an＋1－an＝(n∈N＋)， ∴a2－a1＝， a3－a2＝， a4－a3＝， …… an－an－1＝. 以上各式累加得， an－a1＝＋＋…＋ ＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－. ∴an＋1＝1－， ∴an＝－(n≥2). 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－. (2)∵a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， ∴＝(n≥2)， ∴an＝×××…×××a1 ＝×××…×××1＝. 又∵当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝. [知能解读]　判断数列增减性的方法 (1)作差比较法 ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法 ①若an＞0，则 当＞1时，数列{an}是递增数列； 当＜1时，数列{an}是递减数列； 当＝1时，数列{an}是常数列． ②若an＜0，则 当＜1时，数列{an}是递增数列； 当＞1时，数列{an}是递减数列； 当＝1时，数列{an}是常数列． (3)图象法 判断数列的增减性． 解：∵an＝， ∴an＋1＝＝. 方法一(作差法)　an＋1－an＝－ ＝ ＝， ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列为递增数列． 方法二(作商法)　∵n∈N＋，∴an>0. ∵＝＝＝ ＝1＋>1， ∴an＋1>an.∴数列为递增数列． [变式]　把本例中的“数列”换为“数列”，画出该数列的图象，并判断增减性． 解：该数列的图象如下图所示， 由图象可知，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的． [方法总结]　判断一个数列的增减性，可以利用数列图象变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性． 在数列{an}中，an＝(n＋1)()n(n∈N＋). (1)求证：数列{an}先递增后递减； (2)求数列{an}的最大项． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：判断数列{an}的增减性并求数列{an}的最大项． 第二步，精读题目挖已知条件：已知数列的通项． 第三步，建立联系寻解题思路：利用数列的通项作差或作商判断增减性并求最值，根据最值判断最大项． 第四步，书写过程养规范习惯． 方法一　(1)证明：令>1(n≥2)， 即>1，整理得>，解得n<10. 令>1，即>1，整理得>， 解得n>9. 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)解：由(1)知a9＝a10＝为最大项． 方法二　(1)证明：假设数列{an}中存在最大项． 因为an＋1－an＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n ＝()n·， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)解：由(1)知a9＝a10＝为最大项． [变式]　把本例中的“an＝(n＋1)()n(n∈N＋)”换为“an＝(n∈N＋)”，求数列{an}的最大项和最小项． 解：an＋1－an＝－ ＝ ＝ ＝－＝－， 当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1<an； 当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1<an. an＝＝＝2＋，当n≤3时，an<2； 当n≥4时，an>2. 所以a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3. 故数列{an}的最大项为a4＝4，最小项为a3＝0. [方法总结]　数列中最大项与最小项的两种求法 (1)若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足 (2)将数列看作一个特殊的函数，可通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件. [训练2]　已知无穷数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？作出判断并求出来． 解：an＝＝1＋， 当n≤9时，an<1； 当n≥10时，an>1，且随n的递增an递减． 故数列{an}有最大项，其最大项为a10＝. 1．已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是(　　) A.递增数列　　　　　 B．递减数列 C.常数列 D．摆动数列 B　解析：数列{an}的通项公式是an＝＝＝1＋，an＋1－an＝－<0，故这个数列为递减数列． 2．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a100＝(　　) A.－1　　 B． C．1　　 D．2 B　解析：由题可知，an＋1＝，且a1＝，令n＝1，则a2＝＝＝2， 令n＝2，则a3＝＝＝－1， 令n＝3，则a4＝＝＝， 令n＝4，则a5＝＝＝2， 令n＝5，则a6＝＝＝－1， ∴数列{an}是周期为3的周期数列， ∴a100＝a33×3＋1＝a1＝. 3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an－2，则a3＝________． 10　解析：由题得当n＝1时，a2＝3a1－2＝3×2－2＝4；当n＝2时，a3＝3a2－2＝3×4－2＝10. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则数列{an}中第________项最小． 4　解析：因为an＝n2－8n＋15＝(n－4)2－1，所以第4项最小． 学科网（北京）股份有限公司 $$